鸡兔同笼盈亏平均数问题思维训练.docx
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鸡兔同笼盈亏平均数问题思维训练
鸡兔同笼、盈亏、平均数问题思维训练
一、知识地图
二、基础知识
公元855年唐朝，我国举行最早的数学选拔赛，题目如下：
一批强盗在树林里商议怎样瓜分抢来的布匹。
若每人分6匹，多5匹；每人分7匹，少8匹，问几个强盗？
几匹布？
（一）鸡兔同笼问题
1．假设全是鸡
例如：
鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
分析：
假设全是鸡，则有2×46=92（足），而实际上是128足，少了128-92=36（足），为什么少了36足呢？
因为我们把一只兔当作一只鸡来算时，就少算了2足，所以有36÷2=18（只）兔被我们当作鸡来算，所以有鸡46-18=28（只）。
2．假设全是兔
例如：
鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
分析：
假设全是兔，则有4×46=184（足），而实际上是128足，多了184-128=56（足），为什么多了56足呢？
因为我们把一只鸡当作一只兔来算时，就多算了2足，所以有56÷2=28（只）鸡被我们当作兔来算，所以有兔46-28=18（只）。
3．“砍足法”
例如：
鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
分析：
假如砍去每只鸡、每只兔一半的足，则鸡就变成了“独脚鸡”，兔就变成了“双脚兔”，则鸡和兔足的总数就由128变成了64，而且有一只兔子，则足的总数就比头的总数多1，所以足的总数64与总头数46的差，就是兔子的只数，即64－46＝18（只），则鸡的只数就是46－18＝28（只）。
（二）盈亏问题
盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象。
盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化，我们把盈亏问题分为三类：
“一盈一亏”、“两盈”、“两亏”。
1.“盈亏”型
例如：
学而思学校提高班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：
有多少位同学分多少粒糖果？
分析：
为什么第一次多9粒，而第二次还少6粒呢？
因为两次分配数量不一样，第二次分配时不仅把第一次多出来的9粒分了，还要再添6粒才够分，也就是说按第二种分配方案比第一次总共要多分9+6=15（粒），那为什么会有这种变化产生呢？
因为第二次比第一次每人多分了5-4=1（粒），那么要分15粒，就需要有15÷1=15（人），共有15×4+9=69（粒）。
2.“盈盈”型
明明过生日，同学们给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元。
那么有多少个同学？
蛋糕的价钱是多少？
分析：
为什么第一次多8元，第二次就只多4元了呢？
因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少出1元，也就是在第一次分配的基础上给每个人退了1元钱，总共退回了8-4=4（元），所以共有4÷1=4（人），蛋糕价钱是8×4－8＝24（元）。
3.“亏亏”型
学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？
多少本书？
分析：
为什么第一次差9本，第二次就只差2本了呢？
因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少发1本，也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了1本书，总共拿回了9-2=7（本）书，所以共有7÷1=7（人），书有7×10－9＝61（本）。
（三）平均数问题
（1）平均数=总数÷参与平均的事物个数
平均数增量=总数增量÷参与平均的事物个数
平均数减量=总数减量÷参与平均的事物个数
（2）平均数问题最基本的原理是“移多补少”
几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大
三、经典透析
【例1】从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？
多少个挑水？
[审题要点]鸡兔同笼问题，假设法
[详解过程]假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了58-38=20（个）桶呢？
因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2－1＝1（个）桶，所以有20÷1=20（人）在挑水，抬水的扁担数是38－20＝18（根），抬水的人数是18×2＝36人。
专家点评：
可以结合分析工具矩形图，来看鸡兔同笼问题：
左图假设全是抬水：
（58-38×1）÷（2-1）=20（根）……20（人）挑水
（38-20）×2=36（人）……36（人）抬水
右图假设全是挑水：
（38×2-58）÷（2-1）=18（根）……18×2=36（人）抬水
38-18=20（根）……20（人）挑水
【例２】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？
[审题要点]鸡兔同笼问题的变形题
[详解过程]每个三口之家可以少花30+40+40-32×3=14元，每个二口之家可以少花40+40-64=16元，如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花14×8=112元，所以这8个家庭中有（120-112）÷（16-14）=4个家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有4×2+（8-4）×3=20人。
专家点评：
这道题，首先要考虑的是，怎么理解“少花120元”？
跟单位少花情况有关，这里的单位：
可以不同家庭为单位，也可以成人与小孩为单位。
一方面，我们可以对两种家庭的“少花”情况进行计算并比较，可以如题所解；
另一方面，我们不妨以成人与孩子的“少花”情况进行计算并比较，可以另解如下：
8个家庭，成人必有16人，则每个成人将“少花”40-32=8元。
所以应该总共少花16×8=128（元）
而实际少花相差128-120=8（元）
是因为每个小孩多花了32-30=2（元）
所以，8÷2=4（人）……小孩人数
16+4=20（人）……旅游团一共人数
还有一点值得强调的是，我们在使用假设法的过程中，所采用的比较思想非常重要，在一种证明方法——反证法中，假设法会又一次充当主角。
【例３】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。
现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀，每种小虫各有几只？
[审题要点]经典鸡兔同笼问题，用两次假设法
[详解过程]因为有三种动物，没有办法直接用鸡兔同笼解，所以我们想转化为两种动物就可以直接用了。
我们先来看腿，发现蜻蜓和蝉有个共同点——都是6条腿，那我们就把蜻蜓和蝉合并在一起，分为两种动物：
一种是6条腿，一种是8条腿。
假设全是6条腿的，共有腿6×16=96（条），而实际上是110条，为什么少了110-96=14（条）腿呢？
因为当我们把8条腿的蜘蛛当作6条腿算的，有一只蜘蛛就少算2条腿，所以有蜘蛛14÷2=7（只），所以蜻蜓和蝉有16-7=9（只）；
我们再来看翅膀：
假设这9只全是蜻蜓，则应该有9×2=18（对）翅膀，比实际多了18-14=4（对），所以有蝉4÷1=4（只），则蜻蜓9-4=5（只）。
专家点评：
如果我们感觉这样的算术解法有点烦，不妨看看美丽的方程：
设：
蜘蛛有
只，蜻蜓有y只，蝉有z只，得：
（1）×6：
（2）-（4）：
2
=14
=7
代入
（1）式：
y+z=9…（5）
（3）-（5）：
y=5。
代入（5）式：
z=4。
很多时候，我们发现清晰的等量关系，一定要用，从而可以减少“算理”的思考量，把这种思考量转嫁给方程演算。
对于方程演算，不需要掌握太多的技巧，就能轻松把握。
请参见本书第十九讲《方程》。
【例４】老师给同学们分苹果，每人分10个，就多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共有多少名学生？
多少个苹果？
[审题要点]盈亏问题
[详解过程]为什么第一次多8个，第二次不多也不少了呢？
因为第二次每人多分了1个，所以有8÷1=8（人），苹果8×10+8=88（个）。
专家点评：
请注意体会差量分析的应用。
这是两种方案之间的差异，而假设法是实际与假设之间的差异，两者有着异曲同工之妙。
【例５】皮皮从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，那么皮皮家距离学校多远？
[审题要点]需要转化条件的盈亏问题
[详解过程]根据题意，每分钟走50米，迟到3分钟，实际上就是还差50×3=150（米）到校；如果每分钟60米，提前2分钟到校，即到校后还可以多走60×2=120（米），第一次与第二次相差150+120＝270（米），也就是第二次比第一次多走了270米，所以皮皮从家到学校所用时间是270÷（60-50）=27（分钟），皮皮家到学校的距离是50×（27+3）=50×30=1500（米）。
专家点评：
两种方案，除了速度差，更要感受到路程差，从而看到，这里的数量关系，竟然就是追及关系。
从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。
数学是好玩的！
【例６】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆。
如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完。
问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？
[审题要点]需要转化条件的盈亏问题
[详解过程]我们可以把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆，那么就是简单的“一盈一亏”。
人数：
[3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人），盆数：
5×7＋3＝38（盆）或6×7－4＝38（盆）。
专家点评：
转化思想似乎有点玄，为什么我一定会想到：
“把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆”？
答案在于，我们应该在大方向上有感觉，这道题“每人摆5盆，还有3盆没人摆；每人摆6盆，还……”，“还”字后面的下文怎么接？
接上了，转化成功！
记住：
转化的关键在于我需要什么样的条件！
现有条件能否转化为我要的条件？
【例７】有四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样算了四次，得下面四个数：
36.4，47.8，46.2，41.6，那么原来四个数的平均数是多少？
[审题要点]平均数问题
[详解过程]设这四个数分别为A、B、C、D，根据条件则有：
所以
[专家点评]实际上，本题的情境可以换成“小明语文、数学、英语等几门功课的平均分”，也可以换成“某四个小朋友称体重，每三个人称一次”，数量关系不变。
这里要注意所求问题，不一定最后求平均数，也可能求这四个数各是多少。
只要用四数总和与三数之和求差就行。
【例８】某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分。
[审题要点]平均数增量
[详解过程]第一眼看这样的图，可能有点不够清楚。
别急，我们来慢慢欣
赏！
首先从总体来看，矩形横向长度表示人数，竖向长度表示平均分，面积
表示总分。
请注意一下：
d与e分别表示调整前的一等奖与二等奖的平均分；
而a表示一等奖后4名同学的平均分。
b与c表示调整后一等奖与二等奖的平
均分。
我们要求的量是de之间的平均分之差！
我们要想一想，为什么这么一调整，一等奖的平均分高上去了，同时二等奖的平均分也高上去了呢？
原因在于：
前6名的cd之间的面积移补到一等奖后4名da之间的面积部分了。
根据面积相等，长与宽成反比关系，可知：
cd之间的高度差︰da之间的高度差=4︰6=2︰3即3︰da之间的平均分之差=2︰3。
所以da之间的平均分之差=4.5（分），也就是说，这是后4名现在从原来的d降了4.5分。
同理，后4人ab之间的面积=20人be之间的面积；所以ab之间的高度差︰be之间的高度差=20︰4=5︰1所以ab之间的平均分之差︰1=5︰1，ab之间的平均分之差=5（分）
所以de之间的平均分之差为4.5+5+1=10.5（分）
[专家点评]对于平均数增量问题，用矩形图，数形结合去分析，应该很舒服！
要注意平均数问题最基本的原理是“移多补少”，另外要注意所要移补的是总量，而不是平均量。
也就是平均分差量与人数的乘积。
这段话请结合上面的图形和分析理解，重要！
！
【例９】设四个不同的正整数构成的数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大的数与其余三数的平均值之和为29。
在满足上述条件的所有数组中，其最大数的最大值是多少？
[审题要点]平均数与最值问题
[详解过程]设这四个数从大到小依次为a、b、c、d，根据题意有
。
①
， ②
用②式减去①式，得
，
即a-d=18，a=18+d。
因为b、c分别至少比d大2和1，由①式得
7+2d≤17，
d≤5。
由此得a=18+d≤23。
所以a的最大值23，且当a、b、c、d依次为23，7，6，5时符合题意。
专家点评：
这里的所谓平均数，直接应用为表示3个数的总和。
这是平均数关系中知道几个数时最常用的思路。
另外，对于不等式的求解，建议大家在理解了方程的恒等关系后，一并了解方程的恒不等关系。
不等式两边同时加上相同的数或者同时减去相同的数，或者同时乘以相同的正整数或者同时除以相同的正整数，其不等关系不变。
（原来是什么符号，不用变号）
如果是乘以或者除以一个相同的负数，则符号正好变反。
这到初中会常用到。
例如：
7+2d≤17，
两边同减7，得：
2d≤10，
两边同除以2，得：
d≤5。
四、拓展训练
1.鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？
[初级点拨]鸡兔同笼问题，假设法
[深度提示]设鸡与兔只数一样多
[全解过程]设鸡与兔只数一样多：
274-2×26=222（只），每一对鸡、兔共有足：
2+4=6（只），
鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：
222÷6=37（对），则鸡有37+26=63（只）。
2.100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。
问：
大、小和尚各有多少人？
[初级点拨]鸡兔同笼问题，假设法
[深度提示]将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿
[全解过程]本题即中国古算名题“百僧分馍问题”。
如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140=160（个）。
现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1=2（个），因为160÷2=80，故小和尚有80人，大和尚有100—80=20（人）。
3.有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
[初级点拨]需要转化的鸡兔同笼问题，找相同点转化
[深度提示]如果小明第一次测验24题全对
[全解过程]如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）。
那么第二次只做对30-24=6（题）得分是8×6-2×（15-6）=30（分）。
两次相差120-30=90（分）。
比题目中条件相差10分，多了80分。
说明假设的第一次答对题数多了，要减少。
第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。
两者两差数就可减少6+10=16（分）。
（90-10）÷（6+10）=5（题）。
因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）。
第一次得分5×19-1×（24-19）=90。
第二次得分8×11-2×（15-11）=80。
4.学而思学校提高班的同学去划船。
他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。
问：
这个班共有多少同学？
[初级点拨]盈亏问题，先增加一条船
[深度提示]先增加一条船，那么正好每条船坐6人。
然后去掉两条船，就会余下6×2＝12（名）同学。
[全解过程]先增加一条船，那么正好每条船坐6人。
然后去掉两条船，就会余下6×2＝12（名）同学。
改为每条船9人，也就是说，每条船增加9－6＝3（人），正好可以把余下的12名同学全部安排上去，所以现在还有12÷3＝4（条）船，而全班同学的人数是9×4＝36（人）。
5.学而思学校给参加秋游的同学租了几辆大轿车，若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，若每辆车乘32人则还有3个空座。
问：
有多少名同学？
多少辆车？
[初级点拨]需要转化的盈亏问题，“每辆车乘28人则有13名同学上不了车”转化为盈还是亏呢？
[深度提示]已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，可转化为：
每辆车乘28人多出13名同学；若每辆车乘32人则还有3个空座，可转化为：
每辆车乘32人少3人。
[全解过程]这种类型的题目要将其中的一个条件转化，使之转化为基本的盈亏问题。
已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，可转化为：
每辆车乘28人多出13名同学；若每辆车乘32人则还有3个空座，可转化为：
每辆车乘32人少3人，问有多少名学生多少辆车？
所以，车数：
（13+3）÷（32-28）=4（辆），学生有：
28×4+13=125（人）。
6.钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。
问小明带了多少钱？
[初级点拨]需要转化的盈亏问题，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔。
[深度提示]都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）=90角，这是双亏：
分差是8-5=3支，总差是90-15=75角，就是说多买3支，就多差75角；
[全解过程]此题的关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔。
（法一）都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）=90角，这是双亏：
分差是8-5=3支，总差是90-15=75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱。
钢笔的价钱：
［（12×8－6）－15］÷（8－5）＝75÷3＝25（角）
小明带的钱数：
25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）
（法二）都转换成圆珠笔；买5支圆珠笔多12×5－15=45角，买8支圆珠笔多6角。
圆珠笔的价钱［（12×5－15）－6］÷（8－5）＝39÷3＝13（角）
小明带的钱数13×8＋6＝104＋6＝110（角）＝11（元）。
7.某一筐水果中有苹果和梨若干个。
若每次拿出1个苹果和1个梨，则拿到没有苹果时，还剩下50个梨；若每次拿走1个苹果和3个梨，则拿到没有梨时，苹果还剩下50个。
那么这筐水果共有个。
[初级点拨]需要转化的盈亏问题
[深度提示]若每次拿走1个苹果和3个梨，则拿到没有梨时，苹果还剩下50个。
由这个条件可以转化为如果要苹果全部拿走，梨还差50×3=150个，所以梨的个数比苹果多50个，比苹果的3倍少150个。
[全解过程]若每次拿走1个苹果和3个梨，则拿到没有梨时，苹果还剩下50个。
由这个条件可以转化为如果要苹果全部拿走，梨还差50×3=150个，所以梨的个数比苹果多50个，比苹果的3倍少150个，所以苹果的两倍是150+50=200个，所以苹果有100个，那么梨的个数是150个，所以苹果和梨的总个数为250个。
8.从5开始的一串连续的自然数5，6，7，8，…，拿走其中一个数，余下的数的平均数是10.75，那么拿走的数是_______。
[初级点拨]平均数问题
[深度提示]5至17这十三个连续自然数的平均数是11
[全解过程]因为（5+17）÷2=11，所以5至17这十三个连续自然数的平均数是11。
还有12个数，拿走的数是（11一10.75）×12+11=14。
9.A、B、C、D、E是五个不同的自然数，从小到大依次排列，它们的平均数是23，前四个数的平均数是21，后四个数的平均数是24，C是偶数，求D是多少？
[初级点拨]平均数问题与不定方程
[深度提示]A=23×5-24×4=19，
E=23×5-21×4=31，
B+C+D=21×4-19=65。
[全解过程]依题意得
A=23×5-24×4=19，
E=23×5-21×4=31，
B+C+D=21×4-19=65。
因为
＞21，所以D应大于21。
而A20。
又C为偶数，因此若C=22，此时D至少为23。
若D=23，此时则B=65-22-23=20。
若D>23，则B<19，不符合题意。
故D=23。
10.马小哈同学使用计算器计算2000个数的平均数之后，不小心把所求出的平均数与原先的2000个数混在一起。
有趣的是，这2001个数的平均数恰好是2001。
原来这2000个数的平均数是多少？
[初级点拨]平均数与方程法
[深度提示]我们可以设这2000个数的和是S，平均数为
[全解过程]设2000个数的和是S，平均数为
，则
，这2001个数的平均数为
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