极限数学思想方法的应用Word文档下载推荐.docx

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圆柱的体积

角的认识及大小比较

倍数与公倍数

四、极限思想方法的渗透策略

1、从“图形”上看“无限延伸性”

小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线、射线、角的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的，通过一点可以画无数条直线等等，如人教版四年级上册《直线、射线和角》的教学，有多个渗透极限思想的点，一是直线的两端、射线的一端（没有端点）可以无限延伸，教学时，可以借助学生的想象，先让学生画一条直线，然后延长，再延长一直到不能画为止，这时可提问，还可以延伸吗，直至想象这条直线穿出教室，学校，我们所在的城市地球的大气层太阳系„„，师让学生闭上眼睛，自己边说直线的路径，边让学生体会直线两端的无限延伸，从中体会其中的“极限”思想;

二是经过一点可以画（）条直线，这里我们可以借助现代化工具制作多媒体课件，在让学生试画之后，出示课件，经过一个点的直线，1条，3条，10条，50条，上百条„„直至变成近似于以这个点为中心的圆，而这个圆即是答案，个数是无限的，圆则是最终极限的结果。

2、从“数量”上看“无限多”

现行人教版小学教材中有许多知识点会涉及到数量无限多的情

况。

在“自然数”、“奇数”、“偶数”、“小数”这些概念教学时，

教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限

多个，小数没有最小的数。

如四年级下册求0.5和0.6之间有几

个小数，答案是无数个，写不完也数不完，让学生体会这样的小

数是无穷无尽的。

在五年级上册循环小数这一部分内容中，1?

6=0.1666„商是一个循环小数，它的小数点后面的数字是写不完

的。

通过这些方面让学生初步体会“无限”思想。

以上两点是从不同方面体现了“无限”的观念，并不是真正意义

上的“极限”，但是，培养学生的无限观念是初步形成极限思想的

基础，是学生必经的一个阶段，所以我们应重视无限的教学。

3、从“方法”上看“无限逼近”。

“无限?

极限”的原因在于无限的结果可能是收敛的，也可能是

发散的。

由于小学生的生活经验、数学知识还比较贫乏，他们只

能通过一些具体的事例，逐渐感悟到什么是“无限地逼近”，为

将来学习“收敛”这个数学中概念积累一些感性的认识。

因此，

逐步理解“逼近”是形成极限思想的另一个重要方面。

在教学《圆的认识》的片段:

深究圆与正多边形。

师在让学生理

解了圆之所以美，是因为在同一个圆里，半径处处相等这一道理

之后，课件出示正三角形，从中心出发，连接三个顶点，三条长

度相等。

再出示正四边形、正六边形、正八边形（右图），最后是

正三十二边形，正一百边形，然后让学生想象，如果是正一千边

形、正一万边形，正一亿边形，直至无穷无尽，它就是---圆（生

答）。

整个过程其实就是一个正多边形不断地逼近一个圆的过程，

先通过课件实物引导，再想象无穷无尽多边形即是一个圆，老师

不断地引导学生理解随着边的无限增多，正多边形逐渐成为一个

圆。

在教学《圆的面积》时，让学生将圆分割成若干个小扇形，生:

分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。

这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的变成了长方形”就是收敛的结果。

学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的具大价值。

以上计算公式的推导过程，采用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。

在通过有限想象无限，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果。

既使学生掌握了计算公式，又萌发了无限逼近的极限思想。

五、极限思想方法的应用及案例分析。

1、比较0.99„„与1的大小。

首先学生很容易理解1?

3=0.33„„，2?

3=0.66„„，因为1/3+2/3=1，所以0.33„„+0.66„„=1，也就是0.99„„=1;

其次，0.99„„和1比较大小，让学生找大于0.99„„而小于1的数，学生找不到这样的数，从而告诉学生0.99„„=1。

再次1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.9999=0.0001，„„1-0.999„„=,这时可以引导学生观察:

随着小数部分9的个数的不断增多，与1的差在逐渐的减少，而在0.999„„中的小数部分有无穷多个9，那么最终的差会是多少呢,

这样使学生认识到差会越来越小，最终成为0。

从而使学生认识到0.999„„=1

事实证明这种办法学生是可以理解和接受的，这种办法的核心就是极限思想的体现。

学生对这种办法的理解过程正是对极限思想的感知过程。

2、1根长1米的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。

第1天截去后剩下部分的长度占原长的1/2，第2天截去后剩下的占全长的1/4，第3天截去后剩下的占全长的1/6，„„，第10天截去后剩下的占全长的1/，„„，第n天截去后剩下的占全长的1/，„„如果我们这样不断地截下去，木棒所剩部分的长度是（0）。

从图中直观地看出随着加数的不断增加，空白部分的面积逐渐扩大，并且越来越接近正方形的面积即不断地逼近1，当有无限多项相加时其结果为1。

3、对所学过的长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形、圆的面积公式做出整理。

可以以梯形为核心进行梳理的主要手段可以借助极限的思想将公式进行联络。

利用极限思想得到三角形的面积计算公式，方法是让梯形的上底趋于0，梯形即趋于三角形，梯形的面积计算公式当上底趋于0时的极限就是三角形的面积计算公式。

我们甚至可以把长方形、正方形、平行四边形面积计算公式都看成是梯形面积计算公式的极限形式。

于是可以构建出下面的知识网络系统。

4、圆环面积的“极限”渗透计算法

小学数学第11册第5单元《圆的周长和面积》分为:

圆的认识，扇形的认识，圆的周长，圆的面积四部分。

课本在讲解圆的面积计算公式时，采用了把圆分成若干等份后，拼补成一个近似的长方形。

接着指出:

把圆等分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形。

如果把圆等分的份数趋于无穷多，就能拼成一个精确的长方形。

这里运用了“无限分割”的方法，实际上渗透的是“极限思想”。

如图

因为长方形面积=长×

宽

所以圆的面积=πr×

r=πr2

用S表示圆的面积，那么圆的面积公式就是:

S=πr2为了巩固圆面积的计算公式，教材安排了例题“圆环面积的计算”:

圆环面积=外圆面积-内圆面积

即:

S圆环=πR2-πR2

最后，教材提出想一想，还可以怎样算,要求在上述计算中，逆向运用乘法分配律得出:

S圆环=π（R2-r2）

现在再考虑，还有没有其他算法呢,

我们可以从推导圆面积计算公式时运用的“无限分割”即“极限思想”来进行圆环面积的计算，如下图2:

由此得出计算圆环面积的另一公式:

S圆环=长方形的面积,长×

宽,（C+c）/2×

（R-r）=π（R+r）×

（R-r）然后，通过实例来比较这两种算法:

例一个圆环的外圆半径是8.5分米，内圆半径是6.5分米。

求这个圆环的面积。

解法一:

S圆环=πR2-πr2

3.14×

8.52-3.14×

6.52

=3.14×

（8.52-6.52）

（72.25-42.25）

30=94.2（平方分米）

解法二:

S圆环=π（R+r）（R-r）

=3.14×

（8.5+6.5）（8.5-6.5）

（15×

2）

30

=94.2（平方分米）

显然，第二种算法更为简便，且容易确认:

R2-r2=（R+r）×

（R-r）。

事实上，到初中学习乘法公式时，就会知道这恰恰又是一个公式。

由于解法二是把圆面积计算方法推算过程中的“极限思想”迁移到圆环面积计算中来，必然对培养学生的学习兴趣和提高数学思维能力起到积极的作用。

【案例】“射线的初步认识”

师:

请同学们在白纸上画一条3厘米长的线段，说一说它有什么

特点。

生:

1（它是直的、用尺可以量出长度;

2（它有两个端点„„

请同学们在白纸上画一条5厘米长的直线，有什么问题?

生a:

好了!

（得意）

生b:

不对!

（反对）直线是没有长短的„„

为什么?

因为直线可以向两边无限延长。

无限延长是什么意思?

就是无限的长，没完没了的意思„„

下面请同学们仔细观察老师的演示:

（用红外线光电筒照在黑板上）请同学们画出来。

师:

（打开窗户，将红外线光电筒照射向天空）如果光束没有受到阻碍的话，请你画出来„„

（学生有很多种情况，请学生自己说出自己的理由，交流反馈）师:

这就是我们今天要学的射线，它有什么特点呢?

生:

一个端点、直的、可以向一个方向无限延长、不可度量。

射线是直线的一半吗?

是的，因为直线上点一个点，就可以有两条射线。

不对，它们都是可以无限延长的，所以无法比较，不能说是谁的一半„„

让学生一下子认识到图形的无限性是有一定难度的，上面的教学片段中，教师通过学生自己动手，建立起对“线段”“射线”“直线”在认知的矛盾冲突，这样巧妙的教学设计使得学生轻松地建立了对“直线”“射线”的“无限”的空间感观，真实、自然又不失严密。

在我们周围的事物中，是找不到那种可以真正地被看成是“无限的直线”的东西的。

那么今后学生因为想象出了无限的直线，他们的空间图形

观念则产生了质的飞跃，因为借助于这样的直线去认识世界，将比没有它要方便得多。

学生在教师的引领下，走出有限的几何观念，形成无限的几何观念，极限思想在图形概念形成初期呼之欲出，进发出其绚丽的色彩!

【案例】“圆的面积”

在教学“圆面积公式的推导”一课时，我是这样设计的。

我们学过了一些图形的面积计算公式，今天我们来研究圆的面积公式。

你们有什么办法吗?

可以把圆转化为我们学过的图形。

怎么转化?

把圆平均分。

（大屏幕上演示把圆平均分成了2份，把两个半圆使劲地拼，结果还是一个圆。

）

转化不成已经学过的图形，怎么回事?

平均分的份数不够多。

是这样吗?

那我们分得多一些，请大家仔细观察。

（演示把一个圆分割为完全相同的小扇形，并试图拼成长方形。

从平均分成4个、8个到16个。

你们有什么发现?

同桌轻轻交流一下。

生1:

16个拼起来，比较像长方形。

生2:

你们都同意他们的看法吗?

（学生表示同意）那我们再来分一分这个圆。

（课件演示把圆平均分成32个、64个„„完全相同的小扇形。

大家再仔细看一看，想一想，如果一直这样分下去，拼下去会怎样?

拼成的图形就真的变成了长方形，因为边越来越直了。

拼成的长方形与原来的这个圆究竟有怎样的关系啊?

„„

这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的变成了长方形”就是获得的结果。

学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的巨大价值。

学生有了这个基础，到将来学习圆柱体积公式的推导时就会很自然地联想到这种办法，从而再一次加以利用解决问题，在不断的应用中学生的极限思想会潜移默化地形成。

以上计算公式的推导过程，采用了“变曲为直”，“化圆为方”极限分割思路。

【案例】“用转化的策略解决问题”

计算:

1/2+1/4+1/8+1/16

仔细观察这个算式有什么特点?

任意相邻的两个分数，后一个分数总是前一个分数的一半。

用什么方法求和?

通分转化。

可以转化成小数求和。

还有不同的方法吗?

用数形结合的方法。

先画一个大正方形，它的面积是1，如图所示，从图中可以直观地看出:

1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=15/16在此基础上可以把问题进一步变化为:

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+„„=,

用数形结合的方法，从图中直观地看出随着加数的不断增加，空白部分的面积逐渐扩大，并且越来越接近正方形的面积即不断地逼近1，当有无限多项相加时其结果为1。

通过多种办法解决这个题目的动态过程中，学生在收获知识的同时，极限思想、数形结合的思想又为学生解题方法的创新提供了可能，培养了思维的灵活性。

总之，练习的设计不能仅仅着眼于一个问题的解决，而要关注学生在解决这个问题中自主领悟到的数学知识及思想方法，更要关注在解决问题中数学素养的形成。

在小学阶段“极限”思想到底应渗透到什么程度，小学阶段可以在着重培养学生的“无限”想象力，在图形教学中培养学生空间想象力，培养学生的无限观念等方面下功夫，如果学生一时难以理解，那就让他在以后的学习中继续感悟、探究，直至理解或掌握该知识点为止。