24抛物线.docx

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24抛物线

2.4抛物线

一教学设想

12．31抛物线及标准方程

（1）教具的准备

问题1：

同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：

在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：

如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.

通过提问来激发学生的探究欲望，首先研究抛物线的定义，教师可以用直观的教具叫学生参与进行演示，再由学生归纳出抛物线的定义．

（2）抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p（p为已知数且大于0）．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的方案

方案1：

（由第一组同学完成，请一优等生演板．）以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系（图2-30）．设定点F（p，0），动点M的坐标为（x，y），过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：

p={M||MF|=|MD|}．

化简后得：

y2=2px-p2（p＞0）．

方案2：

（由第二组同学完成，请一优等生演板）

以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系（图2-31）．设动点M的坐标为（x，y），且设直线l的方程为x=-p，定点F（0，0），过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：

p={M||MF|=|MD|}．

化简得：

y2=2px+p2（p＞0）．

方案3：

（由第三、四组同学完成，请一优等生演板．）

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（图2-32）．

抛物线上的点M（x，y）到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

化简后得：

y2=2px（p＞0）．

（3）例题讲解与引申

教材中选取了2个例题，例1是让学生会应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。

例2是应用方面的问题，关键是由题意设出抛物线的方程即可。

22。

32抛物线的几何性质

（1）抛物线的几何性质

下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px（p＞0）出发来研究它的几何性质．

（二）几何性质

怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？

以y2=2px（p＞0）为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．

（2）例题的讲解与引申

例3有2种解法；解法一运用了抛物线的重要性质：

抛物线上任一点到焦点的距离（即此点的焦半径）等于此点到准线的距离．可得焦半径公式设P（x0，

这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．

（2）由焦半径不难得出焦点弦长公式：

设AB是过抛物线焦点的一条弦（焦点弦），若A（x1，y1）、B（x2，y2）则有|AB|=x1+x2+p．特别地：

当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p

例4涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．

附教学教案

2.4.1抛物线及标准方程

知识与技能目标

使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．

过程与方法目标

情感，态度与价值观目标

（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。

（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。

能力目标：

（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

　　　　　（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

（1）复习与引入过程

回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．

（3）新课讲授过程

（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义

《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

（ii）抛物线标准方程的推导过程

引导学生分析出：

方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：

一次项系数是焦点到准线距离的2倍．

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形（列表如下）：

将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：

当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：

当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．

（iii）例题讲解与引申

例1已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程

已知抛物线的焦点是F（0,-2），求它的标准方程

解因为p=3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2,0）准线方程是x=-3/2

因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且p/2=2，p=4，所以抛物线的标准方程是x2=-8y

例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。

卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚焦到焦点处。

已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m，求抛物线的标准方程和焦点坐标。

解；设抛物线的标准方程是y2=2px（p>0）。

有已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4）代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76

所以，抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标是（2.88，0）

练习：

第72页1、2、3、

作业：

第78页1、2、3、4、

2.4.2抛物线的几何性质

知识与技能目标

使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．

从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力

过程与方法目标

复习与引入过程

1．抛物线的定义是什么？

请一同学回答．应为：

“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”

2．抛物线的标准方程是什么？

再请一同学回答．应为：

抛物线的标准方程是y2=2px（p＞0），y2=-2px（p＞0），x2=2py（p＞0）和x2=-2py（p＞0）．

下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px（p＞0）出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质

（2）新课讲授过程

（i）抛物线的几何性质

通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？

学生和教师共同小结：

（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．

（2）抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．

（3）抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．

（4）抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：

这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了

（ii）例题讲解与引申

．例题3已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

解法一：

由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px（p＞0），则准线方

因为抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得p=4．

因此，所求抛物线方程为y2=-8x．

又点M（-3，m）在此抛物线上，故m2=-8（-3）．

解法二：

由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意

在抛物线上且|MF|=5，故

例4　过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A（x1，y1）、B（x2，y2）（图2-34）．

证明：

（1）当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：

此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．

或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．

综合上述有y1y2=-p2

又∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的两点，

练习：

第78页：

1、2、3、4、

作业：

5、6、7