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数学思想方法论文

浅谈数学思想方法在中学教学中的应用

摘要：

数学思想方法作为数学知识体系的灵魂，其在人的能力培养和素质提高方面具有重要作用.本文通过对数学思想方法在中学教学中渗透途径的探讨与研究，以此促使数学教师认识其在教学中的重要性，从而促进师生对数学的学习.

关键词：

数学思想方法；中学数学；应用

TheInfiltrationofMathematicalThoughtandMethodTeachinginMiddleSchool

Abstract:

Maththinkingmethodactasthespiritofthemathematicalknowledge.Itplaysanimportantroleinthetrainingofthestudents’abilityandtheimprovementsoftheirquality.Thisarticlewouldusetheprimarydiscussionandresearchontherelatedproblemsofthemaththinkingmethod,deepenourmathteachers’realizationontheimportanceofthemathematicalthoughtandmethodinteachingactivity,inordertomakedevelopmentonteachersandstudentsaboutmathematicslearning.

Keyword:

Maththinkingmethod;secondaryschoolteaching;infiltrate

引言

科学知识、科学思想和科学方法是人类知识宝库的三个基本内涵.进入新世纪以来,我国的教育面貌发生了翻天覆地的深刻变化,正逐步从应试教育的桎梏中解放出来进而迈向全面推进素质教育的轨道.面对21世纪的机遇和挑战,提高全民族的文化素质是摆在我们面前的紧迫任务.数学思想作为科学思想、科学方法的一个重要部分,随着素质教育的实施,其重要性已日益凸显出来.关于数学思想方法,北京师范大学钱佩玲教授是这样说的：

“数学思想方法是以数学内容为载体,基于数学知识,又高于数学知识的一种隐性知识.”数学思想方法是在数学科学的发展中形成的,它伴随着数学知识体系的建立而确立,是数学知识体系的灵魂所在,是数学中具有奠基性、总括性的基础部分.数学思想方法教学作为数学教育的重要内容,已日益引起人们的注意,这恐怕与教育愈来愈重视人的能力培养与素质提高有密切关系.

日本数学家和数学教育家米山国藏在从事多年的数学教育研究之后,说过这样的一段话：

“学生们在初中或高中所学到的数学知识,在进入社会后,几乎没有什么机会应用,因而这种作为知识的教学,通常在走出校门后一两年就忘掉了.然而不管他们从事什么业务工作,那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法,却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用.”倘若我们留意各行各业的某些专家或一般工作者,当感到他们思维敏锐、逻辑严谨说理透彻的时候,往往可以追溯到他们在中小学所受的数学教育,尤其是数学思想方法的熏陶.理论研究和人才成长的轨迹都表明,数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面具有重要作用.

基础教育的核心是发展——使每一个受教育者在各方面都得到发展,不是挑选——选拔出少数人去进行更高一级的学习.可是我们现在所面临的问题是,数学思想方法在教学中渗透的重要性尚未完全被广大数学教师所认识.这表现在数学教学中只注重数学知识的传授,忽视知识发生过程中数学思想方法教学的“填鸭式”教学现象依然普遍存在,特别是在素质教育发展比较薄弱的中西部地区,这样的情况更是屡见不鲜.诚然,按传统的教学方法进行数学教学,也有一些学生掌握了数学思想方法,并且在日后的工作中有所建树.但是我们要看到,这些学生是靠自己的艰苦努力,经历了一个漫长的探索过程才能达到这样的境界,而且只能是极少数的一部分人.我么今天所提倡的加强数学思想方法教学渗透,其意义在于:

促使数学思想方法由盲目的、不自觉的应用向有意识的、自觉的应用转化,大大缩短学生在黑暗中摸索的过程.由只有少数人掌握数学思想方法变为多数人都掌握,从而使数学教育更好地为提高国民素质服务.

数学思想方法在教学活动中作为形成学生良好认知结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁,同时作为基础知识在大纲中明确、肯定地提了出来.因此,数学的学习既是知识的学习,又是思想、方法的学习.虽然素质教育在我国提出已有多年,素质教育的实施也取得了一些显著的成果,但是距离我们的最终目标创新型人才的培养仍有一段很长的路要走.基于以上原因,本文通过对数学思想方法在教学中渗透的相关内容的论述,希望能给在一线工作的数学教师特别是即将或刚刚走上工作岗位的数学教师,在教学活动中贡献一点建设性的建议,以更好地发展自身,从而使数学教育更好地服务大众.

一、初中数学教学应渗透的思想方法

1．分类讨论思想。

分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。

分类是数学发现的重要手段。

在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。

2．数形结合思想。

初一教材引入数轴，就为数形结合的思想奠定了基础。

有理数的大小比较、相反数的几何意义、绝对值的几何意义、列方程解应用题中的画图分析等，充分显示出数与形结合起来产生的威力，这种抽象与形象的结合，能使学生的思维得到锻炼。

3．整体思想。

整体思想在初中教材中体现突出，如在实数运算中,常把数字与前面的“＋，－”符号看成一个整体进行处理；又如用字母表示数就充分体现了整体思想,即一个字母不仅代表一个数,而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等；再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理，如：

（a+b+c）2=[（a+b）+c]2视（a+b）为一个整体展开等等，这些对培养学生良好的思维品质,提高解题效率是一个极好的机会。

4．化归思想。

化归思想是数学思想方法体系主梁之一。

在实数的运算、解方程（组）、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识,学生有意无意接受到了化归思想。

如已知（x+y）2=１１，xy=1求x2+y2的值,显然直接代入无法求解,若先把所求的式子化归到有已知形式的式子（x+y）2-2xy，则易得:

原式=9；又如“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决,这都是化归思想在实际问题中的具体体现。

再如解方程（组）通过“消元”、“降次”最后求出方程（组）的解等也体现了化归思想。

5．变换思想。

变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。

具有优秀思维品质的一个重要特征,就是善于变换，从正反、互逆等进行变换考虑问题,但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题，因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。

6．方程思想。

方程思想的实质就是数学建模,解应用题是方程思想应用的最突出体现。

如甲乙两人同时从a地出发，步行15千米到b地，乙比甲每小时少走1千米，结果比甲迟到半小时，求甲、乙两人的速度。

这道题若通过构建方程求解，也不难求出答案。

解：

x1=6，x2=－5经检验x=6，x2=－5都是原方程的根，但x2=－5不合题意，舍去；

由x=6得x－1=5；于是甲每小时走6千米，乙每小时走5千米。

7．比较思想。

所谓比较，就是指在思维中对两种或两种以上的同类研究对象的异同进行辨别。

比较是一切理解和思维的基础，随着学习的不断深入，学生要掌握越来越多的知识，这就要求学生要善于比较知识之间的区别和联系。

例如，在因式分解的教学中，通过复习整式乘法，让学生比较这两种运算的异同，明确因式分解与整式乘法是恒等变形，又是互逆运算。

如（a+b）（a-b）=a2－b2是整式乘法，a2－b2=（a+b）（a-b）是因式分解。

又如，轴对称图形、旋转对称图形、中心对称图形是意义不尽相同的概念，通过类比可以发现它们之间的异同，从而加深对这几个概念的本质属性的认识。

8．统计思想。

现代认知科学理论认为：

知识是无法传授的，传递的只是信息。

学生是数学学习活动中的认知主体，是建构活动中的行为主体，而其他则是客体或载体。

学生作为主体的作用，体现在认知活动的中参与功能。

在渗透数学思想方法的教学中，我们提出：

引导、参与是关键。

实践证明，数学思想方法的掌握，需要学生在数学活动中长期地实践、积累，不断地体验才能逐步做到。

二、初中数学教学应如何加强数学思想方法的渗透

1.提高渗透的自觉性。

作为教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。

其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。

2.把握渗透的可行性。

数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。

因此，必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机——概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。

同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。

3.注重渗透的渐进性和反复性。

在教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”。

因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的，其次要注意渗透的长期性。

数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。

总之，在数学教学中，只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想，同时注意渗透的过程，依据课本内容和学生的认知水平，从初一开始就有计划的渗透，就一定能提高学生的学习效率和数学能力。

三、数学思想方法在初中数学教学中的重要性

在《初中数学课程标准》的总体目标中，明确地提出了：

“通过义务教育阶段的数学学习，学生应能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。

新课程把基本的数学思想方法作为基础知识的重要组成部分，在数学课程标准中明确地提出来，这不仅是课程标准体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培养创新思维的重要保证。

什么是数学思想方法？

数学思想是对数学知识和方法本质的认识，是解决数学问题的根本策略，它直接支配着数学的实践活动；数学方法是解决问题的手段和工具，是解决数学问题时的程序、途径，它是实施数学思想的技术手段。

数学思想带有理论性特征，而数学方法具有实践性的特点，数学问题的解决离不开以数学思想为指导，以数学方法为手段。

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁。

在初中数学教学中，渗透数学思想方法，可以克服就题论题，死套模式，数学思想方法可以帮助我们加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析解决问题的能力，从而使思维品质和能力有所提高。

提高学生的数学素质、必须紧紧抓住数学思想方法这一重要环节，因为数学思想方法是提高学生的数学思维能力和数学素养的重要保障。

在初中数学教材中集中了大量的优秀例题和习题，它们所体现的数学知识和数学方法固然重要，但其蕴涵的数学思想却更显重要，作为初中数学教师，要善于挖掘例题、习题的潜在功能。

在初中数学教学中，教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。

因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。

四、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用

（一）渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力

所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。

转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。

数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为易，化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。

我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元，都是转化思想的体现。

在具体内容上，有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。

例如：

初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，教材是通过“议一议”的形式，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例子，越能引起学生的认同，所以我们不能错过这一绝佳的提高学生的思维品质的机会。

再如北京市义务教育课程改革实验教材数学第13册第4章中《对图形的认识》，它实际上是“空间与图形”的最基本部分。

教材在编排设计上是围绕认识基本几何体、发展学生空间观念展开的，在过程上是让学生经历图形的变化、展开与折叠等数学活动过程的，在活动中引导学生认识常见的几何体以及点、线、面和一些简单的平面图形，通过对某些几何体的主视图、俯视图、左视图的认识，在平面图形与立体图形的转化中发展学生的空间观念。

在授课过程中要特别注意图形的转化思想的渗透，在实际操作中，因为大部分学生在小学时就积累一定的感性处理方法，我们要注意的就是在学生原有知识结构的基础上，将其上升为理论高度，引导学生归纳概括得出一般性的结论：

在初中阶段，绝大部分立体图形的问题都可以转化为平面图形的问题，从而使学生真正体会到立体与平面的相互转化思想。

又如在解方程组时，通过消元这个手段，把二元一次方程组转化为一元一次方程去解；在解多边形问题时，又是通过添加辅助线这个手段，把多边形的问题转化为三角形的问题加以解决等等。

数学中的有理数和无理数、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和变量、整体和局部等处处都蕴涵着转化这一辩证思想。

因此，在初中数学教学中，应有意识地渗透转化思想。

如在学习分式方程时，不能只简单介绍分式方程的概念和解法，教学时，应让学生充分经历整式方程与分式方程的观察、比较、分析、探索过程，启发学生说出分式方程的解题基本思想，学生在经历了充分的探索后，自然认识到：

通过把分式方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，就可以把分式方程转化为整式方程，学生感悟到分式方程与整式方程概念和解法的实质后，会收到一种居高临下，深入浅出的教学效果。

因此，在初中数学教学中，要注重渗透转化思想，可以说转化思想是科学世界观在数学中的体现，是最重要的数学思想之一，不仅可以培养学生的科学意识，而且可以提高学生的观察能力、探索能力和分析解决问题的能力。

（二）渗透数形结合的思想方法，提高学生的数形转化能力和迁移思维的能力

恩格斯曾说过：

“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。

而“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。

“数”是数量关系的体现，而“形”则是空间形式的体现。

它们两者既有对立的一面，又有统一的一面。

我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常常借助于线段或角的数量关系去探求。

数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。

数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。

因此，数和形是研究数学的两个侧面，利用数形结合，常常可以使所要研究的问题化难为易，使复杂问题简单化、抽象问题具体化。

正如著名数学家华罗庚所说的那样：

“数无形，少直观，形无数，难入微”，这句话阐明了数形结合思想的重要意义。

在初中代数列方程解应用题教学中，很多例题都采用了图示法进行分析，在教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系，找出解决问题的突破口，学生掌握了数形结合这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义。

又如，计算：

1+3=？

1+3+5=？

1+3+5+7=？

1+3+5+7+9=？

并根据计算结果，探索规律。

在这道题的教学中，首先应让学生思考：

从上面这些算式中你能发现什么？

让学生经历观察（每个算式和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同），归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程。

在探索过程中鼓励学生进行相互合作交流，提供如下的帮助：

列出一个点阵，用图形的直观来帮助学生进行猜想。

这就是典型的把数量关系问题转化到图形中来完成的题型，充分体现了数形结合思想。

再如在讲“圆与圆的位置关系”时，可自制圆形纸板，进行运动实验，让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系，然后可激发学生积极主动探索：

两圆的位置关系反映到数上有何特征？

这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不失时机地渗透，这样不仅可以提高学生的迁移思维能力，还可以培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。

此外，数学教学中，我们正是借助数形结合的载体——数轴，学习研究了数与点的对应关系，相反数、绝对值的定义，有理数大小比较的法则等，利用数形结合思想大大减少了引进这些概念的难度。

数形结合思想的渗透不能简单的通过解题来实现和灌输，应该落实在课堂教学的学习探索过程中，我在讲“相反数”这节课时，首先提出问题：

“在上体育课时，体育李老师请小明和小强分别站在李老师的左右两边（三人在同一条直线上），并与李老师相距1米。

你能说出小明、小强与李老师的位置关系有什么相同点和不同点吗？

如果李老师所站的位置是数轴的原点，你能把小明、小强所站的位置用数轴上的点A、B表示出来吗？

它们在数轴上的位置有什么关系？

”

让学生动手实践，在数轴上分别确定表示这些数的点。

观察并思考：

这些点在位置上有怎样的特征。

引导学生归纳总结，形成相反数的概念，在此基础上继续提出问题：

若两个数互为相反数，从“数、形”的角度看，它们有什么相同点和不同点呢？

学生思考得到：

从“数”的角度看：

若两个数互为相反数，则只有符号不同。

教师强调：

只有、两个、互为。

从“形”的角度看：

相同点是它们到原点的距离相等；不同点是两个点分别在数轴原点的两侧。

之后，进一步引导学生观察数轴，是否所有的相反数都成对出现？

有特殊的吗？

学生通过讨论得出：

除0以外，相反数是成对出现的。

本节课借助数轴，帮助学生理解相反数的概念，进一步渗透数形结合的思想。

教学中，从学生身边的生活实例入手，先从互为相反数的两数在数轴上的特征，即它们分别位于原点的两旁，且与原点距离相等的实例出发，让学生带着问题观察数轴上的点，鼓励学生用自己的语言说出猜想，揭示这两数的几何形象。

充分利用计算机课件的直观性帮助学生验证猜想，增强对相反数概念的感性认识，充分利用数轴帮助思考，把一个抽象的相反数的概念，化为直观的几何形象。

在这种情况下给出互为相反数的定义：

只有符号不同的两个数称互为相反数。

特别地规定：

0的相反数是0。

学生从“数”和“形”两个方面认识相反数概念的本质特征，体会数形结合的思想，显得自然亲切，水到渠成，同时也让学生在数形结合的思想方法的引领下感受到了成功，初步领略和尝试了它的功用，是一个非常好的渗透背景。

参考文献

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