九年级数学一元二次方程带答案.docx
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九年级数学一元二次方程带答案
第二章一元二次方程
第1讲一元二次方程概念及解法
知识要点】
.知识结构网络
、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
1.直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为x2bb0或
2
xa2b的形式的方程求解。
当b0时，可两边开平方求得方程的解；当b0时，方程无实数根。
2.因式分解法解方程的步骤：
（1）将方程一边化为0；
（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。
3.配方法解一元二次方程的步骤为：
（1）化二次项系数为1
（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为（xm）2n的形式（5）如果右边是非
负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4.公式法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程化为一般形式ax2bxc0，确定a、b、c的值；
（2）计算
22bb24ac
b24ac的值并判别其符号；（3）若b24ac0，则利用公式x求方程的解，若2a
2b24ac0，则方程无实数解。
典型例题】
1）6x27x30（用因式分解法）
解：
（3x1）（2x3）0
∴3x
10或2x
x1
，x2
2）3x2
4x
1（用公式法）
解：
3x
4x
4）2
3×（
1）
280
（4）
28
2×3
±7
x1
27
3，x2
2
3
27
3
3）
2x2
2x30
用配方法）
15
解：
x2
x2
（x
2
x
2
22
4）
（42）2
4
15
（42）2
121
8
∴x
11
4
∴x1
32，
x2
522
经典练习】
、直接开方法
1）（x1）2（1
2x）2
2）（x
a）2b
二、配方法注：
（1）2x22x300
二、公式法
1.用求根公式法解下列方程
2
（1）x22x20；
2
（2）2y28y10；
解：
21
（3）2x23x0；
8
解：
2
（4）3y22y1；
解：
（5）2x25x10；
解：
2
（6）x225x30；
解：
2
（7）3x24x50；
解：
（7）方程无实数根；
（8）2x243x220；
解：
2
（9）0.02x20.03x0.35；
解：
（9）先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，
（10）（123）xx23（13）
解：
。
三、因式分解
1.用因式分解法解下列各方程：
（1）x2－5x－24＝0；
解：
；
（2）12x2＋x－6＝0；
解：
；
3）x2－4x－165＝0
（4）2x2－23x＋56＝0；
解：
（2x7）（x8）0，x17，x28；
2
（5）9x224x164x12；
解：
（6）3（x3）3（3x）2；
解：
（7）x2（32）x60
解：
；
（8）（x2）25x106；
解：
（x－2）2－5（x－2）＋6＝0，（x－2－2）（x－2－3）＝0，x1＝4，x2＝5；（9）t（t＋3）＝28；
解：
（9）t2＋3t－28＝0，（t＋7）（t－4）＝0，t1＝－7，t2＝4；
（10）（x＋1）（x＋3）＝15。
解：
x2＋4x＋3＝15，（x＋6）（x－2）＝0，x1＝－6，x2＝2
2.用因式分解法解下列方程：
（1）（y－1）2＋2y（y－1）＝0；
解：
（2）（3x＋2）2＝4（x－3）2；
解：
[（3x2）2（x3）][（3x2）
2（x3）]0
（5x
4
4）（x8）0，x1，x2
5
8
（3）
9（2x＋3）2－4（2x－5）2＝0；
解：
[3（2x＋3）＋2（2x－5）][3（2x＋3）－2（2x－5）]
＝0，
119
（10x1）（2x19）0，x1110，x2129
4）（2y＋1）2＋3（2y＋1）＋2＝0。
解：
［（2y＋1）＋1］［（2y＋1）＋2］＝0，三、综合练习
1.下列方程中，有两个相等实数根的方程是（B）
A.7x2－x－1＝0B.9x2＝4（3x－1）
2322
C.x27x150D.x2x1022
解析:
因为△＝4（a＋b＋c）2－12（a2＋b2＋c2）
＝4（－2a2－2b2－2c2＋2ab＋2ac＋2bc）
＝－4［（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2］＜0
3.若方程m2x2（2m3）x10的两个实根的倒数和是S，求：
S的取值范围。
分析：
本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，数式表示m，借助m的取值范围就可求出S的取值范围。
x，x，
则x
2m3
1
x
xx
解：
设方程的两个实根为1，2，
1
2
2，12
2
m
m
∵方程有两个实根
∴（2m3）24m20，
且m2
≠0
∴m3且m≠0
4
2m
3
11x1x
∵S1
m2
2m3
x1x2x1x2
1
2m
S3
2
3
S且S≠3。
2
4.已知关于x的方程x2＋（2m＋1）x＋（m－2）2＝0。
m取什么值时，
（1）方程有两个不相等的实数根
（2）方程有两个相等的实数根
（3）方程没有实数根
解析:
△＝（2m＋1）2－4（m－2）2＝5（4m－3）。
（1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根；
2）当时，原方程有两个相等的实数根；3）当时，原方程没有实数根。
22
5.已知关于x的方程x22（k1）xk22k10①
（1）求证：
对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。
其中x1，x2为方程①的两个
2
（2）如果a是关于y的方程y2（x1x22k）y（x1k）（x2k）0②的根，实数根。
2222
4（k1）24（k22k1）4k28k44k28k
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。
∴x1
x2
2（k
1），x1x2
k2
2k1
∴x1
x2
2k
2（k
1）
2k
2
（x1k）（x2
k）
x1x2
k（x1
x2）k2
k2
2k
1
2k（k
1）k
21
∴方程②
为y2
2y1
0
∵a是方程②的根，∴
2
a2a
1
0
∴a≠
0，a
1
≠0，a
2
2a
1
∴（a1a
a
）÷
4·a
2
1
a1
a1
a
a1
a2·
a
1·a2
1
（a
1a2）（a2
a（a
1）·
4
a
4a2
1）
[a1（2a1）]（2a1
1）（a·）2a
4a2
4a2
2）解：
∵x1，x2是方程①的两个实数根
注：
第
（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。
2
6.已知关于x的一元二次方程ax2
2axc
0的两个实数根之差的平方为m
1）试分别判断当a1，c
3与a
2，c2时，m4是否成立，并说明理由；
2）若对于任意一个非零的实数
a，m
4总成立，求实数c及m的值。
解：
（1）
当a
1，c
3时，原方程化为
2x3
0，则x11，x2
∴m
[1（
3）]2
164
即m
4成立
当a
2，c
2时，
原方程化为2x2
4x
42
×2×
20，可设方程的两根分别为
x1，x2
则x1
x2
2，x1x2
∴m
2
（x1x2）（x1
x2）2
4x1x24224
即m
4不成立
（2）
设原方程两个实数根是
x1，x2
x22，x1x2
c
则x1
a
2
2
4c
m
（x1x2）2（x1
x2）2
4x1x24
a
4c
∵对于任意一个非零的实数
a，都有
44
a
∴c
0
当c
0时，4a2
0
∴c
0，m4
第2讲根的判别式
【知识要点】
1.根的判别式：
关于x的一元二次方程ax2
bxc0（a≠0）
b24ac
当0时，方程有两个不相等的实根
当0时，方程有两个相等的实根
当0时，方程无实根
【典型例题】
1.a，b，c是三角形的三条边，
求证：
关于x的方程b2x2＋（b2＋c2－a2）x＋c2＝0没有实数根
分析：
此题需证出△<0。
已知条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a>0，b>0，c>0。
还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。
证明：
因为△＝（b2＋c2－a2）2－4b2c2＝[（b2＋c2－a2）＋2bc][（b2＋c2－a2）－2bc]＝[（b＋c）2－a2][（b－c）2－a2]＝（b＋c＋a）（b＋c－a）（b－c＋a）（b－c－a）。
（要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负）
因为b＋c>a，即b＋c－a>0，
同理b－c＋a>0，又c＋a>b，即b－c－a<0。
又a＋b＋c>0，所以△＝（b＋c＋a）（b＋c－a）（b－c＋a）（b－c－a）<0。
所以，原方程没有实数根。
经典习题】
2
1.关于x的一元二次方程（ac）x2bx
ac
0有两个相等的实数根，
那么以a、b、c为三边长的三角形是
（）
A.以a为斜边的直角三角形B.以c为斜边的直角三角形
C.以b为底边的等腰三角形
CI.
以c为底边的等腰三角形
2.已知关于x的一元二次方程x2（k1）x
0，∴k
由根与系数关系，
∴k
则有x1x2（2k
1），x1x2
∵x12x2211
∴（x1x2）22x1x2
11
[（2k1）]22（k2
2）11
4k24k12k2
411
2k24k60
k22k30
（k3）（k1）0
解：
设方程的两根为
x1，
x2
∴k1
3，k2
1
∵
（2k1）2
4（k22）
4k
9
∴当k
3时，
0，舍去
当k
1时，
0。
∴k
1
注：
用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。
4．含有绝对值的一元二次方程
（1）.方程x|x|－8|x|－4＝0的实数根的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
解：
显然x＝0不是方程的根。
当x<0时，x｜x｜－8｜x｜－4<0。
∴x<0的任何实数不可能是方程的根。
当x>0时，方程为x2－8x－4＝0。
此方程两根之积为－4<0，可见两根为一正一负。
又因x>0，故负根舍去。
所以方程只有一个实数根。
应选A。
（2）.求方程x2－|2x－1|－4＝0的实数根。
1
解：
令2x10得x
2
1
显然x
2不是方程的解
当x
1时，
2
方程是x2（2x
1）
4
0
2
即x2
2x
30，解得x
3或x
1
x＝－1
舍去，
∴x＝3
当x
1
时，
2时，
2
方程是x2（1
2x）
4
0
即x2
2x
50，解得x
1±
6
x16舍去，∴x16故方程的实数根是x13，x216。
5．a，b，c，d为有理数，先规定一种新的运算：
badcadbc，那么（21x）4x5=18时，x=
6.已知x1,x2是方程x24x190的两根，求代数式x1335x21的值。
的值。
化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．
答案】解：
2
∵ax2bx10（a0）有两个相等的实数根，
22
∴⊿＝b24ac0，即b24a0．
ab2
0，∴2a
b2
4a
8.（四川乐山中考）
22
若关于x的一元二次方程x22（2k）xk2
120有实数根
1）求实数k的取值范围；
2）设t，求t的最小值．k
3）解：
（1）∵一元二次方程x22（2k）xk2120有实数根
4）∴0，
分⋯⋯⋯⋯⋯2
6）
解得
k2．⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分⋯⋯⋯⋯4
7）
（3）
由根与系数的关系得：
[2（2k）]42k，⋯⋯⋯⋯
8）
∴t
4
2k
4
2，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分⋯⋯7
k
k
k
9）
∵k
2，∴
24k
2
0，
10）
442k
2，
11）
即t的最小值为－
4．⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分⋯⋯⋯10
即4（2k）24（k212）0，
5）
9.（四川绵阳中考）已知关于x的一元二次方程x2=2（1－m）x－m2的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
答案】
（1）将原方程整理为x2+2（m－1）x+m2=0．
原方程有两个实数根，
△=[2（m－1）2－4m2=－8m+4≥0，得m≤1．2
2）∵x1，x2为x2+2（m－1）x+m2=0的两根，
∴y=x1+x2=－2m+2，且m≤．
2
1
因而y随m的增大而减小，故当m=1时，取得极小值1．
2
2
10.（湖北孝感中考）关于x的一元二次方程x2xp10有两实数根x1、x2.
（1）求p的取值范围；（4分）
（2）若[2x1（1x1）][2x2（1x2）]9,求p的值.（6分）
答案】解：
（1）由题意得：
（1）24（p1）0.⋯⋯⋯⋯2分
5
解得：
p⋯⋯⋯⋯分44
（2）由[2x1（1x1）][2x2（1x2）]9得，
（2x1x12）（2x2x22）9.⋯⋯⋯⋯分6
x1,x2是方程x2xp10的两实数根x12x1p10,x22x2p10,
22
x1x1p1,x2x2p1.
（2p1）（2p1）9,即（p1）29.⋯⋯⋯⋯分8
p2,或p4.⋯⋯⋯⋯9分
5
p,所求p的值为p4.⋯⋯⋯⋯分10
4
说明：
1．可利用x1x21,得x11x2,
x21x1代入原求值式中求解；11.（山东淄博中考）已知关于x的方程x22（k3）xk24k10．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
22
（3）若以方程x22（k3）xk24k10的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数ym的图象上，求满足条件的m的最小值．
x
【答案】解:
（1）由题意得△＝2k324k24k1≥0
化简得2k10≥0，解得k≤5．
（2）将1代入方程，整理得k26k60，解这个方程得k133，k233.
（3）设方程x22（k3）xk24k10的两个根为x1，x2，
根据题意得mx1x2．又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2k24k1，
22
那么mk24k1k225，所以，当k＝2时m取得最小值－512.（广东茂名中考）已知关于x的一元二次方程x26xk20（k为常数）．
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x12x214，试求出方程的两个实数根和k的值．【答案】解：
（1）b24ac（6）241（k2）364k20，·················2分
3分
4分
因此方程有两个不相等的实数根．
2）b6
2）Qx1x26，
12a1
又Qx12x214，
解得：
k4．·················································7分
第3讲根与系数的关系
知识要点】
1.根与系数关系
关于x的一元二次方程
ax2
bxc0（a≠0）
当0时，
有x1
x2
bc
，x1x2
aa
推论1
：
如果方程x2
px
q0的两个实数根是x1，
x2，那么x1
x2
p,x1x2
q.
推论2
：
以x1,x2为根的
一元二
次方程（二次项系数为
1）是：
x2
（x1
x2）xx1x20
典型例题】
1.已知方程
2
x
3xm
0的两个实根中，其中一个是另一个的
2倍，求m的值。
解：
设方程的一个根为
x，另一根2x
3
x
2x1
由根系关系知
2
m
x
·2x2
2
1
x
解得：
2
m
1
m
1
2.已知方程
3x2
7x
30的两根x1、x2（x1x2）不解方程，
求x1x2和x12x22的值。
x1x2
x1x2
22713x1x2x1x2x1x2
9
经典习题】
.选择题。
1.
已知x3是关于x的一元二次方程k1x22kx30的一个根，则k与另一根分别为（）
A.4B.-4C.1D.-1
3.若方程x2xk0有两负根，则k的取值范围是（）
11
A.k0B.k0C.kD.0k44
2
4.若方程x2pxq0的两根中，只有一个是0，那么（）
A.p
q
0
B.p0，q0
C.p
0，
q
0
D.不能确定
5.方程x
2
px
p21
4
0的大根与小根之差等于
（）
A.1
B.
2p21
C.1D.
2p21
1515
6.
以15，15为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（）22
.填空题。
7.关于x的一元二次方程x22m1xm20的两根互为倒数，则m＝。
2
8.已知一元二次方程ax2bxc0两根比2：
3，则a，b，c之间的关系是。
21
9.已知方程x2mxmm40的两根x1、x2，且x12x229，则m
3
10.已知、
是方程x2
___。
5x20
的两根，不解方程可得：
22
，11
__，33
2
11.已知2
213，1。
1
2，则以、
为根的一
元二次方程是
.解答题。
12.已知方程
2
2x23x70
的两根、
，求作以
2、2
为两根的方程。
8.设x12t，x23t，则
x1x2m
1
9.x1x2mm4
123
x12x229
10.
mm42m5
3
2m150
5或m
5时，
11.
1
由此
22
3原方程△<
525
24
185
8
1
23
8
6或
13
13
0，
故舍去，
25
13
22
12
33
2454
41
2
13
2
所求方程x25x
0或
x23x
三.解答题。
12.解：
由题意
2
7
2
即
22
3
9
2
22
2
225
2
2
9
7
2
2
8
292
故所求方程是x2x80，即2x29x1602
22
2m14m201
x1
x22m1
13.解：
x1x2
2m
1
1
3
x1
x2
由1：
4m101
m
4
由4：
x1x23x1x2
2
2m13m2
2
3m22m10
m13m10
1
m11，m2
3
11
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