七年级数学上册第2章有理数及其运算教学案新版北师大版.docx
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七年级数学上册第2章有理数及其运算教学案新版北师大版
第二章 有理数及其运算
1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.
2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,知道|a|的含义（这里a表示有理数）.
3.理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）.
4.理解有理数的运算定律,能运用运算律简化计算.
5.能运用有理数的运算解决简单的问题.
1.在求一个数的相反数和绝对值的过程中,让学生掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.
2.能按照有理数的运算法则进行有理数的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法和技巧.
3.能用科学记数法表示数,以及用四舍五入法取近似数,掌握其表示的方法.
1.在认识数的过程中,体验知识之间的必然联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣.
2.培养学生养成认真做题的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心.
对于负数的引入,教材借助生活中的实例,引进负数,让学生在活动中体会数概念的扩张,了解负数的本质意义,然后再指出可以用正负数表示现实生活中具有相反意义的量,使学生感受到负数的引入源自实际生活的需要,体会数学知识与现实世界的联系.
就学生的学习而言,负数的概念、意义有一定的抽象性,为什么要引进负数正是学生理解的困难所在.从数学的发展进程来看,数的出现的主要原因更多的是由于对实际现象（事物）“表示”的需要.所以教材遵循历史发展的过程,采用这样的线索展开:
产生的实际背景——有理数的意义——数的表示.
对于有理数运算法则的获得,教材没有采用直接给出的方式而是设置了丰富的现实背景,如足球比赛中的净胜球数、气温变化等,以直观形象地解释、归纳、探索的方式,寻求有理数运算法则和运算律.如有理数的加法法则,仅仅借助数轴理解,学生会有一定的困难,所以教材先从知识竞赛中的答对题数与答错题数入手,使学生首先理解（+1）+（-1）=0和（-1）+（+1）=0,然后利用“正负抵消”的思想,讨论整数加法的几种情形,最后再由特例归纳出有理数的加法法则,并借助数轴加深理解.
基于有理数运算的学习重点是对法则和运算律的理解,所以为了避免因为小数、分数运算的复杂性而冲淡学习的重点,有理数的运算以整数运算的学习为出发点,然后过渡到含有小数、分数的运算.
【重点】 理解有理数的意义,掌握有理数的运算法则和运算律,会用科学记数法表示较大的数.
【难点】 利用有理数的加、减、乘、除、乘方等运算解决简单的实际问题.
1.负数是一个比较抽象的概念.在教学中应该让学生充分了解引入负数的必要性和实际背景,通过生活中具有相反意义的量的讲解,让学生接受负数的概念.
2.本章的重点内容是有理数的运算,所以一定要让学生有足够的练习的机会,只有通过一定量的计算实践,才能真正体会并熟练掌握有理数计算的一些技巧.让学生通过计算、观察、猜测、归纳等数学活动,自己总结出有理数的运算律.
3.对绝对值概念的学习也要有一个循序渐进的过程,与绝对值相关的知识,如数轴上两点之间的距离的表示、绝对值不等式等,都是在后续学习中要专门安排的,因此这里不要涉及.本章安排绝对值概念,目的是为有理数的运算作准备,会求一个数的绝对值就达到了本章的要求.教材中用字母表示求一个数的绝对值的结论,只是给出一个数的绝对值的符号表示,教学时不要对这个符号表示进行变式训练,更不要在绝对值中出现字母并加以讨论.
4.计算器是一个既简便又实用的计算工具,让学生通过实际操作,掌握计算器的基本用法.
5.在本章的学习中,要注意数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用.
1 有理数
1课时
2 数 轴
1课时
3 绝对值
1课时
4 有理数的加法
2课时
5 有理数的减法
1课时
6 有理数的加减混合运算
3课时
7 有理数的乘法
2课时
8 有理数的除法
1课时
9 有理数的乘方
2课时
10 科学记数法
1课时
11 有理数的混合运算
1课时
12 用计算器进行运算
1课时
本章概括整合
1课时
1 有理数
1.通过实例理解引入负数的必要性和负数应用的广泛性,理解有理数的含义,体会有理数应用的广泛性.
2.能用正数和负数表示具有相反意义的量.
3.培养逻辑思维能力,以及按一定规律对事物进行分类整理的能力.
会判断一个数是正数还是负数,能应用正负数表示生活中具有相反意义的量,能把有理数合理分类和把具体数正确归类.
1.通过实例,使学生深刻体会到有理数和负数的实用性,加深对数的理解.
2.让学生体会到数学中的基本概念都来源于实际需要.
3.让学生进一步了解学习数学对于解决实际生活中各种问题的必要性,增强学习数学知识的兴趣.
【重点】 负数的意义、特点及实际应用,有理数的概念,能够对学过的数进行分类.
【难点】 正确用正、负数表示生活中具有相反意义的量,正确理解有理数的概念,会合理进行有理数的分类和把具体数归类到相应的数集.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P23~24.
导入一:
师:
同学们小学都学过哪些数?
生:
整数、小数、分数、奇数、偶数……
师:
原始社会,从打猎记数开始,首先出现自然数,经过漫长岁月,人们用数“0”表示没有,随着人类的不断进步,在丈量土地进行分配时,又用小数使测量结果更加准确,小数也属于分数.那么小学学过的这些数能否满足社会生产生活及数学自身发展的需要呢?
[设计意图] 通过介绍数的产生与发展,向学生渗透“实践第一”的辩证唯物主义观点,使同学们感到数的每一次发展都是为了满足社会生产与生活的需要,也为讲述有理数概念及其分类做好铺垫.
导入二:
观察课本P22的图片.
珠穆朗玛峰高出海平面8844m,记作:
+8844m;吐鲁番盆地低于海平面155m,记作:
-155m.
教师出示图片,并提出问题:
1.生活中我们会遇到用负数表示的量,你能说出一些例子吗?
2.你在小学的学习中对负数有什么样的认识?
3.有了负数,数的运算与过去相比有什么区别和联系?
有了负数,能解决哪些实际问题?
本章将在小学学习的基础上,进一步学习负数,研究有理数的有关概念及其运算,并利用有理数的知识解决实际问题.
[设计意图] 通过提供学生熟悉的情境引导学生回顾小学有关负数的知识,三个问题不仅为本节课成功引入,也为本章的学习做了铺垫.学生在对问题的思考与交流中体会负数在生活中的广泛应用,激发了学生学习本章内容的兴趣.
[过渡语] 同学们,生活中处处有数学,下面我们一起探究实际问题与数学的联系吧!
探究活动1 认识生活中的负数
（出示课件1） （例题讲解）请同学们完成以下问题,并与同伴交流.
某班举行知识竞赛,评分标准是:
答对一题加1分,答错一题扣1分,不回答得0分;每个队的基本分均为0分.两个队答题情况如下表:
答题情况
第
一
队
第
二
队
如果答对题所得的分数用正数表示,那么你能写出每个队答题得分的情况吗?
思路一
试完成下表:
答对题的得分
答错题的得分
未回答题的得分
第一队
+6
第二队
-2
思路二
提出思考问题:
（1）第一队答对几题?
是如何表示的?
答错几题?
又是如何表示的?
（2）第二队答对几题?
是如何表示的?
答错几题?
又是如何表示的?
（3）如何理解+6和-2?
（出示课件2） （教材议一议）生活中你见过其他用负数表示的量吗?
与同伴进行交流.
想一想:
根据上面各队分数的计算及2010年全国居民消费价格的上涨情况及温度计上的温度,你能知道正、负数和零的大小关系吗?
[处理方式] 学生思考交流,完成后再展示说明,学生之间互相补充,教师适时点评.
师生总结:
“加分与扣分”“上涨量与下跌量”“零上温度与零下温度”等都是具有相反意义的量.为了表示具有相反意义的量,我们把其中一个量规定为正的,用正数来表示,而把与这个意义相反的量规定为负的,用负数来表示.
[设计意图] 本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,用知识竞赛得分的情境启发学生用正、负数表示相反意义的量.通过练习引导学生举一反三地找出身边可以用正、负数表示的量,从而体会学习负数的必要性.从学生熟悉的情境讨论问题,学生积极参与,在教师的引导下寻找生活实例的过程中充分体会学习负数是生活的需要.
探究活动2 用正、负数表示生活中具有相反意义的量
[过渡语] 我们已经认识了负数,你能顺利的利用正数和负数表示生活中具有相反意义的量吗?
请同学们观察教材例题,想一想如何解答.（课件3出示）
（出示课件3） （教材例题）
（1）某人转动转盘,如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?
（2）在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02g记作+0.02g,那么-0.03g表示什么?
（3）某大米包装袋上标注着“净含量:
10kg±150g”,这里的“10kg±150g”表示什么?
[处理方式] 学生先独立思考,再小组交流如何用正、负数表示生活中具有相反意义的量.
思路一
如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么和逆时针方向具有相反意义的量是 ,所以沿顺时针方向转了12圈可表示为 ;一只乒乓球超出标准质量0.02g记作+0.02g,那么和超出标准质量具有相反意义的量是 ,所以-0.03g可以表示为 ;综上所述,“净含量:
10kg±150g”,这里的“10kg±150g”表示 .
思路二
（1）想一想:
什么是具有相反意义的量?
（2）品一品:
如何表示具有相反意义的量?
（3）考一考:
和逆时针方向具有相反意义的量是 ,和超出标准质量具有相反意义的量是 .
【师生活动】 学生讨论,教师巡视发现问题,并及时解决.
解:
（1）沿顺时针方向转了12圈记作-12圈.
（2）-0.03g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03g.
（3）每袋大米的标准质量应为10kg,但实际每袋大米可能有150g的误差,即每袋大米的净含量最多是10kg+150g,最少是10kg-150g.
[过渡语] 同学们,我们已经知道了可以用正数和负数表示具有相反意义的量,那么一起来试一试吧.
反馈练习
（出示课件4）
（1）在知识竞赛中如果用“+10”表示加10分,那么扣20分记作什么?
（2）东、西为两个相反方向,如果-4米表示一个物体向西运动4米,那么+2米表示什么?
物体原地不动记为什么?
（3）某粮库运进面粉7.5吨记作+7.5吨,那么运出3.8吨应记作什么?
议一议:
你能选定一个高度为标准,用正、负数表示本班每位同学的身高与选定的身高标准的差异吗?
你是怎样表示的?
与同伴交流.
通过例题和练习题的分析,让学生知道用正、负数表示相反意义的量时要明确“基准”.教材例题中各题的基准分别是“转盘静止不动”“一只乒乓球的标准质量”“10kg”.“议一议”则联系生活实际让学生学会如何选定“基准”.
学生认识当用正、负数表示相反意义的量时要考虑“基准”.“0”是常用的基准,但不是所有的基准都必须为0.
探究活动3 有理数的概念及分类
1.新的整数、分数概念:
引进负数后,数的范围扩大了.过去我们说整数只包括正整数和零,引进负数后,正整数前加上负号的数叫做负整数,因而整数包括正整数、负整数和零,同样分数包括正分数、负分数.
整数和分数统称为有理数.（有理数分类结构图如下）
有理数
2.有理数的分类.
问题:
为了便于研究某些问题,常常需要将有理数进行分类,需要不同,分类的方法也常常不同,根据有理数的定义可将有理数分成两类:
整数和分数.有理数还有没有其他的分类方法呢?
待学生思考后,请学生回答、评议、补充.
教师小结:
按有理数的符号分为三类:
正有理数、负有理数和零,并指出,在有理数范围内,正数和零统称为非负数.并向学生强调:
对有理数的分类可以根据不同需要,用不同的分类标准,但必须对讨论对象不重不漏地分类.
[设计意图] 使学生在原有认知结构的基础上,将数扩充到了有理数的范围.通过练习使学生加深理解有理数的意义.
[知识拓展] 对正数和负数的理解要注意以下几点:
（1）并不一定必须将某一种量规定为正,若将其中的一种量规定为正,则与其意义相反的量即为负.
（2）零既不是正数,也不是负数,这个数十分特殊,随着我们的学习,对于零这个数将有更深刻的认识.
（3）负数前面的“一”号,表示这个数的性质,是性质符号,读作“负”号,但正数前面的“+”可以省略.
即时巩固
将下列各数填入到相应的数集中:
-2015,-,,,-5,-7.3,3,,0.1,92,-.
正数集合{ …};
负数集合{ …};
正整数集合{ …};
负整数集合{ …};
分数集合{ …};
负分数集合{ …};
负有理数集合{ …};
有理数集合{ …}.
〔解析〕 小数-7.3,0.1都属于分数,=4不属于分数.（学生口述解答过程,师总结、板演）
1.正数与负数都来自于生活实际,用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量.
2.正数前面添上“-”号的数是负数;0既不是正数,也不是负数,它表示正、负数的界限.
3.有理数的分类方法不是唯一的,可以按整数和分数分成两大类,也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类.
1.如果将汽车向东行驶3千米记为+3千米,那么记为-3千米表示的是（ ）
A.向西行驶3千米
B.向南行驶3千米
C.向北行驶3千米
D.向东南方向行驶3千米
解析:
先根据向东行驶3千米记为+3千米,可确定向西为负,而-3千米表示的应是向西行驶3千米.故选A.
2.在0,2,-7,-5,3.14,-3,-3,+0.75中,负数共有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
在正数的前面加上“-”号的数即是负数,本题中的-7,-5,-3,-3是负数.故选D.
3.飞机上升了-80米,实际上是（ ）
A.上升80米
B.下降-80米
C.先上升80米,再下降80米
D.下降80米
解析:
解题的关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.负号表示与上升意义相反,即下降.故选D.
4.举一个能用正数、负数表示生活中的量的实例,并解释其中相关数量的含义.
解:
本题答案不唯一,只要满足题意即可,如:
河道中第一天的水位是-0.2米,第二天的水位是+0.3米,其中-0.2米表示比正常水位低0.2米,+0.3米表示比正常水位高0.3米.
1 有理数
1.认识生活中的负数.
2.用正、负数表示生活中具有相反意义的量.
3.有理数的概念及分类.
一、教材作业
【必做题】
教材第26页习题2.1的2,3题.
【选做题】
教材第26页习题2.1的4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列结论中正确的是（ ）
A.0既是正数,又是负数
B.0是最小的正数
C.0是最大的负数
D.0既不是正数,也不是负数
2.向东运动记作“+”,向西运动记作“-”,下列说法正确的是（ ）
A.-5米表示向东运动了5米
B.向西运动5米表示向东运动了-5米
C.+5米表示向西运动了5米
D.向西运动5米也可以记作向西运动-5米
3.武汉市夏季气温比较高,若以30℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,则38℃与28℃分别记作（ ）
A.+8℃ -2℃B.+8℃ +2℃
C.-8℃ -2℃D.-8℃ +2℃
4.某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃,该药品在 温度范围内保存才合适.
5.请指出下列各数中哪些是正数,哪些是负数.
-18,+,3.1416,0.2011,-,-0.1010…,-π,-2,99%.
【能力提升】
6.如果海平面的高度为0m,一潜水艇在海平面以下40m处航行,一条鲨鱼在潜水艇上方10m处游动,试用正、负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度.
7.用正数和负数表示下列具有相反意义的量.
（1）钟表的指针逆时针方向旋转20°记作-20°,顺时针方向旋转30°记作 ;
（2）运进200箱记作 ,运出150箱记作-150箱.
【拓展探究】
8.某日小明在一条南北方向的公路上跑步,他从A地出发,如果把向北跑1100m记作-1100m,那么他向北跑1100m时向后转又继续跑了1200m是什么意思?
这时他停下来休息,此时他在A地的什么方向?
距A地多远?
【答案与解析】
1.D（解析:
根据0既不是正数,也不是负数,可以判断A,B,C都错误,D正确.故选D.）
2.B（解析:
A.-5米表示向西运动了5米,故A错误;C.+5米表示向东运动了5米,故C错误;D.向西运动5米记为-5米,故D错误.故选B.）
3.A（解析:
因为以30℃为标准,高出标准的为正,低于标准的为负,所以38℃与28℃分别记作:
+8℃,-2℃.故选A.）
4.18~22℃（解析:
温度是20℃±2℃,表示最低温度是20℃-2℃=18℃,最高温度是20℃+2℃=22℃,即18~22℃之间是合适温度.）
5.解:
正数有:
+,3.1416,0.2011,99%;负数有:
-18,-,-0.1010…,-π,-2.
6.解:
因为海平面的高度为0m,所以低于海平面的高度为负数,由于潜水艇和鲨鱼的高度都在海平面的下方,故分别为-40m和-30m.
7.
（1）+30°
（2）+200箱
8.解:
如果把向北跑1100m记作-1100m,那么他向北跑1100m时向后转又继续跑了1200m,说明小明又向南跑了1200m,此时他在A地的南边,距A地的距离=1200-1100=100（m）.
本节课从学生较熟悉的珠穆朗玛峰、气温开始,接下来从具体问题情境出发,使学生感受到现有的数确实不够用了,唤起学生的好奇心和求知欲,然后引出负数、正数和零的概念和实际意义,接着引导学生回顾、总结学过的数,告诉学生有理数的意义,和学生一起探讨有理数的分类,这样学生易于接受,在学习过程中,学生经历了观察、比较、归纳、总结,学会了研究问题、解决问题的方法,加深了对所学知识的理解,完成了从数不够用到数可以表示具有相反意义的量的成长过程。
学生在刚开始接触这部分内容时或多或少会有点不习惯.对具有相反意义的量的理解不是太好,学习中发现仍有部分同学在书写负数时漏掉负号.
在教学方法和教学语言的选择上,尽可能注意中小学的衔接,既不违反科学性,又符合可接受性原则,教师在课堂上要起到主导作用,并让学生有充分的活动机会,使得课堂气氛有新鲜感.
随堂练习（教材第25页）
1.解:
（1）零下3℃记作-3℃.
（2）+2m表示向东运动2m,物体原地不动记作0m. （3）运出3.8t记作-3.8t.
2.解:
正数集合:
3,5.,15,,…
;负数集合:
-7,-,-8,…
;整数集合:
3,-7,0,15,…
;分数集合:
-,5.,-8,,…
.
习题2.1（教材第26页）
1.解:
答案不唯一.如球队得10分与失3分,利率上调5%与下降2%,乒乓球超出标准重量0.02g与低于标准重量0.01g,可分别表示为+10分与-3分,+5%与-2%,+0.02g与-0.01g.
2.解:
（1）-10kW·h.
（2）+100.57元表示盈利100.57元. （3）-6%表示减少6%.
3.解:
正整数:
7;负整数:
-301;正分数:
31.25,;负分数:
-9.25,-,-3.5;正数:
7,,31.25,;负数:
-9.25,-,-301,-3.5.
4.解:
正数集合:
+2,+70,+1.5,+,+1200,…
;负数集合:
-5.4,-10,-,-130,-1540,…
.（答案不唯一）
5.解:
不对,因为0既不是正数,也不是负数.
6.解:
设标准体重为50kg,超过部分记为正,不足部分记为负,依次表示为+2,+1.5,-0.5,+0.5,-5,+6,-2.5,-7.5.（答案不唯一）
1.现实生活中,“具有相反意义的量”的实例非常多,学生列举实例的前提是教师要引导学生分析出这些实例的共同特点.对有理数的分类同样要引导学生先去观察、概括、对比、交流、讨论,所以本节课主要采取启发引导的教学方法.
2.由于这节课是让学生列举现实生活中“具有相反意义的量”的例子,并用正数和负数来表示,在实际背景中理解正数和负数的意义.还有让学生自己总结已经学过的数,尝试进行分类,通过交流、讨论和教师的引导,得到有理数的分类,所以独立思考、自主互助学习是本节课的主要方式.
观察下面一列数:
-,-,-,-,-,-,….
（1）写出第7个数和第8个数;
（2）第400个数是多少?
（3）如果这一列数无限排列下去,那么与哪个数越来越接近?
〔解析〕 认真观察这列数,可发现均为负数,分子分别为1,2,3,…,分母相应地为2,3,4,…,利用这些规律,问题便可得解.
解:
（1）第7个数是-,第8个数是-.
（2）第400个数是-.
（3）-1.
[解题策略] 注意分子、分母的排列及它们与项数之间的关系,由简单的、特殊的着手,发现规律,进一步验证后,再推广到一般.
2 数 轴
1.识记数轴三要素并会画数轴.
2.能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上的已知点表示的数,并会利用数轴比较有理数的大小.
通过对比与迁移来掌握数轴的概念和性质.
1.通过数轴与数的结合,培养数形结合思想.
2.在实践与交流中进行自主学习,培养自学能力.
3.将所学知识进行归纳、比较,提高语言表达能力和概括能力.
【重点】
1.数轴的概念.
2.用数轴上的点表示有理数.
【难点】 利用数轴比较有理数的大小.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P27~28.
导入一
温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具,你会读温度计吗?
【思考】
（1）图中温度计上显示的温度各是多少?
（2）温度计上的刻度有什么特点?
[处理方式] 找几个同学读温度计,看温度计时,因为它上面标有刻度数,所以我们只需看一看温度计液面指在哪个刻度上,就知道温度了.通过学生读出温度计的温度初步了解数轴的特点.（通过多媒体展示读温度计的方法）
导入二
在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.
【思考】
（1）汽车站东3m和西3m分别表示什么意义?
（2）汽车站处可以理解为温度计的什么点?
请你尝试画图理解.
[处理方式] 理解题意,思考,并根据题意画图.教师指导,根据学生
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