两角和与差的余弦正弦正切公式第一课时教案数学高一必修4第三.docx
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两角和与差的余弦正弦正切公式第一课时教案数学高一必修4第三
第三章三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2两角和与差的余弦正弦正切公式
一、学习目标
1.知识与知能
（1.能利用两角差的余弦公式及诱导公式导出两角和的余弦公式。
（2.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差（和的正弦公式.（难点
（3.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式.
（4.掌握两角和与差的余弦正弦正切公式的变形使用,能利用公式进行简单的求值、化简等.（重点、难点2.过程与方法
通过诱导公式导出两角和与差的正弦公式,认识整个公式体系的推理和形成过程,领会其中体现出来的数学基本思想,掌握研究数学的基本方法,从而提高基本的数学素养.
3.情感、态度与价值观
通过本节的学习,使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识;理解掌握两角和与差的三角的各种变形,提高逆向思维的能力,培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力.
二、教学重点难点
重点:
两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导及利用公式化简求值.
难点:
灵活运用公式进行化简求值.
三、专家建议
通过对两角和与差的正、余弦公式、正切公式推理,变形应用的学习,让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点;通过例题学习,总结方法,巩固练习加强和差角公式的正用、逆用和变用的学习,从而培养发现思维能力,变异思维能力,分析问题解决问题的能力,强化数学探究意识,掌握转化与化归的数学思想方法。
四、教学方法
自学-训练-点拨-练习-总结
五、教学过程
●课堂探究
知识点1两角和的余弦公式
【问题导思】
1.如何利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式?
把公式cos（α-β=cosαcosβ+sinαsinβ中的β用-β代替,结果如何?
【提示】cos（α+β=cosαcosβ-sinαsinβ.
知识点2:
两角和与差的正弦公式
【问题导思】
1.如何利用两角和（差的余弦公式推导出两角和的正弦公式?
【提示】sin（α+β=cos[π2（α+β]
=cos[（π2-α-β]
=cos（π2-αcosβ+sin（π2-αsinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ.
即sin（α+β=sinαcosβ+cosαsinβ.
2.把公式sin（α+β=sinαcosβ+cosαsinβ中的β用-β代替,结果如何?
【提示】sin（α-β=sinαcosβ-cosαsinβ.
（1两角和的正弦公式:
sin（α+β=（α,β∈R.
（2两角差的正弦公式:
sin（α-β=（α,β∈R.
知识点3两角和与差的正切公式
【问题导思】
已知tanα,tanβ的值,能否利用公式S（α±β和C（α±β推导出tan（α±β?
【提示】tan（α+β=
sin（α+βcos（α+βsinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ-sinαsinβ
sinαcosβ+cosαsinβ
cosαcosβcosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ
tanα+tanβ1-tanαtanβ
tan（α-β=tanα+tan（-β1-tanαtan（-β=tanα-tanβ1+tanαtanβ
●典例剖析
类型1给角求值
例1.（1求sin157°cos67°+cos23°sin67°的值;
（2求sin（θ+75°+cos（θ+45°-3cos（θ+15°的值.
【思路探究】（1的形式与公式有差异,应先由诱导公式化角,再逆用公式求值.
（2所给角有差异,应先拆角,将角统一再用公式,θ+75°=（θ+15°+60°,θ+45°=（θ+15°+30°.
【自主解答】（1原式=sin（180°-23°cos67°+cos23°sin67°=sin23°cos67°+cos23°sin67°=sin（23°+67°=sin90°=1.
（2sin（θ+75°+cos（θ+45°3cos（θ+15°
=sin（θ+15°+60°+cos（θ+15°+30°-3cos（θ+15°
=sin（θ+15°cos60°+cos（θ+15°sin60°+cos（θ+15°cos30°-sin（θ+15°sin30°-3cos（θ+15°
=1
2sin（θ+15°+
3
2θ+15°+
3
2θ+15°-
1
2sin（θ+15°-3cos（θ+15°=0.
【总结提升】
1.对于非特殊角的三角函数式,要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值,一般有以下三种途径:
（1化为特殊角的三角函数值;
（2化为正负相消的项,消去,求值;
（3化为分子、分母形式,进行约分再求值.
2.在进行求值过程的变换中,一定要本着先整体后局部的基本原则,先整体分析三角函数式的特点,如果整体符合三角公式,则整体变形,否则进行各局部的变换.
【变式训练】求下列各式的值:
（1sin165°;（2sin14°cos16°+sin76°cos74°.
【解】（1法一sin165°=sin（90°+75°=cos75°=cos（45°+30°
=cos45°cos30°-sin45°sin30°=6-24.
法二sin165°=sin（180°-15°=sin15°
=sin（45°-30°=sin45°cos30°-cos45°sin30°=624.
（2法一sin14°cos16°+sin76°cos74°=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin（14°+16°=
sin30°=12
法二sin14°cos16°+sin76°cos74°=cos76°cos16°+sin76°sin16°
=cos（76°-16°=cos60°=12.
例2.求下列各式的值:
（1tan15°;（21-3tan75°
3+tan75°
;（3tan23°+tan37°+3tan23°tan37°.
【思路探究】解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角（如（1及公式的逆用（如（2与活用（如（3,通过适当的变形变为可以使用公式的形式,从而达到化简或求值的目的.
【自主解答】（1tan15°=tan（45°-30°
=tan45°-tan30°
1+tan45°tan30°
1-331+3
3
=33
33
3-13+1
=23.
（213tan75°
3+tan75°
3
3-tan75°
1+
3
3
=
tan30°-tan75°1+tan30°tan75°
=tan（30°-75°=tan（-45°=-tan45°=-1.
（3∵tan（23°+37°=tan60°=tan23°+tan37°1-tan23°tan37°3,
∴tan23°+tan37°=3（1-tan23°tan37°,3（1-tan23°tan37°+3tan23°tan37°=3.
1.公式T（α+β,T（α-β是变形较多的两个公式,公式中有tanα·tanβ,tanα+tanβ（或tanα-tanβ,tan（α+β（或tan（α-β.三者知二可表示或求出第三个.
2.一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换
.
（1（2014·遵义高一检测化简:
tan5°+tan40°+tan135°
tan5°tan40°tan30°;
（2已知tan（α+β=5,tan（α-β=3,求tan2α,tan2β,tan⎝⎛⎭
2α+π4.【解】（1原式=tan45°（1-tan5°tan40°-tan45°tan5°tan40°×33
=-tan5°tan40°tan5°tan40°×33
3.（2tan2α=tan[（α+β+（α-β]
=tan（α+β+tan（α-β1-tan（α+βtan（α-β5+31-5×3
47tan2β=tan[（α+β-（α-β]
=tan（α+β-tan（α-β1+tan（α+βtan（α-β5-31+5×318tan⎝⎛⎭2α+π4=1+tan2α1-tan2α
=1-47
1+47=311类型2给值求值
例3.（2013·青岛高一检测已知π2<β<α<3π4cos（α-β=1213,sin（α+β=-35,求sin2α的
值.
【思路探究】观察出角的关系,即2α=（α-β+（α+β,然后求出sin（α-β和cos（α+β的值,利用两角和的正弦公式求解结果.
【自主解答】因为π
2<β<α<3π4,
所以0<α-β<π
4π<α+β<32π.
又cos（α-β=12
13sin（α+β=-35,
所以sin（α-β=1-cos（α-β
=1-（132=513,
cos（α+β=-1-sin（α+β
=-1-（-3
5
2=-45.
所以sin2α=sin[（α-β+（α+β]
=sin（α-βcos（α+β+cos（α-βsin（α+β
=5
13×（-
4
5+
12
13×（-
3
5=-5665.
【总结提升】
解答此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来,一般注意以下几方面:
（1当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两“已知角”的和与差的形式.
（2当“已知角”有一个时,应注意“所求角”与“已知角”的和与差的形式,“所求角”再用诱导公式变成“已知角”.
（3角的拆分方法不惟一,应根据题目合理拆分.
（4用同角三角函数的基本关系式求值时,一定要注意角的范围.
【变式训练】
已知cosα=1
7cos（α-β=
13
140<β<α<
π
2sinβ=________.
【解析】∵0<β<α<π
2,
∴0<α-β<π
2,sinα=1-cosα
37.
∴sin（α-β=1-cos（α-β=
314.
∴sinβ=sin[α-（α-β]=sinαcos（α-β-cosαsin（α-β=3
2.【答案】3
2类型三条件求值（角
问题
图3-1-1
例4.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为21025
5（1求tan（α+β的值;（2求α+2β的值.
【思路探究】解决本题可先由任意角的三角函数定义求出cosα,cosβ,再求sinα,sinβ,从而求出tanα,tanβ,然后利用T（α+β求tan（α+β,最后利用α+2β=（α+β+β,求tan（α+2β进而得到α+2β的值.
【自主解答】由条件得cosα=210cosβ=25
5,
∵α,β为锐角.∴sinα=7210,sinβ5
5.∴tanα=7,tanβ=1
2（1tan（α+β=tanα+tanβ
1-tanαtanβ
7+12
1-7×12
3.（2tan（α+2β=tan[（α+β+β]=
tan（α+β+tanβ
1-tan（α+β·tanβ
-3+1
2
1-（-3×12
1,
∵α,β为锐角,∴0<α+2β<3π
2,
∴α+2β=3π
4.
【总结提升】
1.通过先求角的某个三角函数值来求角.2.选取函数时,应遵照以下原则（1已知正切函数值,选正切函数;
（2已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是（0,π
2,选正、余弦皆可;若角的范围是（0,π,选余弦较好;若角的范围为（π2,π
2,选正弦较好.
3.给值求角的一般步骤（1求角的某一三角函数值;（2确定角的范围;
（3根据角的范围写出所求的角.【变式训练】
（2014·北京高一检测（1已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2,π,sinα=35,求tan⎝⎛
⎭⎪⎫α+π4的值;
（2如下图所示,三个相同的正方形相接,试计算α+β的大小
.
【解】（1因为sinα=35α∈⎝⎛⎭⎪⎫
π2π,所以cosα=-45
所以tanα=sinα
cosα35
-45
34
故tan⎝⎛
⎭
α+π4=
tanα+tanπ
4
1-tanαtanπ4-3
4+1
1-⎝⎛⎭
-34×1
1
7
（2由题图可知tanα=1
3,tanβ=
1
2且α,β均为锐角,∴tan（α+β=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
13+121-1312
=1.
∵α+β∈（0,π,∴α+β=π4.
类型4三角形中的三角函数
例5.已知△ABC中,tanB+tanC+3tanBtanC=3,且3tanA+3tanB+1=tanAtanB,判断△ABC的形状.
【思路探究】
【自主解答】由tanA=tan[π-（B+C]=-tan（B+C
=tanB+tanC
tanBtanC-1
3-3tanBtanC
tanBtanC-1
3.
而0°<∠A<180°,∴∠A=120°.
由tanC=tan[π-（A+B]=tanA+tanBtanAtanB-1
tanA+tanB3tanA+3tanB
33,
而0°<∠C<180°,
∴∠C=30°,∴∠B=30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
【归纳提升】
利用和差角公式判断三角形形状时,应考虑借助同名三角函数之间关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小,进而判断三角形形状,注意对三角形内角和A+B+C=180°这一隐含条件的运用.
[变式训练]
在非直角三角形ABC中,求证:
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
【解】在非直角三角形ABC中,有A+B+C=π,即A+B=π-C,且A,B,A+B都
不等于π2.
∴有tan（A+B=tan（π-C,tanA+tanB
1-tanAtanB
=-tanC,
∴tanA+tanB=-tanC（1-tanAtanB=-tanC+tanAtanBtanC.∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
●课堂小结1.公式记忆
（1理顺公式间的逻辑关系
C（α+β――→以-β代βC（α-β――→诱导公式S（α+β――→以-β代βS（α-β.（2注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C（α-β,C（α+β可记为“同名相乘,符号反”;对于公式S（α-β,S（α+β可记为“异名相乘,符号同”.2.公式T（α±β的结构特征和符号规律
（1公式T（α±β的右侧为公式形式,其中分子为tanα与tanβ的和或差,分母为1与tanαtanβ的差或和.
（2符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.3.公式T（α±β应用时要注意的问题（1公式的适用范围
由正切函数的定义可知α,β,α+β（或α-β的终边不能落在y轴上,即不为kπ+π
2（k∈Z.
（2公式的逆用
一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换,如tanπ41,tanπ633tanπ
3=3等.
特别要注意tan（π4α=1+tanα1-tanαtan（π
4α=1-tanα1+tanα.
（3公式的变形用
人教A版数学教案必修4第三章3.1.2第一课时只要见到tanα±tanβ，tanα·tanβ时，有灵活应用公式T（α±β的意识，就不难想到解题思路.六、板书设计两角和与差的余弦正弦正切公式倍角公式学习目标探究点1探究点2注意事项：
12．3．4.学生练习典例分析例1例2例3当堂检测反馈作业小结：
七．当堂检测1.sin75°＝（A.C.6－246－22D.6－22B.6＋24【解析】sin75°＝sin（30°＋45°＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°2＋61232＝2×2＋2×2＝4.【答案】Bπ2.（2013·长沙高一检测已知tanα＝2，则tan（α＋4＝（A.－3C.－4D.4πtanα＋tan42＋1π【解析】tan（α＋4＝＝π1－2×1＝－3.1－tanαtan4B.3第11页共11页
人教A版数学教案必修4第三章3.1.2第一课时【答案】A3.（2014·唐山高一检测A、B为锐角三角形的两个内角，则tanA·tanB的值（A.不大于1B.小于1C.等于1D.大于1【解析】tanC＝－tan（A＋B＝－又∵tanA＋tanB＞0，∴1－tanAtanB＜0.∴tanAtanB＞1，故选D.【答案】D4.（2014·江南十校高一检测若3sinx－3cosx＝23sin（x＋φ，φ∈（－π，0，则φ等于（πA.－65πC.6πB.65πD.－63，且φ∈（－π，0得：
3tanA＋tanB＞0，1－tanAtanB.【解析】因为3sinx－3cosx＝23sin（x＋φ，所以由tanφ＝－πφ＝－6，故选A.【答案】A5.（2014·淮安高一检测sin155°cos35°－cos25°cos235°＝________.【解析】cos23°·sin53°－sin23°cos53°＝sin53°cos23°－cos53°sin23°＝sin（53°－23°1＝sin30°＝2.1【答案】2α＋ββö1αö1ææ6.（2014·铜山高一检测已知tançα－2÷＝2，tançβ－2÷＝－3，则tan2＝________.èøèøα＋ββöæαöùéæ【解析】tan2＝tanêçα－2÷＋çβ－2÷úëèøèøûβöαö11æætançα－2÷＋tançβ－2÷2－3èøèø1＝＝＝βöæαö117.æ1－tançα－2÷tançβ－2÷1＋2×3èøèø第12页共12页
人教A版数学教案必修4第三章3.1.2第一课时1【答案】7πö32ææπö7.已知α∈ç0，2÷，β∈ç－2，0÷，且cos（α－β＝5，sinβ＝－10，求α.èøèøπöææπö【解】∵α∈ç0，2÷，β∈ç－2，0÷，èøèøπöπöææ∴α∈ç0，2÷，－β∈ç0，2÷，èøèø从而α－β∈（0，π.34∵cos（α－β＝5，∴sin（α－β＝5.2æπö∵β∈ç－2，0÷，sinβ＝－10，èø72∴cosβ＝10，∴sinα＝sin[（α－β＋β]＝sin（α－βcosβ＋cos（α－βsinβ4723æ22ö＝×＋×ç－÷＝5105è10ø2ππα∈æ0，2ö，∴α＝.èø413æπö8.（2014·邹平高一检测（1已知tan（π－α＝2，sinβ＝5，β∈ç2，π÷，求tan（2α－β的值.èø（2已知tanα＝3（1＋m，tan（－β＝3（tanαtanβ＋m，求tan（α＋β的值.1【解】（1∵tan（π－α＝2，14∴tanα＝－2，∴tan2α＝－3.3π又∵sinβ＝5.且β∈（2，π，43∴cosβ＝－5.∴tanβ＝－4.∴tan（2α－β＝tan2α－tanβ7＝－24.1＋tan2αtanβtanα＋tanβ＝tan（α＋β＝3.1－tanαtanβ（2两式作差得tanα＋tanβ＝3（1－tanαtanβ，即第13页共13页
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