九上数学复习提纲.docx

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九上数学复习提纲

九年级数学复习提纲一元二次方程第二十一章一元二次方程21.1次的整式方程叫做一元二次方程。

2在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是

（1）一元二次方程有四个特点：

要是整式方程．（3）；2且未知数次数最高次数是

（2）只含有一个未知数；判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理22）4（则这个方程就为一元二次方程．+bx+c=0（a≠0）的形式，ax为+bx+c=0ax将方程化为一般形式：

时，应满足（a≠0）降次——解一元二次方程21.2解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：

、直接开平方法：

1x=±m.m）2=n（n≥0）的方程，其解为（x-用直接开平方法解形如.通常用根号表示其运算结果.直接开平方法就是平方的逆运算、配方法2通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

转化：

1.即一元二次方程的一般形式）（的形式ax^2+bx+c=0将此一元二次方程化为1将二次项系数化为：

1系数化2.移项：

3.将常数项移到等号右侧等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方配方：

4.将等号左边的代数式写成完全平方形式变形：

5.左右同时开平方开方：

6.整理即可得到原方程的根求解：

7.、公式法3时，把各4ac≥0b2-的值，当=b2-4ac公式法：

把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△的值代入求根公式a,b,c项系数4ac≥0）就可得到方程的根。

x=（b2-因式分解法：

把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

实际问题与一元二次方程21.319/1

列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．二次函数第二十二章二次函数及其图像22.1）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示quadraticfunction二次函数（2轴的抛物线。

y。

其图像是一条主轴平行于0）不为+bx+c（ay=ax为之间存在如下关系：

y和因变量x一般的，自变量2；（b2-4ac）/4a），（-b/2a，顶点坐标为）为常数c、b+bx+c（a≠0,a、y=ax一般式顶点式２2+k（a≠0,a、y=a（x-h））k，h（顶点坐标为，）为常数k、h+k（a≠0,a、y=a（x-h）或）为常数k、h２的图像相同，有时题目会指出让你ax，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝x=h对称轴为用配方法把一般式化成顶点式；交点式；]）的抛物线0，x（B）和0，x（A轴有交点x仅限于与）[）（x-xy=a（x-x2121时，a<0开口方向向上，时，a>0决定函数的开口方向，a且a≠0，为常数，c，b，a重要概念：

的绝对值越小开口就,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值还可以决定开口大小a开口方向向下。

越大。

2在平面直角坐标系中作出二次函数的平方的图像，y=x可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

轴对称。

x=-b/2a抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线1.对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点y时，抛物线的对称轴是b=0特别地，当。

P）x=0轴（即直线顶点2）/4a）4ac-b，P（-b/2a，坐标为P抛物线有一个顶点2.2-b/2a=0当轴上。

x在P时，-4ac=0=bΔ轴上；当y在P时，19/2

开口决定抛物线的开口方向和大小。

a二次项系数3.＜a时，抛物线向上开口；当0＞a当时，抛物线向下开口。

0越大，则抛物线的开口越小。

|a|决定对称轴位置的因素共同决定对称轴的位置。

a和二次项系数b一次项系数4.也就是，0因为若对称轴在左边则对称轴小于轴左；y对称轴在，）0＞ab（即同号时b与a当要同号b、a，所以0要大于b/2a所以-b/2a<0,＜ab异号时（即b与a当-，也就是0轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于y，对称轴在）0要异号b、a，所以0要小于b/2a所以b/2a>0,异号时b与a轴左；当y，对称轴在）0＞ab同号时（即b与a可简单记忆为左同右异，即当轴右。

y，对称轴在）0＜ab（即轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次y有其自身的几何意义：

抛物线与b事实上，函数）的的值。

可通过对二次函数求导得到。

k斜率轴交点的因素y决定抛物线与轴交点。

y决定抛物线与c常数项5.抛物线与）c，0轴交于（y轴交点个数x抛物线与轴交点个数x抛物线与6.22个交1轴有x时，抛物线与-4ac=0=bΔ个交点。

2轴有x时，抛物线与0＞-4ac=bΔ点。

2轴没有交点。

x时，抛物线与0＜-4ac=bΔ处取得最小值x=-b/2a时，函数在a>0当处取得最大值x=-b/2a时，函数在a<0当,轴，y时，抛物线的对称轴是b=0当特殊值的形式7.y=4a+2b+c时x=2③当y=a-b+c时x=-1②当y=a+b+c１时x=①当x=-2④当y=4a-2b+c时用函数观点看一元二次方程2cbxaxyxxx如果抛物线1.时，函数的，那么当轴有公共点，公共点的横坐标是x与00xx20cbxax的一个根。

就是方程，因此0值是0轴的位置关系有三种：

没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。

这对x二次函数的图象与2.应着一元二次方程根的三种情况：

没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

19/3

实际问题与二次函数在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

旋转第二十三章图形的旋转23.1图形的旋转1.）定义：

在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样1（的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。

）2（秒针的转动，分针、如时钟的时针、一类是物体的旋转运动，生活中的旋转现象大致有两大类：

风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。

）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图3（形上也可以在图形外。

）会找对应点，对应线段和对应角。

4（旋转的基本特征：

2.）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

1（（）图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；2）图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。

3（几点说明：

3.）在理解旋转特征时，首先要对照图形，找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。

1（）旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。

2（）旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没3（有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。

中心对称23.2°，假如它能够与另一个图形重合，那么这刘遇图形关180中心对称：

把一个图形绕着某一点旋转于这个点对称或中心对称。

中心对称的性质：

①关于中心对称的刘遇图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。

②关于中心对称的刘遇图形是全等形。

°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，180中心对称图形：

把一个图形绕着某一个点旋转那么这个图形叫做中心对称图形。

轴对称：

横坐标y轴对称：

横坐标不变，纵坐标互为相反数，②关于x对称点的坐标规律：

①关于互为相反数，纵坐标不变，③关于原点对称：

横坐标、纵坐标都互为相反数。

19/4

图案设计课题学习23.3灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计．把基本图形组成具有一定意义的新）平移、旋转、轴对称或几种的组合（图案设计就是通过图形变换图形，图案设计时不仅要看是否正确使用了图形变换，还要看图案是否很好的体现了设计意图．圆第二十四章圆24.11（定义：

）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

°，留下的轨迹叫圆。

360平面上一条线段，绕它的一端旋转2）（）中，该定点为圆心1）如定义（1（圆心：

2）如定义（2（）中，绕的那一端的端点为圆心。

）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

3（垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

）4（表示O注：

圆心一般用字母d直径：

通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。

直径一般用字母表示。

表示。

r半径：

连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。

半径一般用字母圆的直径和半径都有无数条。

圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。

在同圆或。

d二分之r=或.d=2r倍，半径是直径的二分之一2等圆中：

直径是半径的圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

表示。

C圆的周长：

围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

，（无理数）它是一个无限不循环小数把它叫做圆周率，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，。

3.14≈π表示。

计算时，通常取它的近似值，π用字母°的圆周角所对的弦是直径。

90直径所对的圆周角是直角。

表示。

S，用字母r^2π圆的面积公式：

圆所占平面的大小叫做圆的面积。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

周长计算公式D=c\、已知周长：

3rπC=2、已知半径：

2dπC=、已知直径：

1.π直径+周长1\2、半圆的长：

5）曲线（周长:

1\2、圆周长的一半419/5

面积计算公式：

d\2（πS=、已知直径：

2平方rπS=、已知半径：

1平）π（c\2πS=、已知周长：

3）平方方点、直线、圆和圆的位置关系24.2点和圆的位置关系1.点到圆心的距离小于半径点在圆内①点到圆心的距离等于半径点在圆上②过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2.点到圆心的距离大于半径点在圆外③外接圆和外心3.经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

直线和圆的位置关系4.相交：

直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

相切：

直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

相离：

直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。

直线和圆位置关系的性质和判定5.ld的距离为到直线O，圆心r的半径为O如果⊙，那么llldrdrdr相切O和⊙直线；②相交O和⊙直线①。

相离O和⊙直线；③圆和圆定义：

两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。

两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。

两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。

两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。

两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。

原理：

圆心距和半径的数量关系：

d=R+r两圆外切＜＝＞R+r＞d两圆外离＜＝＞＝R-r两圆相交＜＝＞d=R-r（R>r）两圆内切＜＝＞r）dr）两圆内含＜＝＞正多边形和圆24.3、正多边形的概念：

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

119/6

、正多边形与圆的关系：

2，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接）可以借助量角器（等分3）≥n（n将一个圆

（1）正多边形。

这个圆是这个正多边形的外接圆。

（2）、正多边形的有关概念：

3正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。

（1）正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。

（2）正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。

（3）正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。

（4）、正多边形性质：

4任何正多边形都有一个外接圆。

（1）n边形的对称轴有n正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正

（2）条。

边数相同的正多边形相似。

（3）重点：

正多边形的有关计算。

知识讲解、正多边形定义：

各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

1条边，那么，这n、正六边形等等。

如果一个正多边形有）正方形（例如：

正三角形、正四边形n个多边形叫正边形。

再如：

矩形不是正多边形，因为它只具有各角相等，而各边不一定相等；菱形不是正多边形，因为，它只具有各边相等，而各角不一定相等。

、正多边形与圆的关系。

2等份，依次连结分点所得的多边形是这个圆的内3）≥n（n正多边形与圆有密切关系，把圆分成n接正边形。

）多边形的每个内角（相邻两弦所夹的角相等，）正多边形的边（则所对的弦相邻分点间的弧相等，都相等，从而得出，所连的多边形满足了所有边都相等，所有内角都相等，从而这个多边形就是正多边形。

6如：

将圆。

FA＝EF＝DE＝CD＝BC＝AB，则等分，即19/7

C＝∠B＝∠A所对的弧可以发现都是相等的弧，所以，∠F、∠E、∠D、∠C、∠B、∠A观察∠＝∠D＝∠。

F＝∠E的内接正六边形。

O等分，依次连结各分点所得到的是⊙6所以，将一个圆、正多边形的有关计算。

3——就是R，正多边形的半径O首先要明确与正多边形计算的有关概念：

即正多边形的中心

（1）nr其外接圆的半径，正多边形的边心距。

a，正多边形的边长α，正多边形的中心角nnn边n等腰三角形的顶角就是正个全等的等腰三角形，n边形分成n条半径把正n边形的n正

（2）边形各边的边心距，这些边心距又把这n；如果再作出正形的中心角都等于个等腰三角形分n个全等的直角三角形。

2n成了的基本元素：

AOMΔRt„„根据以上讲解，我们来分析ABCD边形n如图：

是一个正R边形的半径n——正OA斜边；n；r边形的边心距n——正OM一条直角边n；a＝AM的一半即a边形的边长n——正AM一条直角边nn；＝AOM的一半即∠α边形的中心角n——正AOM锐角∠n－[（n＝OAM边形内角的一半即∠n——正OAM锐角∠；]°180²2）边形的各元素。

n可以看到在这个直角三角形中的各元素恰好反映了正边形的有关计算归纳为解直角三角形的问题。

n因此，就可以把正、正多边形的有关作图。

4使用量角器来等分圆。

（1））即等分顶点在圆心的周角（由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角边形。

n可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正用尺规来等分圆。

（2）边形，还可以用圆规和直尺作出图形。

n对于一些特殊的正19/8

①正四、八边形。

再逐次平等份，从而作出正四边形。

4中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成O在⊙边数逐次倍增正十六边形等，就可作出正八边形、E）于的平分线交AOB即作∠（分各边所对的弧的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

，AB中，任画一条直径O通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙和D、C相交于O的半径为半径画弧与⊙O为圆心，以⊙B、A分别以是D、F、B、E、C、A，则F、E等分点。

6的O⊙、A显然，等分点。

3的O是⊙D）、B、C或F（、E等分„„。

O12中平分每条边所对的弧，就可把⊙（3）同样，在图5、正多边形的对称性。

边形的中心，n每条对称轴都通过正条对称轴，n边形共有n一个正正多边形都是轴对称图形，如果正多边形有偶数条边，那么，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

正三角形、正方形。

如：

弧长和扇形面积24.4、弧长公式1知识点°的圆心角所对的弧长是1，所以R2＝C°的圆心角所对的弧长就是圆周长360因为，的计算公式：

l°的圆心角所对的弧长n的圆中，R，于是可得半径为，例如，圆都不带单位“度”180和n°的圆心角的倍数，1表示n）在弧长公式中，1（说明：

。

时，不要错写成l°的圆心角所对的弧长20，计算10＝R的半径2（中的任意两个量，都可以求出第三个量。

R，n，l）在弧长公式中，已知、扇形的面积2知识点19/9

°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在n，圆心角为R如图所示，阴影部分的面积就是半径为°的扇形面积1所以圆心角为，°的扇形面积等于圆面积360因为圆心角是圆的面积的一部分，。

°的扇形面积的计算公式是n，由此得圆心角为是，所以又得到扇形面积的另一，扇形面积又因为扇形的弧长个计算公式：

。

、弓形的面积3知识点）弓形的定义：

由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。

1（）弓形的周长＝弦长＋弧长2（）弓形的面积3（OAmB只要把扇形从图中可以看出，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，如图所示，AmB的面积计算出来，就可以得到弓形AOB的面积和△的面积。

所示，1当弓形所含的弧是劣弧时，如图所示，2当弓形所含的弧是优弧时，如图所示，3当弓形所含的弧是半圆时，如图）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

1注意：

（扇形面积圆面积弧长圆周长公式）扇形与弓形的联系与区别2（）扇形与弓形的联系与区别2（19/10

图示面积、圆锥的侧面积4知识点，那么这个r，底面圆的半径为l圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为，圆锥的全面积，圆锥的侧面积2，扇形的弧长为l扇形的半径为）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

1说明：

（）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥2（全面积与侧面积之间的关系。

、圆柱的侧面积5知识点圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆，圆柱的全面积，则圆柱的侧面积h，高为r柱的底面半径为知识小结：

圆锥与圆柱的比较圆柱圆锥名称图形19/11

ABCD如矩形由一个矩形旋转得到的，由一个直角三角形旋转得到图形的形成过程旋转一周。

AB绕直线旋SO绕直线SOA△Rt的，如转一周。

两个底面和一个侧面一个底面和一个侧面图形的组成矩形扇形侧面展开图的特征面积计算方法概率初步第二十五章随机事件与概率25.1．随机试验与样本空间1具有下列三个特性的试验称为随机试验：

²试验可以在相同的条件下重复地进行；

（1）每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；

（2）每次试验前不能确定哪一个结果会出现．（3）ee称为样表示，表示，其中的每一个结果用试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用{}e．本空间中的样本点，记作．随机事件2在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事）记作（与不可能事件）记作（．通常把必然事件简称事件）（情称为随机事件看作特殊的随机事件．．频率与概率的定义3频率的定义

（1））A（fnn记作发生的频率，A称为随机事件n／则比值，次，次重复试验中发生了n在A设随机事件nAAnA）A（fnn即.概率的统计定义

（2））A（f在频率很大时，n即当试验次数发生的频率具有稳定性，A随机事件在进行大量重复试验中，np）A（Pppp一个稳定的值．为概率，即发生的频率的稳定值A附近摆动，规定事件<1）（0<古典概率的定义（3）：

古典概型具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为}e,,e,e{试验的样本空间（i）;是个有限集，不妨记作n2119/12

en,1,2,i）出现的概率相同，即（在每次试验中，每个样本点（ii）i}）e（{PP}）e（{P}）e（{．2n1的概率为A在古典概型中，规定事件n中所含样本点的个数AAA（P）n中所含样本点的个数．几何概率的定义（4），且样本空间中）可以是直线上的区间、平面或空间中的区域（如果随机试验的样本空间是一个区域每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为的长度（或面积、体积）A）A（P样本空间的的长度（或面积、体积）²用列举法求概率25.2、当一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，可以用被1关注的结果在全部试验结果中所占的比分析出事件中该结果发生的概率，此时可采用列举法．、列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法．但有时一一列举出的情况数目很2.大，此时需要考虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的数目、利用列表法或树形图法求概率的关键是：

①注意各种情况出现的可能性务必相同；②其中3某一事件发生的次数；③在考查各种情况出现的次数和某一事件发生的次某一事件发生的概率各种情况出现的次数数时不能重复也不能遗漏；、用列表法或树形图法求得的概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到实验次数4的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率。

用频率估计概率25.3随着试验次数的增加，在做大量重复试验时，一个随机事件出现的频率应该稳定于该事件发生的概率。

事件发生的频率与概率既有区别又有联系：

事件发生的频率不一定相同，是个变数，而事件发生的概率是个常数；但它们之间又有密切的联系，随着试验次数的增加，频率越来越稳定于概率。

但可能无论做虽然多次试验结果的频率逐渐稳定于概率，大家往往发现：

在具体操作过程中，多少次试验，两者之间存在着一定的偏差。

应该注意：

这种偏差的存在是经常的，并且是正常的。

另外，由于受到某些因素的影响，通过试验得到的估计结果往往不太理想，甚至有可能出现极端情况，此时我们应正确地看待这样的结果并尝试着对结果进行合理的解释。

对试验结果的频率与理论19/13

概率的偏差的理解也是形成随机观念的一个重要环节。

在实际应用中，当试验次数越大时，出现极端情况的可能性就越小。

因此，我们常常通过做大量重复试验来获得事件发生的频率，并用它作为概率的估计值。

试验次数越多，得到的估计结果就越可靠。

反比例函数第二十六章反比例函数的定义1知识点26.1k0ky）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理为常数，k（一般地，形如x解：

的反比例函数；x是y是自变量，x⑴0x0y；的一切实数，函数值的取值范围是的取值范围是x⑵自变量0k⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：

k0ky，）（①x10kkxy（②，）0