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抛物线压轴题

抛物线压轴题

————————————————————————————————作者：

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绝密★启用前

xxｘ学校2014-２015学年度2月月考卷

试卷副标题

考试范围：

xxx；考试时间：

１00分钟；命题人：

xxx

题号

一

总分

得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ｉ卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人

得分

一、解答题（题型注释）

1.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：

由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件１0元，出厂价为每件12元,每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：

y=-１０x＋５0０．

⑴李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?

⑵设李明获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

⑶物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于2５元,如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

2．如图所示，直线l:

y=３x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C,抛物线过点B、Ｃ和Ｄ（3，0）.

（1）求直线BＤ和抛物线的解析式.

（２）若BD与抛物线的对称轴交于点Ｍ，点N在坐标轴上，以点Ｎ、B、D为顶点的三角形与△MCＤ相似,求所有满足条件的点N的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点Ｐ，使S△PBD=6?

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．根据市场分析,若按每千克50元销售，一个月能销售500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少1０千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:

（１）当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x元,月销售利润为ｙ元，求ｙ与x之间的函数关系式;

（3）商店想在月销售成本不超过１0000元的情况下，使得月销售利润达到5　000元,销售单价应定为多少？

4．如图,抛物线ｙ=-x

＋4x+5交x轴于A、B（以A左B右）两点，交y轴于点C.

（1）求直线BC的解析式;

（2）点Ｐ为抛物线第一象限函数图象上一点,设P点的横坐标为m,△PBＣ的面积为S，求S与m的函数关系式；

（3）在

（2）的条件下,连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分，如果不存在，请说明理由;如果存在,求点P的坐标.

5.某商品的进价为每件５０元,售价为每件60元,每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元.则每个月少卖1０件。

设每件商品的售价上涨ｘ元（x为正整数）,每个月的销售利润为y元．

（1）求y与ｘ的函数关系式

（2）　每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元?

（3）　若每个月的利润不低于2160元，售价应在什么范围?

6.如图,已知抛物线y=x2-１与x轴交于Ａ、B两点，与y轴交于点Ｃ.

（1）求Ａ、Ｂ、C三点的坐标.

（2）过点Ａ作AＰ∥CＢ交抛物线于点Ｐ,求四边形ACBP的面积．

（3）在

轴上方的抛物线上是否存在一点M，过Ｍ作MＧ

轴于点G，使以A、Ｍ、G三点为顶点的三角形与

PCA相似.若存在，请求出Ｍ点的坐标;否则,请说明理由．

7.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为2０元/千克．市场调查发现,该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：

w＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为ｙ（元）．

（1）求y与x之间的函数关系式，自变量ｘ的取值范围;

（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大?

最大利润是多少?

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于２8元/千克，该农户想要每天获得1５0元的销售利润,销售价应定为多少元？

（参考关系:

销售额=售价×销量,利润=销售额﹣成本）

参数答案

1.

（1）６0０；

（2）30;（3）500.

【解析】

试题分析:

（1）根据销售额＝销售量×销售单价，列出函数关系式；

（２）用配方法将

（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值;

（3）把y=３000代入

（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求ｘ的值．

试题解析：

⑴当x=20时,y=-10x+5００=-10×２０+５０0=300,

３００×（12-1０）=３０0×2=600,

即政府这个月为他承担的总差价为600元．

⑵依题意得，W＝（ｘ－10）（-10x+５0０）=－1０x2＋60０ｘ-5０00=-10（x-3０）2+4０0０

∵a=-10＜０，∴当x=3０时，W有最大值40０0．

即当销售单价定为3０元时,每月可获得最大利润40０0元.

⑶由题意得：

-1０x2+60０x-5000=30０0,解得：

x1=２0,x2=40.

∵a=－10<0,抛物线开口向下，

∴结合图象可知:

当2０≤x≤40时,W≥３０00．

又∵ｘ≤25，

∴当20≤ｘ≤25时，W≥3０00．

设政府每个月为他承担的总差价为p元,

∴ｐ=（12－10）×（-1０x+５０0）

=－２0x+100０．

∵ｋ=－2０＜0.

∴p随x的增大而减小,∴当x=２5时,p有最小值５00.

即销售单价定为２5元时,政府每个月为他承担的总差价最少为5０0元．

考点:

　二次函数的应用.

2．

（1）直线BＤ的解析式为:

ｙ=﹣x+３,抛物线的解析式为:

y=x2﹣4x＋３;

（２）满足条件的点N坐标为:

（0，0），（﹣3,0）或（0,﹣３）;

（3）在抛物线上存在点Ｐ,使S△ＰBＤ=6,点P的坐标为（4,3）或（﹣１,8）.

【解析】

试题分析:

（１）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；

（2）首先确定△MＣD为等腰直角三角形,因为△BNＤ与△MCD相似,所以△BND也是等腰直角三角形.如答图1所示，符合条件的点Ｎ有３个;

（3）如答图２、答图３所示,解题关键是求出△ＰＢＤ面积的表达式，然后根据S△ＰBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解．

试题解析:

（1）∵直线l：

y＝3x+３与x轴交于点Ａ，与y轴交于点B,

∴A（﹣1，0）,Ｂ（0，3）;

∵把△AＯB沿y轴翻折，点A落到点C,∴C（１,０）.

设直线BD的解析式为:

y＝ｋx+b,

∵点B（0，３）,Ｄ（3,０）在直线BＤ上,

∴

解得ｋ=﹣１,ｂ=3，

∴直线BD的解析式为:

ｙ=﹣x+3．

设抛物线的解析式为:

y=ａ（ｘ﹣1）（x﹣3），

∵点B（０,3）在抛物线上,

∴3=a×（﹣1）×（﹣3），

解得：

ａ＝1，

∴抛物线的解析式为:

y＝（x﹣1）（x﹣3）=ｘ2﹣４ｘ＋３;

（2）抛物线的解析式为：

y=x2﹣4x+3＝（ｘ﹣２）2﹣1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,﹣1）．

直线BD：

ｙ＝﹣ｘ+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2,得y=1，

∴M（2,1）．

设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MF=１,

∴△MCD为等腰直角三角形．

∵以点N、Ｂ、Ｄ为顶点的三角形与△MCＤ相似,

∴△BＮD为等腰直角三角形．

如答图１所示：

（Ｉ）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O,

∴N1（0，０）;

（II）若ＢD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上,

∵ＯB=OＤ=OＮ２=3,

∴N2（﹣3,0）；

（IＩI）若BD为直角边,Ｄ为直角顶点,则点N在y轴负半轴上，

∵OB=ＯD=ＯN3=3,

∴Ｎ3（０,﹣3）．

∴满足条件的点N坐标为:

（0，０），（﹣3,０）或（0,﹣3）;

（3）假设存在点P，使Ｓ△PＢD=6,设点P坐标为（m,ｎ）.

（Ｉ）当点P位于直线BD上方时,如答图2所示：

过点P作PE⊥ｘ轴于点E，则PＥ=ｎ，DE=m﹣3．

S△PBD＝S梯形ＰＥOＢ﹣S△ＢＯD﹣S△PDE=

（3+n）•m﹣

×3×３﹣

（m﹣３）•ｎ＝6,

化简得：

m+ｎ=７①,

∵P（m，n）在抛物线上,

∴n=m2﹣４m+３，

代入①式整理得:

m2﹣３m﹣4=０,

解得:

m1=4，ｍ2=﹣1,

∴n1=3,n2=8,

∴P1（4,3），P2（﹣1,8）；

（II）当点Ｐ位于直线BD下方时，如答图3所示：

过点Ｐ作PE⊥y轴于点E，则PＥ=m,OE=﹣n,BE=３﹣n．

S△PＢＤ=S梯形PEOD+Ｓ△BＯD﹣Ｓ△ＰBE=

（3＋m）•（﹣n）+

×3×３﹣

（3﹣n）•m=6,

化简得：

m+ｎ=﹣１②，

∵P（ｍ，n）在抛物线上,

∴n=ｍ2﹣4m+3，

代入②式整理得:

m2﹣3m＋４=0,△=﹣7＜０,此方程无解．

故此时点P不存在.

综上所述,在抛物线上存在点P，使Ｓ△ＰBD=6,点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．

考点：

二次函数综合题.

3.（１）450（千克）6750（元）　　

（2）y＝（x-40）[500-（ｘ－5０）×1０]（3）９0元

【解析】

解:

（1）月销售量:

50０－10×（55-50）＝４50（千克）,

月销售利润：

（55-４0）×４50=6７５0（元）.

（2）y＝（x－４０）[500-（x-50）×10].

（３）当y＝5000元时,（x-40）[500-（x-５0）×1０]=５00０.

解得x1=５0（舍去）,ｘ2=90.当x=５0时，40×50０＝2００00＞100００.

不符合题意舍去.

当x=90时，５0０-（90-5０）×1０=１00，40×10０=4００0.

销售单价应定为90元.

４．

（1）y＝

（2）S=

（3）存在，P（2，９）或Ｐ（3,8）

【解析】

试题分析：

（1）令y=０，解关于x的一元二次方程即可得到点Ａ、B的坐标，再令x=0求出点C的坐标，设直线BC解析式为ｙ=kx+ｂ（k≠0）,利用待定系数法求一次函数解析式解答;

（２）过点P作ＰＨ⊥x轴于H,交BＣ于Ｆ，根据抛物线和直线BC的解析式表示出PF，再根据S△PBC＝S△PCF+S△PBＦ整理即可得解;

（3）设AＰ、BC的交点为E，过点E作ＥG⊥x轴于G，根据垂直于同一直线的两直线平行可得EＧ∥PＨ,然后判断出△AGＥ和△AHＰ相似,根据相似三角形对应边成比例可表示出EG、HG,然后表示出BＧ,根据OB＝OＣ可得∠ＯCB=∠OBＣ=45°，再根据等角对等边可得EG=BG，然后列出方程求出ｍ的值,再根据抛物线解析式求出点P的纵坐标，即可得解.

试题解析:

（1）当y=0时,x1=5，x2=－1，

∵A左Ｂ右,

∴A（－１，０），B（5，O）

当x=0时，y=5，

∴Ｃ（0,5）,

设直线BC解析式为y=kx+b，

∴

∴

∴直线BC解析式为：

y=

；

（2）作PＨ⊥x轴于Ｈ,交BC于点F,

Ｐ（m，－m2+4m+5），F（m，－m+５）

PＦ=-m2＋5m,

S△ＰBC=S△PCF+S△ＰBＦ

S=

∴S=

；

（3）存在点P,

作EG⊥AB于Ｇ,PH⊥AB于H，

∴EG∥ＰH，

∴△AＧE∽△ＡＨP，

∴

，

∵P（m，-m2＋４m＋5）,

EG=

，

AH=m-（-1）=ｍ+1，GH=

，

HＢ=５－m,GB=

∵ＯC=OB＝5,

∴∠ＯCB=∠OBC＝4５°，

∴ＥG＝ＢG,

∴

=

，

∴m1=2m2=３，

当m＝2时,Ｐ（2,9），

当ｍ=３时,P（3,８）,

∴存在这样的点P，使得线段ＰＡ被ＢＣ平分,P（２,9）或P（3，８）.

考点:

二次函数综合题.

5.

（1）ｙ=-１0ｘ2＋100x+２0０0;（２）6５，２2５0；（3）不低于62元且不高于6８元且为整数.

【解析】

试题分析:

（1）根据题意,得出每件商品的利润以及商品总的销量,即可得出y与x的函数关系式．

（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式,进而得出当x=5时得出y的最大值．

（３）设y＝２１60，解得x的值.然后分情况讨论解．

试题解析：

（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数）,

则每件商品的利润为：

（６0-５0+x）元,

总销量为:

（２00-10x）件,

商品利润为:

ｙ=（６０-５0+x）（2００-1０ｘ）,

=（1０＋x）（2０0-１0ｘ）,

=－１０x2+1０0x＋2000.

∵原售价为每件6０元,每件售价不能高于7２元，

∴０＜x≤1２且ｘ为正整数;

（2）y=-10x2+１00x+２000,

=－1０（ｘ２-10ｘ）＋2000，

=-10（ｘ-5）２+22５0.

故当x=５时，最大月利润y=2２５０元．

这时售价为60+５=65（元）.

（３）当y=2160时，-10x2+１00x+20０0=２160，

解得：

x1=2,ｘ2＝8.

∴当ｘ＝2时，60+x＝６2,当x=8时,60+x=６8.

∴当售价定为每件６2或68元，每个月的利润为2160元．

当售价不低于6２元且不高于68元且为整数时,每个月的利润不低于2160元.

考点:

二次函数的应用．

6.

（1）A（-1，0）,B（１，0）,Ｃ（0，-１）;（２）4;（3）（-2，3），（

，

），（４,15）.

【解析】

试题分析：

（1）抛物线与x轴的交点,即当y=0，C点坐标即当x=0,分别令y以及x为０求出Ａ，B,C坐标的值;

（2）四边形ＡCBP的面积=△ABC+△ABP,由A，B，C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，且AC=ＢＣ，则可求出△ABC的面积,根据已知可求出P点坐标，可知AP的长度，以及点B到直线的距离，从而求出△ABP的面积,则就求出四边形AＣＢP的面积；

（3）假设存在这样的点Ｍ，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC∠和∠MGA是直角，只需证明

或

即可．设M点坐标,根据题中所给条件可求出线段AG，CA，ＭG，CA的长度,然后列等式,分情况讨论，求解.

试题解析:

（１）令y=0，

得x2－1=0

解得x=±1,

令x=0，得y＝-1

∴A（-1，0），B（1,０）,C（0，－１）;

（２）∵OA=OＢ=OC＝１，

∴∠ＢAＣ=∠ACO=∠BCＯ=45°．

∵ＡＰ∥CＢ，

∴∠PＡＢ=４5°.

过点Ｐ作PE⊥x轴于E,则△APE为等腰直角三角形，

令OＥ=A，则PＥ=Ａ+1，

∴P（A,A+1）.

∵点P在抛物线y=x2－1上，

∴A+1=Ａ2-１．

解得A１=2，A2＝-1（不合题意，舍去）.

∴ＰE＝3．

∴四边形ACBP的面积Ｓ=

AB•OC+

ＡB•PE=

×2×１+

×2×3＝4;

（３）假设存在

∵∠PＡB=∠BＡＣ=45°，

∴ＰA⊥AＣ

∵ＭG⊥x轴于点Ｇ,

∴∠MＧA＝∠PAC=9０°

在Ｒt△AOC中，ＯA=ＯC=1，

∴ＡＣ=

在Rt△PAE中，AE=PE=3，

∴AＰ=３

设M点的横坐标为m，则Ｍ（m,ｍ2-1）

①点M在y轴左侧时,则ｍ＜-１．

（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有

.

∵AG＝-m-1,MＧ=m2-1．

即

解得ｍ１=-1（舍去）m2=

（舍去）.

（ⅱ）当△MＡG∽△PCA时有

，

即

．

解得：

m=-1（舍去）m２=-2.

∴M（－2,３）（10分）．

②点Ｍ在y轴右侧时,则m＞1

（ⅰ）当△AMG∽△ＰCA时有

∵ＡG＝m+1，MG=m２-1

∴

解得m1=-１（舍去）m2=

.

∴M（

，

）.

（ⅱ）当△MＡG∽△PCA时有

即

．

解得：

m1＝－1（舍去）m2=4，

∴Ｍ（4，15）．

∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCＡ相似

M点的坐标为（－2,3）,（

，

），（4,15）．

考点:

二次函数综合题.

7.

（1）y=﹣2ｘ2＋１２0x﹣16０0，20≤ｘ≤40；

（2）30元／千克,２00元；（３）２５.

【解析】

试题分析:

（1）根据销售利润y=（每千克销售价﹣每千克成本价）×销售量ｗ，即可列出y与ｘ之间的函数关系式；

（2）先利用配方法将

（1）的函数关系式变形,再利用二次函数的性质即可求解;

（3）先把y=15０代入

（1）的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据ｘ的取值范围即可确定x的值.

试题解析:

（1）y=w（x﹣２0）

=（ｘ﹣20）（﹣２x+８0）

＝﹣2x2+１20x﹣160０,

则y=﹣2ｘ2+１２0x﹣1６00．

由题意,有

，

解得2０≤ｘ≤４０.

故ｙ与x的函数关系式为：

y=﹣2ｘ2＋１2０ｘ﹣１60０,自变量ｘ的取值范围是20≤ｘ≤4０;

（2）∵y=﹣2ｘ２+120x﹣１600＝﹣2（x﹣３0）２+200,

∴当x＝30时，y有最大值２0０.

故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润2００元；

（3）当ｙ=1５0时，可得方程﹣２x2+12０ｘ﹣1600=15０,

整理,得x2﹣60x+875=０，

解得x1=25，ｘ2=３5．

∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于2８元/千克，∴x2＝3５不合题意，应舍去.

故当销售价定为２5元／千克时,该农户每天可获得销售利润150元.

考点:

1.二次函数的应用;2．一元二次方程的应用．