九年级数学一元二次方程培优训练试题.docx
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九年级数学一元二次方程培优训练试题
九年级数学一元二次方程培优训练试题
一．选择题
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.x﹣4=2xB.x2+x﹣5=0C.x2﹣4y+2=0D.
﹣x+2=0
2.已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m=0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A.14B.16C.12或14D.14或16
3.已知x=a是方程x2﹣3x﹣5=0的根，则代数式4﹣2a2+6a的值为（ ）
A.6B.9C.14D.﹣6
4.若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n的值为（）
A.1B.2C.－1D.－2
5.若2﹣
是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A.1B.3-
C.1+
D.2+
6.已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A.9B.12C.9或12D.6或12或15
7.若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k＜
且k≠﹣2B.k≤
C.k≤
且k≠﹣2D.k≥
8.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．
A.
B.5C.
D.7
9.三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A.24B.48C.24或8
D.8
10.已知：
x1，x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则2x12+x22﹣2x1=（ ）
A.16B.17C.18D.19
11.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=（ ）
A.﹣5B.9C.5D.7
二．填空题
12.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为_____．
三．解答题
13.已知：
关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣2）x+m=0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程两个实数根为x1，x2，是否存在实数m，使得
=1？
请说明理由．
14.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？
并求出最大利润．
15.列一元二次方程解应用题
某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同．
（1）求每个月增长的利润率；
（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？
16.关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根
．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根
满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．
17.已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m=0
（1）求证：
该方程有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x12+x22=25，求m的值．
18.十一黄金周期间，海洋中学决定组织部分优秀老师去北京旅游，天马旅行社推出如下收费标准：
（1）学校规定，人均旅游费高于700元，但又想低于1000元，那么该校所派人数应在什么范围内；
（2）已知学校已付旅游费27000元，问该校安排了多少名老师去北京旅游？
19.近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：
居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
7
70
5
5
40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？
如何节约用水？
20.如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，问道路应多宽？
21.在2017年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：
若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的２倍．
（1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？
（2）已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元，试问：
租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？
请说明理由．
22.甲乙两人同时同地沿同一路线开始攀登一座600米高的山，甲的攀登速度是乙的1.2倍，他比乙早20分钟到达顶峰.甲乙两人的攀登速度各是多少？
如果山高为
米，甲的攀登速度是乙的
倍，并比乙早
分钟到达顶峰，则两人的攀登速度各是多少？
23.为了“绿色出行”，王经理上班出行由自驾车改为乘坐地铁出行，已知他家距上班地点21千米，他用地铁方式平均每小时出行的路程，比用自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多5千米，他从家出发到达上班地点，地铁出行所用时间是自驾车方式所用时间的
，求王经理地铁出行方式上班的平均速度．
24.如图，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s，若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4
cm？
（2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？
最小面积是多少？
一元二次方程综合训练试题
一．选择题
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.x﹣4=2xB.x2+x﹣5=0C.x2﹣4y+2=0D.
﹣x+2=0
【答案】B
【解析】
【分析】
逐一分析各个选项，找出符合一元二次方程定义的即可得到答案．
【详解】A．整理后得：
x+4=0，是一元一次方程，A项不是一元二次方程，
B．符合一元二次方程的定义，有一个未知数，且未知数的最高次数为2，B项是一元二次方程，
C．有两个未知数，未知数的最高次数为2，是二元二次方程，C项不是一元二次方程，
D．分母含有未知数，属于分式方程，D项不是一元二次方程，
故选：
B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2.已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m=0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A.14B.16C.12或14D.14或16
【答案】D
【解析】
【分析】
先把x=4代入方程x2-5mx+12m=0得m=2，则方程为x2-10x+24=0，利用因式分解法解方程得到x1=4，x2=6，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．
【详解】把x=4代入方程x2-5mx+12m=0得16-20m+12m=0，解得m=2，
则方程为x2-10x+24=0，
（x-4）（x-6）=0，
所以x1=4，x2=6，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
所以这个等腰三角形三边分别为4、4、6；4、6、6，
所以△ABC的周长为14或16．
故选：
D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.已知x=a是方程x2﹣3x﹣5=0的根，则代数式4﹣2a2+6a的值为（ ）
A.6B.9C.14D.﹣6
【答案】D
【解析】
【分析】
利用一元二次方程解的定义得到a2-3a=5，再把4-2a2+6a变形为4-2（a2-3a），然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】把x=a代入方程x2-3x-5=0得a2-3a-5=0，则a2-3a=5，
所以4-2a2+6a=4-2（a2-3a）=4-2×5=-6．
故选：
D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
4.若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n的值为（）
A.1B.2C.－1D.－2
【答案】D
【解析】
∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，
代入得：
n2+mn+2n=0，
∵n≠0，
∴方程两边都除以n得：
n+m+2=0，
∴m+n=-2．
故选D．
5.若2﹣
是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A.1B.3-
C.1+
D.2+
【答案】A
【解析】
【分析】
把2﹣
代入方程x2﹣4x+c=0就得到关于c的方程，就可以解得c的值．
【详解】把2﹣
代入方程x2﹣4x+c=0，得（2﹣
）2﹣4（2﹣
）+c=0，解得：
c=1．
故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
6.已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A.9B.12C.9或12D.6或12或15
【答案】B
【解析】
【分析】
先把x＝2代入x2−（5＋m）x＋5m＝0中得4−2（5＋m）＋5m＝0，解得m＝2，再解方程得到x1＝2，x2＝5，然后根据三角形三边的关系得到等腰△ABC的腰长为5，底边长为2，再计算三角形的周长．
【详解】把x＝2代入方程x2−（5＋m）x＋5m＝0得4−2（5＋m）＋5m＝0，解得m＝2，
方程化为x2−7x＋10＝0，解得x1＝2，x2＝5，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
所以等腰△ABC的腰长为5，底边长为2，
所以△ABC的周长为5＋5＋2＝12．
故选：
B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
7.若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k＜
且k≠﹣2B.k≤
C.k≤
且k≠﹣2D.k≥
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，求出即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程（k+2）x2-3x+1=0有实数根，
∴k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，
解得：
k≤
且k≠-2，
故选：
C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
8.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．
A.
B.5C.
D.7
【答案】B
【解析】
【分析】
设一条直角边为x，则另一条直角边为7-x，利用三角形面积公式可得：
x（7-x）=6.
【详解】设一条直角边为x，则另一条直角边为7-x，利用三角形面积公式可得：
x（7-x）=6，
解得x=3或4，故该直角三角形两个直角边分别为3和4，
利用勾股定理可得斜边长为：
，
故斜边为5.
【点睛】本题利用三角形面积公式和勾股定理考察了一元二次方程的应用.
9.三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A.24B.48C.24或8
D.8
【答案】C
【解析】
试题分析：
由
，得到
，∴
或
．
当
时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形．∴高h=
，
∴S△=
；
当
时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形．
∴S△=
．∴S=24或
．
故选：
C．
考点：
1．一元二次方程的应用；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．
10.已知：
x1，x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则2x12+x22﹣2x1=（ ）
A.16B.17C.18D.19
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系结合一元二次方程的解可得出：
x12-2x1=5，x1+x2=2，x1x2=-5，将其代入2x12+x22-2x1=（x12-2x1）+（x1+x2）2-2x1x2中即可求出结论．
【详解】∵x1，x2是方程x2-2x-5=0的两根，
∴x12-2x1=5，x1+x2=2，x1x2=-5，
∴2x12+x22-2x1=（x12-2x1）+（x1+x2）2-2x1x2=5+22-2×（-5）=19．
故选：
D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用根与系数的关系及一元二次方程的解找出x12-2x1=5，x1+x2=2，x1x2=-5是解题的关键．
11.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=（ ）
A.﹣5B.9C.5D.7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可知m＋n＝－2，又知m是方程的根，所以可得m2＋2m－7＝0，最后可将m2＋3m＋n变成m2＋2m＋m＋n，最终可得答案．
【详解】∵设m、n是一元二次方程x2＋2x−7＝0的两个根，
∴m＋n＝−2，
∵m是原方程的根，
∴m2＋2m−7＝0,即m2＋2m＝7，
∴m2＋3m＋n＝m2＋2m＋m＋n＝7−2＝5，
故答案为：
5.
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练应用韦达定理.
二．填空题
12.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
【详解】设有x个队参赛，
x（x-1）=90．
故答案是：
x（x-1）=90．
【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
三．解答题
13.已知：
关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣2）x+m=0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程两个实数根为x1，x2，是否存在实数m，使得
=1？
请说明理由．
【答案】
（1）m≤
且m≠0；
（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据“关于x的一元二次方程mx2-（2m-2）x+m=0有实根”，判别式△≥0，得到关于m的一元一次方程，解之即可;
（2）根据“
=1”，通过整理变形，根据根与系数的关系，得到关于m的一元二次方程，解之，结合
（1）的结果，即可得到答案．
【详解】：
（1）∵方程mx2-（2m-2）x+m=0是一元二次方程，
∴m≠0，
△=（2m-2）2-4m2
=4m2-8m+4-4m2
=4-8m≥0，
解得：
m≤
，即m的取值范围为：
m≤
且m≠0；
（2）
=
-2=1，
x1+x2=
，x1x2=1，
把x1+x2=
，x1x2=1代入
-2=1得：
=3，
解得：
m=4±2
，
∵m的取值范围为：
m≤
且m≠0，
∴m=4±2
不合题意，
即不存在实数m，使得
=1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键：
（1）根据判别式△≥0，列出关于m的一元一次方程，
（2）正确掌握根与系数的关系，列出一元二次方程．
14.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？
并求出最大利润．
【答案】他将售出价（x）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是360元．
【解析】
试题分析：
日利润=销售量×每件利润．每件利润为x-8元，销售量为100-10（x-10），据此得关系式．
试题解析：
由题意得，
y=（x-8）[100-10（x-10）]=-10（x-14）2+360（10≤a＜20），
∵a=-10＜0
∴当x=14时，y有最大值360
答：
他将售出价（x）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是360元．
考点：
二次函数的应用．
16.关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根
．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根
满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．
【答案】
（1）k﹥
；
（2）k=2．
【解析】
试题分析：
：
（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求得k的取值范围即可；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可．
试题解析：
（1）∵原方程有两个不相等的实数根
∴Δ＝（2k+1）2－4（k2+1）=4k2+4k+1－4k2－4=4k－3﹥0
解得：
k﹥
；
∵k﹥
，
∴x1+x2=－（2k+1）＜0
又∵x1·x2=k2+1﹥0
∴x1＜0，x2＜0，
∴｜x1｜+｜x2｜=－x1－x2=－（x1+x2）=2k+1
∵｜x1｜+｜x2｜=x1·x2
∴2k+1=k2+1，
∴k1=0,k2=2
又∵k﹥
∴k=2．
考点：
根的判别式；根与系数的关系．
17.已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m=0
（1）求证：
该方程有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x12+x22=25，求m的值．
【答案】
（1）见解析;
（2）m的值为±4.
【解析】
【分析】
（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2-4ac≥0；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22=25，转换为（x1+x2）2-2x1x2=25，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
【详解】
（1）证明：
∵△=b2-4ac
=（m-3）2+12m
=m2+6m+9
=（m+3）2；
又∵（m+3）2≥0，
∴b2-4ac≥0，
∴该方程有两个实数根；
（2）解：
∵x1+x2=3-m，x1•x2=-3m，
x12+x22=25，
（x1+x2）2-2x1x2=25，
（3-m）2-2×（-3m）=25，
9+m2=25，
m2=16，
解得m=±4．
故m的值为±4．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系：
x1+x2=-
，x1•x2=
．
18.十一黄金周期间，海洋中学决定组织部分优秀老师去北京旅游，天马旅行社推出如下收费标准：
（1）学校规定，人均旅游费高于700元，但又想低于1000元，那么该校所派人数应在什么范围内；
（2）已知学校已付旅游费27000元，问该校安排了多少名老师去北京旅游？
【答案】
（1）25＜x＜40，
（2）该校安排了30名老师去北京旅游．
【解析】
【分析】
（1）设出该校所派人数为x人，列出不等式，解出x的值；
（2）设该校所派人数为x人，列出关于x的等式，求出值后舍去不符合的值.
【详解】解：
（1）设该校所派人数为x人，
∵人均旅游费低于1000元，
∴x＞25，
∵人均旅游费高于700元，
∴1000﹣20（x﹣25）＞700，
解得：
x＜40，
即x的取值范围为：
25＜x＜40，
答：
该校所派人数应多于25人，少于40人，
（2）若该校所派人数为25人，
25×1000=25000＜27000，
∴安排的老师人数多于25人，
设该校所派人数为x人，
根据题意得：
x[1000﹣20（x﹣25）]=27000，
整理得：
x2﹣75x+1350=0，
解得：
x1=30，x2=45（舍去），
答：
该校安排了30名老师去北京旅游．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.
19.近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：
居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
7
70
5
5
40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？
如何节约用水？
【答案】
（1）10+40a-5a2元；
（2）3吨；（3）见解析;
【解析】
【分析】
（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；
（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可；
【详解】
（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元；
（2）由题意得：
5a（7-a）+10=70，
解得：
a=3或a=4
5a（5-a）+10=40
解得：
a=3或a=2，
综上，规定用水量为3吨；
（3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准．
20.如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，问道路应多宽？
【答案】道路为1m宽．
【解析】
试题分析：
本题中，试验地的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可．
试题解析：
设道路为x米宽，
由题意得：
，整理得：
，解得：
，
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