高中数学必修326.docx
《高中数学必修326.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修326.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高中数学必修326
§2 实际问题的函数建模
学习目标
1.了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型.2.学会对收集到的相关数据进行拟合，并建立适当的数学模型.3.学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题．
知识点一 实际问题的函数刻画
思考 世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？
答案 先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式．
梳理 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
知识点二 用函数模型解决实际问题
思考 函数模型是应用最广泛的数学模型之一，一旦确定是函数模型，怎样研究它？
答案 先确定函数关系式，再根据解决实际问题的需要针对性研究函数性质，如定义域、最值、单调性等，使实际问题得到解决．
梳理 用函数模型解决实际问题的步骤：
（1）审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
（2）建模：
将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
（3）求模：
求解数学模型，得到数学结论．
（4）还原：
利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
知识点三 数据拟合
思考 自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，简述什么是数据拟合？
答案 函数模型来源于现实（伽利略斜塔抛球），通过收集数据（打点计时器测量），画散点图分析数据（增长速度、单位时间内的增长量等），寻找或选择函数（假说）来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就是数据拟合．
梳理 数据拟合
（1）定义：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．
（2）数据拟合的步骤：
①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的检验．
1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．（ × ）
2．用来拟合散点图的函数图像一定要经过所有散点．（ × ）
3．函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．（ × ）
4．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．（ × ）
类型一 利用已知函数模型求解实际问题
例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程．
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
解 因为火车匀速运动的时间为（277－13）÷120＝
（h），所以0≤t≤
.
因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120t，所以，火车行驶的总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t
.2h内火车行驶的路程S＝13＋120×
＝233（km）．
反思与感悟 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．
跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 2
解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），
则水面和拱桥交点A（2，－2），设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2（a≠0），则－2＝a·22，∴a＝－
，∴y＝－
x2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B（b，－3），将B点的坐标代入y＝－
x2，得b＝±
，因此水面宽2
米．
类型二 自建确定性函数模型解决实际问题
命题角度1 非分段函数模型
例2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝
－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
考点 函数模型的综合应用
题点 函数模型中的最值问题
解 设可获得总利润R（x）万元，
则R（x）＝40x－y＝40x－
＋48x－8000
＝－
＋88x－8000
＝－
（x－220）2＋1680（0≤x≤210）．
∵R（x）在[0,210]上是增函数，∴当x＝210时，
R（x）max＝－
（210－220）2＋1680＝1660（万元）．
∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．
反思与感悟 自建模型时主要抓住四个关键：
“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
跟踪训练2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝
x，Q2＝
.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？
考点 函数模型的综合应用
题点 函数模型中的最值问题
解 设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资（3－x）万元，总利润为y万元．
所以Q1＝
x，Q2＝
.
所以y＝
x＋
（0≤x≤3），
令t＝
（0≤t≤
），则x＝3－t2.
所以y＝
（3－t2）＋
t＝－
2＋
.
当t＝
时，ymax＝
＝1.05（万元），即x＝
＝0.75（万元），所以3－x＝2.25（万元）．
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．
命题角度2 分段函数模型
例3 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
旅游点规定：
每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．（日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得）
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？
日净收入最多为多少元？
考点 函数模型的应用
题点 分段函数模型的应用
解
（1）当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3.
又因为x∈N，所以3≤x≤6，且x∈N.
当6y＝[50－3（x－6）]x－115＝－3x2＋68x－115，
综上可知
y＝f（x）＝
（2）当3≤x≤6，且x∈N时，
因为y＝50x－115是增函数，
所以当x＝6时，ymax＝185元．
当6y＝－3x2＋68x－115＝－3
2＋
，
所以当x＝11时，ymax＝270元．
综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．
反思与感悟 自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应因变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型应注意：
（1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
（2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
（3）分段函数的值域求法为：
逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练3 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40min的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：
min）之间的关系满足如图的图像．当x∈（0,12]时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点A（10,80），过点B（12,78）；当x∈[12,40]时，图像是线段BC，其中C（40,50）．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．
（1）试求y＝f（x）的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？
请说明理由．
考点 函数模型的应用
题点 分段函数模型的应用
解
（1）当x∈（0,12]时，
设f（x）＝a（x－10）2＋80（a≠0）．
因为该部分图像过点B（12,78），将B点的坐标代入上式，得a＝－
，所以f（x）＝－
（x－10）2＋80.
当x∈[12,40]时，设f（x）＝kx＋b（k≠0）．因为线段BC过点B（12,78），C（40,50），将它们的坐标分别代入上式，得方程组
解得
所以f（x）＝－x＋90.
故所求函数的关系式为
f（x）＝
（2）由题意，得
或
解得4故老师应在x∈（4,28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.
1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是（ ）
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型B．幂函数模型
C．指数函数模型D．对数函数模型
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 A
解析 根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
2．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 C
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是（ ）
A．
B．y＝（0.9576）100x
C．y＝
xD．
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 A
4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（ ）
A．y＝2x－1B．y＝x2－1
C．y＝2x－1D．y＝1.5x2－2.5x＋2
考点 函数拟合问题
题点 据实际问题选择函数模型
答案 D
5．某同学最近5年内的学习费用y（千元）与时间x（年）的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（ ）
A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋bD．y＝alnx＋b
考点 函数拟合问题
题点 据实际问题选择函数模型
答案 B
解函数应用问题的步骤（四步八字）
（1）审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：
求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：
将数学问题还原为实际问题.
一、选择题
1．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：
一种是即时价格曲线y＝f（x），另一种是平均价格曲线y＝g（x）．例如，f
（2）＝3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g
（2）＝3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元．下图给出的四个图像中，实线表示y＝f（x），虚线表示y＝g（x），其中可能正确的是（ ）
考点 函数拟合问题
题点 函数拟合问题
答案 C
解析 开始时平均价格与即时价格一致，排除A，D；平均价格不能一直大于即时价格，排除B.
2．某商场出售一种商品，每天可卖1000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为（ ）
A．2元B．2.5元
C．1元D．1.5元
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 D
解析 设每件降价0.1x元，则每件获利（4－0.1x）元，每天卖出商品件数为（1000＋100x），利润y＝（4－0.1x）·（1000＋100x）＝－10x2＋300x＋4000＝－10（x2－30x＋225－225）＋4000＝
－10（x－15）2＋6250.∴当x＝15时，ymax＝6250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益．
3．（2017·湖南衡阳、长郡中学等十三校联考）某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
（参考数据：
lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ ）
A．2017年B．2018年C．2019年D．2020年
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 D
解析 设从2016年起，过了n（n∈N＋）年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×（1＋12%）n≥200，则n≥
≈
＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2016＝2020.故选D.
4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为（ ）
A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 A
解析 由三角形相似得
＝
，
得x＝
（24－y），
∴S＝xy＝－
（y－12）2＋180（8≤y<24）．
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：
分钟）满足函数关系p＝at2＋bt＋c（a，b，c是常数），如图记录了三次试验的数据．根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟B．3.75分钟
C．4.00分钟D．4.25分钟
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 B
解析 依题意得
解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2
2＋
，所以当t＝3.75时，p取得最大值．所以最佳加工时间为3.75分钟．故选B.
6．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似满足关系y＝alog3（x＋2），观测发现2012年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2018年冬有越冬白鹤（ ）
A．4000只B．5000只
C．6000只D．7000只
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 C
解析 当x＝1时，由3000＝alog3（1＋2），得a＝3000，所以到2018年冬，即第7年，
y＝3000×log3（7＋2）＝6000.故选C.
二、填空题
7．现测得（x，y）的两组对应值分别为（1,2），（2,5），现有两个待选模型，甲：
y＝x2＋1，乙：
y＝3x－1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3,10.2），则应选用________作为函数模型．
考点 函数拟合问题
题点 据实际问题选择函数模型
答案 甲
解析 将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．
8．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林________亩．
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 17280
解析 易知第四年造林为10000×（1＋20%）3＝10000×1.23＝17280（亩）．
9．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 1.75
解析 由题意有
解得
∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75（万件）．
10．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a
（a为正数），广告效应为D＝a
－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案
解析 D＝a
－A＝－
2＋
，
当
＝
时，Dmax＝
，此时A＝
.
升级会员 