专题复习摩擦力做功与变力做功.docx
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专题复习摩擦力做功与变力做功
专题摩擦力做功与变力做功
一、摩擦力做功
问题思考：
1、摩擦力的分类2、摩擦力的方向3、摩擦力的大小
4、判断一个力是否做功及做功正负的方法5、计算功的方法及注意事项
摩擦力大小和方向的不确定性,使得摩擦力做功有其自身的特殊性，本文简单归纳摩擦力做功的一些特点。
（一）静摩擦力对物体可以做正功，可以做负功，也可以不做功;滑动摩擦力对物体可以做正功，可以做负功，也可以不做功。
如图1所示，物体在水平拉力下静止在粗糙水平面上，物体与桌面间有静摩擦力，该摩擦力不做功.
图1
如图2所示，光滑水平面上物体A、B在外力F作用下能保持相对静止地匀加速运动，则在此过程中，A对B的静摩擦力对B做正功。
图2
如图3所示，物体A、B以初速度
滑上粗糙的水平面，能保持相对静止地减速运动，则在此过程中A对B的静摩擦力对B做负功。
图3
例1。
在光滑的水平地面上有质量为M的长平板A（如图4），平板上放一质量
的物体B,A、B之间动摩擦因数为
。
今在物体B上加一水平恒力F，B和A发生相对滑动，经过时间
，求：
（1）摩擦力对A所做的功；
（2）摩擦力对B所做的功;（3）若长木板A固定时B对A的摩擦力对A做的功。
图4
解析
（1）平板A在滑动摩擦力的作用下，向右做匀加速直线运动，经过时间
，A的位移为
因为摩擦力
的方向和位移
相同，即对A做正功，其大小为
.
（2）物体B在水平恒力F和摩擦力的合力作用下向右做匀加速直线运动,B的位移为
摩擦力
方向和位移
方向相反，所以
对B做负功为
.
（3）若长木板A固定，则A的位移
，所以摩擦力对A做功为0，即对A不做功.
（二）、滑动摩擦力做功的特点:
①滑动摩擦力可以对物体做正功,也可以对物体做负功，还可以不做功。
②相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做的功总为负值,其绝对值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。
1。
一对滑动摩擦力做功的代数和必不为零，且等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对位移的乘积，即
例2。
如图6，一质量为M的木板，静止在光滑水平面上，一质量为
的木块以水平速度
滑上木板。
由于木块和木板间有摩擦力，使得木块在木板上滑动一段距离后就跟木板一起以相同速度运动.试求此过程中摩擦力对两物体做功的代数和。
图6
解析:
设木块与木板的共同速度为
，以木块和木板整体为研究对象，则由动量守恒定律可得
①
摩擦力对木板做正功，对木块做负功。
由动能定理得
②
③
由①②③可知，摩擦力对两物体做功的代数和为
④
上式即表明：
一对滑动摩擦力做功的代数和必不为零,且等于滑动摩擦力的大小与两物体间的相对位移的乘积。
例3：
质量为M的长木板放在光滑的水平面上,一个质量为m的滑块以某一初速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了L，而木板前进了x，如图，若滑块与木板间的动摩擦因素为
，求滑动摩擦力对滑块、对木板做功各是多少？
分析:
以木块A为研究对象，木块A受到的滑动摩擦力的方向水平向左,大小为
，滑块的对地位移为x+L,方向水平向右
根据功的定义式
以木板B为研究对象，木板B受到的滑动摩擦力的方向水平向右，大小也为
，木板的对地位移为x，方向水平向右
根据功的定义式
补充问题：
求解这对相互作用的滑动摩擦力做的总功
〈0
注：
实际上，
=Q，即产生的热量
2、滑动摩擦力做功与路程有关，其值等于滑动摩擦力的大小和物体沿接触面滑动的路程的乘积，即
例3.滑雪者从山坡上A点由静止出发自由下滑，设动摩擦因数
为常数，他滑到B点时恰好停止，此时水平位移为
（如图5所示）。
求A、B两点间的高度差
。
图5
解析:
设滑雪者质量为
，取一足够小的水平位移
，对应的滑行路线可视为小直线段
，该处滑雪者所受的摩擦力为
所以在
段摩擦力所做的功为
对滑行路线求和可得摩擦力的总功
从A到B的过程中，重力做功
，而动能的变化为
，所以由动能定理得
，即
，可解得A、B两点间的高度差为
。
3。
对于与外界无能量交换的孤立系统而言,滑动摩擦产生的热等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对路程的乘积，即
例3。
如图7（a）所示，质量为
的木板静止在光滑水平面上，板的右端放一质量为
的小铁块，现给铁块一个水平向左速度
，铁块在木板上滑行，与固定在木板左端的水平轻弹簧相碰后又返回，且恰好停在木板右端，求整个过程中，系统机械能转化为内能的多少？
图7
解析：
在铁块运动的整个过程中,系统的动量守恒，因此弹簧压缩到最短时和铁块最终停在木板右端对系统的共同速度（铁块与木板的速度相同），由动量守恒定律得
代入数据得
从开始滑动到弹簧压缩到最短的过程中（如图7b），摩擦力铁块做负功
；摩擦力对木板做正功
从弹簧压缩最短到铁块最终停在木板右端的过程中（如图7c）,摩擦力对铁块做正功
；摩擦力对木板做负功
故整个过程中，摩擦力做功的代数和为（弹簧力做功代数和为零）
（式中
就是铁块在木板上滑过的路程）
根据动能定理有
。
由功能关系可知，对于与外界无能量交换的孤立系统而言，系统克服摩擦力做功将这
的动能转化为了系统的内能,即
，这表明滑动摩擦产生的热等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对路程的乘积。
4。
系统机械能的损失等于滑动摩擦力的大小与两物体间的相对位移的乘积，即
例4。
设木块与木板间的摩擦系数为
则木块在木板上滑动过程中,在摩擦力作用下,木板做匀加速运动，木块做匀减速运动直至达到共同速度
为止。
图8
以木块和木板整体为研究对象,由动量守恒定律可得
这一过程中，木板的位移为
木块的位移为
摩擦力对木板做正功
对木块做负功
则摩擦力对两物体做功的代数和为
①
整个过程中木板动能的增量为
木块动能的增量为
系统动能的总增量为
②
上述①、②表明：
系统机械能的减少刚好与一对摩擦力做功的代数和的绝对值对等。
（三）、静摩擦力做功的特点:
1．静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
2．相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的和总是等于零．
1．单个静摩擦力做功
有不少初学者认为，静摩擦力是产生于“静止”的物体之间，所以静摩擦力一定不会对物体做功。
其实不然,请看下面的情境：
用大拇指和食指捏起一支铅笔，让铅笔呈竖直状态。
当手和铅笔向上匀速运动时，铅笔受到向上的静摩擦力作用，位移也向上，静摩擦力是动力，对铅笔做正功；当手和铅笔向下匀速运动时，铅笔受到向上的静摩擦力作用，位移向下，静摩擦力是阻力，对铅笔做负功；当手和铅笔不运动或一起在水平面内运动时，铅笔受到向上的静摩擦力作用，但在力的方向上位移为零，静摩擦力对铅笔不做功。
由此可见，静摩擦力可以对物体做正功,也可以做负功，还可以不做功，关键是看物体受到的静摩擦力和它运动方向的关系。
当物体在静摩擦力的方向上有位移时，静摩擦力就要对物体做功。
2．一对静摩擦力的合功。
一对相互作用的静摩擦力做功的代数和必为零，即
对相互有静摩擦力作用的两物体A和B来说，A对B的摩擦力和B对A的摩擦力是一对作用力和反作用力:
大小相等,方向相反。
由于两物体相对静止，其对地位移必相同，所以这一对静摩擦力一个做正功,一个做负功，且大小相等，其代数和必为零，即
例5:
如图所示，A和B叠放在一起置于光滑水平桌面上,在拉力F的作用下，A和B一起向右加速运动，则B对A的静摩擦力做正功，A对B的静摩擦力做负功.由于A、B的对地位移相等，故这对相互作用的静摩擦力做功的和为零。
静摩擦力存在于无相对运动而有相对运动趋势的物体之间，因此产生摩擦力的两个物体的位移一定是相等的，但互为作用力和反作用力的一对摩擦力的方向一定相反，所以，如果作用力做正功，反作用力一定做负功，而且负功的绝对值等于正功的大小。
即：
一对静摩擦力做功之代数和一定为零。
具体来说，一对静摩擦力做功代数和为零包含两种情况:
一是每个静摩擦力都不做功（例推箱子而未动,静摩擦力对箱子、对地面均不做功，或者物体随转盘一起做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力的情况），二是两个静摩擦力一个做正功,一个做负功,但数值相等，其代数和为零。
3、静摩擦力对物体做正功
例6、码头工人常用皮带机将货物运之高处，皮带由卷扬机牵引，能匀速顺时针转动，货物一放上皮带，即可与之一起运动，保持相对静止．求皮带对货物在运往h高处时做什么功？
【分析】货物受力如图所示．因货物向右上方做匀速直线运动，故静摩擦力f=G？
sinθ的位移S与物体运动方向一致，则Wf=fScosθ=（Gsinθh/sinθ）cosθ=GhWf〉0，做正功
4。
静摩擦力对物体做负功
例7、如图，若皮带反转,则可将高h处货物匀速送到地面，求该过程静摩擦力做什么功．
【分析】货物因匀速运动，故 f＝Gsinθ,沿斜面向上,位移S方向沿斜面向下
Wf=fScos180=—Gsinθh/sinθ=-Gh
∵Wf=—Gh〈0∴f做负功
5、静摩擦力可以对物体不做功
如图所示，一水平圆盘绕其竖直轴以ω匀速转动，距离轴R处有一质量为m的物体随盘一起转动，求在这一过程中摩擦力对物体做的功．
【分析】对m进行受力分析可知,m所受的摩擦力为f=mRω．静摩擦力方向与线速度方向垂直，任取一小段位移S，则有 Wf=fScosθ=mRωScos90=0 即静摩擦力对物体不做功
目标检测:
1、关于摩擦力对物体做功，以下说法中正确的是（D）
A、滑动摩擦力总是做负功
B、滑动摩擦力要么做负功,要么做正功
C、静摩擦力对物体一定不做功
D、静摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功
2、如图所示的水平传送装置,AB间距为L,传送带以v匀速运转，把一质量为m的零件无初速度地放在传送带的A处，已知零件与传送带之间的动摩擦因素为
试求从A到B的过程中，摩擦力对零件所做的功.
分析：
当零件与传送带之间存在摩擦力时，摩擦力的大小为F=
分两种情况进行讨论：
（1）、零件在到达B处时的速度小于或刚好等于传送带的速度v，即零件在从A到B的过程中一直受摩擦力作用,则摩擦力对零件所做的功
（2）、零件在到达B处之前已经达到传送带的速度v，则零件只是在达到速度v之前的一段时间内受摩擦力作用，此后零件与传送带以相同的速度v运动。
零件就不受摩擦力作用，即无滑动摩擦力存在，也无静摩擦力存在，则摩擦力对零件所做的功
3、如图所示，物体沿弧线形轨道滑下后进入足够长的水平传送带，传送带以图示方向匀速运转，则传送带对物体做功情况可能是（ACD）
（A）始终不做功
（B）先做负功后做正功
（C）先做正功后不做功
（D）先做负功后不做功
解析:
物体滑向传送带后，其速度可能大于、等于或小于传送带的速度。
当等于传送带的速度时，无摩擦力，故不做功.当大于传送带的速度时，物体所受摩擦力向左,故做负功，最终速度相等后，不做功。
故选D同理C也有可能。
4、如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块中,在此过程中，子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为L，木块对子弹的摩擦力大小为f,则木块对子弹的摩擦力做的功为，子弹对木块的摩擦力做的功为。
[解析]受力分析，如图所示。
（1）子弹相对地面的位移为L+d，所以木块对子弹的摩擦力做的功为W=-f（L+d）
（2）木块相对地面的位移为L，所以子弹对木块的摩擦力做的功为W=fL
答案—f（L+d）fL
5、在粗糙的桌面上运动的小木块，小木块m受到桌面对它的摩擦力，桌面也受到小木块对桌面的摩擦力f，但是由于桌面没有发生位移，所以摩擦力f对桌面不做功
6、例:
试分析人走路时，若鞋与地面间不打滑，人与地面间的静摩擦力做功吗?
这一个常识性的问题，看起来不值得讨论，但不仔细去分析，则很容易出错.有人认为,人走路时，受到向前的静摩擦力，而人的速度也是向前，有向前的位移,摩擦力是做正功的。
但仔细想一想就不难发现，在鞋与路面接触时，地面与鞋间有静摩擦力的作用,但在这段时间内，鞋底所受摩擦力的作用点相对于地面是不动的,而脚抬起向前迈出时，鞋在空中便不受静摩擦力的作用，随着人的前进,人与地面间的静摩擦力不断改变受力点，但受力点在静摩擦力作用下并无位移,故地面与脚之间的一对静摩擦力对人和对地面都不做功.
汽车行驶过程与人走路是类似的,在汽车前进的过程中，车轮与地面间的静摩擦力也是不做功的，汽车的动能是由燃烧燃料释放的化学能转化而来的。
摩擦力在中间只是为这个过程中能量转化为汽车平动的动能提供了一个条件
二、变力做功问题的解法
高中物理教材利用恒力对物体做功的物理模型推导出功的计算式
.如果力的大小是变化的,那么公式中的F就无法取值；如果力的方向是变化的，公式中
角就无法取值。
因此其公式仅适用于恒力做功过程，而对于变力做功问题又经常出现，那我们该如何求解呢？
本文现就计算变力所做功的方法及到底采用哪种方法进行求解作如下阐述。
（一）、将变力处理成恒力
将变力处理成恒力的方法,一般只在力的大小一直不变，而力的方向遵循某种规律的时候才用.
例8 如图1所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。
假设施力点到固定转轴的距离为L,在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？
解析:
由于力F方向不断变化，因此是一个变力做功问题，如果将推力作点的轨迹分成无限多小段
每一段曲线近似为直线,力F的方向也近似与这一小段的轨迹重合,则每小段均可看作恒力做功过程.
运用恒力作功的计算式求出各小段推力做的功：
．
则转动一周过程中推力做的功：
.
二.微元法
对于变力做功，不能直接用
进行计算,但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用
求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法,这种方法具有普通的适用性。
在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力做功问题。
例9.用水平拉力拉着滑块沿半径为
的水平圆轨道匀速运动一周,如图5－14－1.已知物块的质量为
，物块与轨道间的动摩擦因数为
。
求此过程中摩擦力所做的功.
【解析】物块受的摩擦力在整个运动过程中大小为
不变，但方向时刻变化，是变力，不能直接用
求解。
但是我们可以把圆周分成无数段小微元段,每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变,求出每一小段上摩擦力做的功,然后再累加起来,便可求得结果。
（答案:
）
三、力的平均值法
通过求力的平均值，然后求变力的平均力做功的方法，一般是用于力的大小与位移成一维线性关系的直线运动中。
例10、如图2所示，劲度系数为
的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为
的滑块，静止在光滑水平面上O点处，现将滑块从位置O拉到最大位移
处由静止释放，滑块向左运动了s米（
）．求释放滑块后弹簧弹力所做的功。
解析:
弹簧对滑块的弹力与弹簧的形变量成正比，求出弹力的平均值为:
用力的平均值乘以位移即得到变力的功：
.
四、等效代换法
例11 如图1所示,质量为ｍ的物体，静止于水平地面的Ａ点，用质量不计的细绳系住，通过距地面高为ｈ的无摩擦定滑轮对物体施加恒定拉力Ｆ，使物体由Ａ点运动到Ｂ点．求此过程中拉力Ｆ做的功．
分析与解 物体从Ａ运动到Ｂ的过程中,绳上拉力的方向时刻变化，因而在物体位移方向上的分力大小是变化的．从图1可以看出，此变力使物体在水平方向上移动时所做的Ｗ,等效于恒力Ｆ的功．力Ｆ的作用点由ａ移动到ｂ时，力Ｆ对绳所做的功为ＷＦ．即
图1
Ｗ＝ＷＦ＝Ｆｓａｂ＝ＦｓＡＣ＝Ｆｈ［（1／ｓｉｎα）－（1／ｓｉｎβ）］．
特点:
变力对物体做功,若通过关联点（作用点）等效于某一恒力做功时，可用公式Ｗ＝Ｆｓｃｏｓθ直接求解．
五、动能定理法
动能定理求变力的功是非常方便的,但是必须知道始末两个状态的物体的速度，以及在中间过程中分别有那些力对物体做功，各做了多少功。
例5 如图3所示，质量为
的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的
倍,它与转轴
相距R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时,物块开始在转台上滑动，在物块由静止到开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为多少?
解析：
由题意知物块即将滑动时受到的摩擦力为
设此时物块运动的速度为
，则有
，于是有
。
由动能定理知，从静止到开始滑动前这段时间内转台对物块做功为：
。
六、功能原理法
除系统内的重力和弹簧弹力之外，其它力做的功等于系统机械能的增量，即
。
例6 如图4所示，一质量均匀的不可伸长的绳索重为G，A、B两端固定在天花板上,今在最低点C施加一竖直向下的力将绳拉至D点，在此过程中，绳索AB的重心位置将（ ）
A．逐渐升高 B．逐渐降低
C．先降低后升高 D．始终不变
解析：
在C点施加的竖直向下的力做了多少功，就有多少其它能转化为绳的机械能。
由于
，
，而
，所以
，即绳的重力势能增加，得知绳重心升高。
七、图象法
表示力随位移变化规律的图象叫做示功图。
其纵坐标轴表示作用在物体上的力F，横坐标轴表示力的作用点在力的方向上的位移s。
图象、力轴、位移和由位移决定的与力轴平行的直线所围成的面积在数值上等于变力所做的功。
例7 如图5所示，一个劲度系数为
的轻弹簧,一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长,求在弹簧由原长开始到伸长量为x1过程中拉力所做的功。
如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x1增大到x2的过程中,拉力又做了多少功?
解析：
在拉弹簧的过程中，拉力的大小始终等于弹簧弹力的大小，根据胡克定律可知,拉力与拉力的作用点的位移x（等于弹簧的伸长量）成正比，即：
F=kx
F—x关系图象如图6所示，由图可知△AOx1的面积在数值上等于把弹簧拉伸x1的过程中拉力所做的功，即
梯形Ax1x2B的面积在数值上等于弹簧伸长量由x1增大到x2过程中拉力所做的功,即
八、运用
求解
当机车以恒定功率工作时，在时间
内，牵引力做的功
。
例8 电动机通过一绳吊起一质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W,要将此物体由静止起，用最快的方式吊高90m所需时间为多少（已知此物体在被吊高达90m时开始以最大速度匀速上升）？
解析:
本题可分为两个过程来处理,第一个过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体匀加速上升，第一个过程结束时，电动机的功率刚达到最大功率．第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小,物体变加速上升，当拉力减小至等于重力时，物体开始匀速上升。
在匀加速运动过程中，加速度：
，末速度：
，上升时间：
上升高度：
在功率恒定的上升过程中，设经h2后，达匀速运动的速度：
，此过程中外力对物体做的总功
由动能定理
得:
，其中h2=H-h1=80m
解得
所需时间最小应为：
九、耗散力做功
在曲线运动或往复运动中,滑动摩擦力（耗散力）的大小不变但方向可变，在计算此耗散力做功时，可将其“视为”恒力做功,其功等于力和路程的乘积，而不是力和位移的乘积．
例9 如图6，ＡＢ与ＣＤ为两个斜面，分别与一个光滑的圆弧形图6轨道相切，圆弧的圆心角为θ,半径为Ｒ,质量为ｍ的物块在距地面高为ｈ的Ａ处无初速滑下，若物块与斜面的动摩擦因数为μ，求物块在斜面上（除圆弧外）共能运动多长路程．
图6
分析与解 物块在斜面ＡＢ和ＣＤ上往复运动,摩擦力的方向会发生变化，由于摩擦阻力做功,物块每次上滑的高度都在降低．当物块在Ｂ点或Ｃ点速度为零时,便在光滑曲面上往复运动，高度不再变化．
设物块在斜面上（除圆弧外）运动的总路程为ｓ,以Ａ为初位置,Ｂ或Ｃ为末位置，由动能定理,有
ＷＧ＋Ｗｆ＝0,
即 ｍｇ（ｈ－ｈ′）－μｍｇｓｃｏｓ（θ／2）＝0，
ｓ＝［ｈ－Ｒ（1－ｃｏｓ（θ／2））］／μｃｏｓ（θ／2）．
课外作业:
变力做功的计算练习题
1 如图1所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。
假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功?
2 如图2所示,劲度系数为
的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为
的滑块，静止在光滑水平面上O点处，现将滑块从位置O拉到最大位移
处由静止释放，滑块向左运动了s米（
）．求释放滑块后弹簧弹力所做的功.
3 如图5所示，一个劲度系数为
的轻弹簧，一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长,求在弹簧由原长开始到伸长量为x1过程中拉力所做的功。
如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x1增大到x2的过程中，拉力又做了多少功?
（要求用图象法求解）
4 电动机通过一绳吊起一质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起，用最快的方式吊高90m所需时间为多少（已知此物体在被吊高达90m时开始以最大速度匀速上升）？
5。
如图5－14－2所示,
为四分之一圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长3m，BC处的动摩擦因数为
。
现有质量m=1kg的物体,自A点从静止起下滑到C点刚好停止。
求：
物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
6.如图5－14－3所示，质量
的物体，从光滑斜面的顶端A点以
的初速度滑下,在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度差
，求弹簧的弹力对物体所做的功.
7。
将一质量为
的物体以初速度
竖直向上抛出，落回抛出点时的速度为
，已知空气阻力大小与速率成正比.则从抛出点到落回抛出点的整个过程中,空气阻力做的功为多少？
8.长度为
的均匀链条，单位长度的质量为
，把链条放在光滑水平桌面上，且使其长度的
垂在桌边，如图5－14－4，松手后链条从静止开始沿桌面下滑，求从开始下滑到链条刚刚离开桌边的过程中重力所做的功。
9.在水平地面上平铺着
块相同的砖，每块砖的质量都为
厚度为
若将这
块砖一块一块地叠放起来，至少需要做多少功？
10.汽车的质量为
，输出功率恒为
，沿平直公路前进距离
的过程中,其速度由
增至最大速度
，假定汽车在运动过程中所受阻力恒定,则汽车通过距离
所用的时间为多少?
11.子弹以速度
射入墙壁,入射深度为
。
若子弹在墙中受到的阻力与深度成正比，欲使子弹的入射深度为
求子弹的入射速度应增大到多少？
12。
如图5－14－5，有一劲度系数
的轻弹簧,左端固定在墙壁上，右端紧靠一质量
的物块，物块与水平面间的动摩擦因数
。
现缓慢推动物块，使弹簧压缩
到A处，然后由静止释放物块。
求：
（1）弹簧恢复原长时,物块的动能为多大?
（2）在弹簧恢复原长的过程中，物块的最大动能为多大？
【拓展提高】
13.用质量为
的均匀铁索从
深的井中吊起一质量为
的物体,在这个过程中至少要做多少功？
14。
如图5－14－6,定滑轮（尺寸可忽略）至滑块的高度为h米，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由
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