最新奥数数论基础知识.docx

最新奥数数论基础知识.docx

《最新奥数数论基础知识.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新奥数数论基础知识.docx（8页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

最新奥数数论基础知识

奥数数论基础知识

一质数和合数

（1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

　　一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

（2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。

任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

要特别记住：

0和1不是质数，也不是合数。

（3）最小的质数是2，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；

最小的合数是4。

（4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。

互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。

（５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

　　把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（６）１００以内的质数有２５个：

２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、

２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、

８３、８９、９７　．

二整除性

（１）概念

　　一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

（２）性质

性质1：

（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

　　即：

如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

　　例如：

如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。

性质2：

如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.

　　　　即：

如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：

（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

　　即：

如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

　　例如：

如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,

　　那么（2×7）｜28。

性质4：

（整除的传递性）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

　　即：

如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

　　例如：

如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

（３）数的整除特征

　　①能被2整除的数的特征：

个位数字是0、2、4、6、8的整数.

　　②能被5整除的数的特征：

个位是0或5。

突破口

③能被3（或9）整除的数的特征：

各个数位数字之和能被3（或9）整除。

判断能被3（或9）整除的数还可以用“弃３（或９）法”：

例如：

８３５１７４６能被９整除么？

解：

８＋１＝９，３＋６＝９，５＋４＝９，在数字中只剩７，７不是９的倍数，所以８３５１７４６不能被９整除。

　　④能被4（或25）整除的数的特征：

末两位数能被4（或25）整除。

　　⑤能被8（或125）整除的数的特征：

末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：

这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：

一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除，依此反复检验。

例如：

判断3546725能否被13整除？

　　解：

把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.

上述办法也可以用来判断余数和末位数；

对于其他的数，可以将其分解成上述几个互质的数的乘积，再逐个考虑。

三约数与倍数

（１）公约数和最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例如：

４是１２和１６的最大公约数，可记做：

（１２　，１６）＝４

（２）公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：

36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

（３）最大公约数和最小公倍数的关系

如果用a和b表示两个自然数

１、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：

（a，b）×[a，b]=a×b。

（多用于求最小公倍数）

２、（a，b）　≤　a　，b　≤　[a，b]

３、[a，b]是（a，b）的倍数，（a，b）是[a，b]的约数

４、（a，b）是a＋b　和a－b　的约数，也是（a，b）＋[a，b]和（a，b）－[a，b]的约数

（４）求最大公约数的方法很多，主要推荐：

短除法、分解质因数法、辗转相除法。

例如：

１、（短除法）用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

　　　解：

∵

　　　　　（30，60，75）=5×3=15

　　　　　　这个数最大是15。

２、（分解质因数法）求１００１和３０８的最大公约数是多少？

解：

１００１＝７×１１×１３（这个质分解常用到）　　，　　３０８＝７×１１×４

　　所以最大公约数是７×１１＝７７

在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。

３、（辗转相除法）用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

　　解：

∵4811=2×1981+849，

　　1981=2×849+283，

　　849=3×283，

　　∴（4811，1981）=283。

　　补充说明：

如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果。

（５）约数个数公式

　　一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。

例如：

求240的约数的个数。

　　解：

∵240＝24×31×51，

　　∴240的约数的个数是

　　（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，

　　∴240有20个约数。

四奇偶性

（1）奇数和偶数

　　整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

　　偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

最小的奇数是１　，最小的偶数是０　．

（2）奇数与偶数的运算性质

　　性质1：

偶数±偶数=偶数，

　　奇数±奇数=偶数。

　　性质2：

偶数±奇数=奇数。

　　性质3：

偶数个奇数相加得偶数。

　　性质4：

奇数个奇数相加得奇数。

　　性质5：

偶数×奇数=偶数，

奇数×奇数=奇数。

偶数×偶数=偶数

（３）反证法

　　例：

桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：

无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

解：

要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。

初三物理知识点

第十三章　热和能

一、分子热运动

1：

分子动理论的内容是：

Ø物质由分子组成；

Ø一切物体的分子都在不停地做无规则运动。

Ø分子间存在相互作用的引力和斥力。

2：

扩散：

不同的物质在互相接触时彼此进入对方现象。

（非重力等外界因素影响）

扩散现象说明：

分子在不停地做无规则的运动。

分子之间有间隙。

3：

决定扩散现象快慢的因素

气体、液体、固体均能发生扩散现象。

扩散快慢与温度有关。

温度越高，扩散越快。

4：

分子的热运动：

由于分子的运动跟温度有关，所以把分子的无规则运动叫做分子的热运动。

温度越高，分子的热运动越剧烈。

5：

分子间的作用力

Ø分子之间既有引力又有斥力

Ø分子间的作用力，固体最大，液体其次，气体最小。

当分子间距离过大时，分子的作用力十分微弱，忽略不计（破镜不能重圆）

二、内能

1、内能：

Ø定义：

构成物体的所有分子，其热运动的动能和分子势能的总和，叫做物体的内能。

Ø单位：

焦耳（J）

Ø内能大小与温度的关系：

一切物体在任何情况下都有内能；无论是高温的铁水，还是寒冷的冰块都具有内能。

在物体的质量，材料、状态相同时，温度越高物体内能越大。

2、内能的改变：

改变内能的两种方法：

做功和热传递。

A、热传递可以改变物体的内能。

①热传递的方向：

热量从高温物体向低温物体传递或从同一物体的高温部分向低温部分传递。

②热传递的条件：

有温度差。

热传递传递的是内能（热量），而不是温度。

③热传递过程中，物体吸收热量，内能增加；放出热量，内能减少。