最新沪教版五四制六年级数学上册《公因数与最大公因数》教学设计评奖教案.docx
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最新沪教版五四制六年级数学上册《公因数与最大公因数》教学设计评奖教案
公因数与最大公因数
知识精要：
一、课前思考：
1.现在小丽家要装修新房子，小丽房间长3.6米，宽2米。
要求给房间铺正方形的地砖，为了美观，请问有几种选择方法？
用砖块数最少时是多少块？
（提示：
砖块有
这9种规格供选择）
2.若改为剪纸游戏，将长为36cm,宽为20cm的长方形，裁成若干个正方形，要求没有制片剩余，最少可裁处多少个正方形？
二．公因数与最大公因数的概念：
其实我们在前面的学习中已经涉及到公因数，只是没有进行归纳。
1概念：
几个数公有的因数，就叫做这几个数的公因数，其中最大一个称为这些数的最大公因数.
例1、下列各组数的最大公因数：
①17和51②23和32③24和60④13和52⑤4和9
通过上面的运算，我们可以发现：
⑴像①、②和④，如果其中一个数为素数，他们的最大公因数要么是1，要么是这个素数本身，道理很好理解。
也就是说只要另外一个数能整除这个素数，那么他们的最大公因数就是这个素数，不然，最大公因数就是1.
⑵像③和⑤这样两个数都是合数的，情况又不一样。
通过列举⑤比较好列举，但是像③的话，比较复杂,用列举法比较容易遗漏。
下面介绍另外两种方法：
方法一：
分别把24和60分解素因数得：
24=
60=
则他们的最大公因数是这些公素因数的乘积，即
=12
使用这个方法时注意把相同的素因数对齐。
方法二：
用短除法，2|2460、、、、、、用公有的素因数2除
2|1230、、、、、、再用第一次商公有的素因数2除
3|615、、、、、、再用上一步商公有的素因数3除
25、、、、、、除到两个商的最大公因数为1为止
把所有的除数乘起来，就得到24和60的最大公因数，为
=12。
2互素的概念:
公因数只有1的两个数叫互素。
互素的要点：
1、互素是指两个数之间的关系，与素数没有互为因果的联系，也就是说两个数不一定都是素数；
例1、下列说法中，正确的是（）
①2是4和6的一个公因数；②12是24和36的最大公因数
③如果两个数互素，那么这两个数一定是素数；④1和任何正整数互素。
1、在以下四种情况下可以直接判断两个数互素：
①两个不同的素数互素；②1和任何整数都互素；③两个相邻的数互素；④一个素数与一个合数如果没有倍数的关系，则他们互素。
例2、判断下列各组数是否互素？
9和12；27和28；7和22；11和121；13和29
例3、1,11,14,16能组成几对互素？
求最大公因数的方法：
①分别列出两个数的因数，再从中找出公因数中最大的一个。
缺点计算量大，且容易漏情况；
②分解素因数法：
把两个数分解素因数，把他们相同的素因数相乘，及最大公因数；
③短除法：
用两个数的公因数去除，除到商互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数。
④特征法：
如果两个数互素，那么他们的的最大公因数为1；如果较小的数是较大数的因数，则其最大公因数是较小的数
例3、求18和42的最大公因数。
例4、求25与50的最大公因数。
精解名题
例1、用短除法求下列各数的最大公因数：
（1）12和30
（2）24和36（3）39和78
（4）72和84（5）45和60（6）45和75
例2、用某数去除218，170，290都余2，问某数最大是多少？
例3、有一个长方体大块，长60厘米，宽40厘米，高24厘米，如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？
备选例题
例1、有一个质数,是两个数字组成的两位数,两个数字之和是8,两个数字之差是2,那么这个质数是几?
巩固练习：
一、选择：
1.下列各组数中，不是互素的是：
（）
A．12和25；B.63和30；C.101和100；D.53和61.
2.8是32和48的（）
A.最大公因数；B.最小公倍数；C.公因数；D.互素.
3.甲数是乙数的15倍，这两个数的最大公因数是（）
A．15；B.甲数；C.乙数；D.甲数
乙数.
4.几个数的最大公因数是12，这些数的全部公因数是（）
A．1，2，3，12；B.2，3，4，6；C.2，3，4，6，12；D.1，2，3，4，6，12.
二、填空：
1.12和18的全部公因数有：
，最大公因数为：
.
2.A=
，B=
，A和B的最大公因数是：
.
3.2,3,16,18四个数可以组成对互素.
4.先分别把下面两个数分解素因数，再求他们的最大公因数.
21=；39=.21和39的最大公因数为：
.
5.甲数=
，乙数=
，甲数和乙数最大的公因数是21，则A最小可取，B=.2|AB
6.根据短除法计算并填空：
5|15
43
A和B分别是；A和B的最大公因数是.
三、简答：
1.求出下面每组数的最大公因数，并指出哪些是互素.
①2和6②12和18③27和51
④28和14⑤32和56⑥17和32
2.有A，B，C，D四个数，已知A、C的最大公因数是72，B、D的最大公因数是90，这四个数的最大公因数是多少？
3、已知两个数的和是60，它们的最大公因数是15，试求这两个数.
应用题
例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。
现在要把它们截成同样长的小段。
每段最长可以有几米？
一共可以截成多少段？
例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？
能截多少个正方形？
例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束.若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？
每个花束里至少要有几朵花？
三、探究题：
1.如果正整数n能使
也是整数，那么这样的正整数n有多少个？
自我检测：
1.请用至少两种办法求下列各组数的最大公因数.
①8和9②9和18③17和51
④7和13⑤27和9⑥14和15
2.求下列各组数的最大公因数：
①8，12和24②14，21和35③18,20和28④17,51和102
3.下列每一组数有没有公因数2？
有没有公因数3？
有没有公因数5？
（1）9和15
（2）12和24（3）18和54（4）60和75
4.幼儿园的大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友。
按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友.
5.蒋老师家的电话号码为一个7位数，从左到右7个号码依次是：
①最小的素数；②最小的正数；③最小的奇素数；④偶素数
⑤因数只有3个的偶数；⑥6和12的最大公因数；⑦最小的自然数.
蒋老师的电话号码是.
6.附加题
小李家装修新房子，厨房是长为4米，宽为2.4米的长方形，准备用整块的方形地砖铺满厨房地面。
市场上地砖有20×30（单价：
3.0元/块），30×30（单价：
4.8元/块），40×40（单价：
7.4元/块），60×60（单价：
厘米×厘米）的四种尺寸，小李家既想选用较大尺寸的，还希望价廉物美，你能帮助他挑选最合适的一种吗？
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