江苏专用版高考数学大一轮复习集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教师用书文.docx
《江苏专用版高考数学大一轮复习集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教师用书文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏专用版高考数学大一轮复习集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教师用书文.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
江苏专用版高考数学大一轮复习集合与常用逻辑用语13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教师用书文
1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
量词名词
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
3.全称命题和存在性命题
命题名称
命题结构
命题简记
全称命题
对M中任意一个x，有p（x）成立
∀x∈M，p（x）
存在性命题
存在M中的一个x，使p（x）成立
∃x∈M，p（x）
4.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p（x）
∃x∈M，綈p（x）
∃x∈M，p（x）
∀x∈M，綈p（x）
【知识拓展】
1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
（1）p∨q：
p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；
（2）p∧q：
p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；
（3）綈p：
与p的真假相反，即一真一假，真假相反.
2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题.（ × ）
（2）命题p和綈p不可能都是真命题.（ √ ）
（3）若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.（ √ ）
（4）命题綈（p∧q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.（ × ）
（5）“长方形的对角线相等”是存在性命题.（ × ）
（6）命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.（ × ）
1.（2016·江苏泰州中学月考）命题“∃x>－1，x2＋x－2016>0”的否定是______________.
答案 ∀x>－1，x2＋x－2016≤0
解析 命题“∃x>－1，x2＋x－2016>0”的否定是“∀x>－1，x2＋x－2016≤0”.
2.已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的______________条件.
答案 充分不必要
解析 綈p为真知p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.
3.（教材改编）若不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，则a的取值范围是________.
答案 a>1
解析 方法一 不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，即不等式x2－2x＋a>0恒成立.
结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a<0，所以a>1.
方法二 不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，也可看作a>－x2＋2x对∀x∈R都成立，所以a>（－x2＋2x）max，而二次函数f（x）＝－x2＋2x的最大值为
＝1，所以a>1.
4.已知实数a满足1y＝loga（2－ax）在[0,1]上是减函数，命题q：
|x|<1是x①p∨q为真；②p∧q为假；③（綈p）∧q为真；④（綈p）∧（綈q）为假.其中正确的命题是________.
答案 ①④
解析 由y＝loga（2－ax）在[0,1]上是减函数，得a>1且2－a>0，即15.（2015·山东）若“∀x∈
，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
答案 1
解析 ∵函数y＝tanx在
上是增函数，
∴ymax＝tan
＝1.
依题意，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1
（1）已知命题p：
对任意x∈R，总有2x>0；q：
“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是________.（填序号）
①p∧q②（綈p）∧（綈q）
③（綈p）∧q④p∧（綈q）
（2）（2016·盐城模拟）若命题“p∨q”是真命题，“綈p为真命题”，则p________，q________.（填“真”或“假”）
答案
（1）④
（2）假 真
解析
（1）∵p是真命题，q是假命题，
∴p∧（綈q）是真命题.
（2）∵綈p为真命题，∴p为假命题，
又∵p∨q为真命题，∴q为真命题.
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
（1）确定命题的构成形式；
（2）判断其中命题p、q的真假；
（3）确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.
已知命题p：
若x>y，则－x<－y；命题q：
若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（綈q）；④（綈p）∨q中，真命题是________.
答案 ②③
解析 当x>y时，－x<－y，
故命题p为真命题，从而綈p为假命题.
当x>y时，x2>y2不一定成立，
故命题q为假命题，从而綈q为真命题.
由真值表知：
①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（綈q）为真命题；④（綈p）∨q为假命题.
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、存在性命题的真假
例2
（1）（2016·宿迁模拟）命题p：
∃x∈N，x3∀a∈（0,1）∪（1，＋∞），函数f（x）＝loga（x－1）的图象过点（2,0），则p______，q______.（填“真”或“假”）
（2）已知命题p：
∀x∈R,2x<3x；命题q：
∃x0∈R，x
＝1－x
，则下列命题中为真命题的是________.（填序号）
①p∧q②（綈p）∧q
③p∧（綈q）④（綈p）∧（綈q）
答案
（1）假 真
（2）②
解析
（1）∵x3∴x<0或0在这个范围内没有自然数，命题p为假命题.
∵f（x）的图象过点（2,0），∴loga1＝0，
对∀a∈（0,1）∪（1，＋∞）的值均成立.命题q为真命题.
（2）容易判断当x≤0时2x≥3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题.根据真值表易判断（綈p）∧q为真命题.
命题点2 含一个量词的命题的否定
例3
（1）命题“∃x∈R，使得x2≥0”的否定为________________.
（2）（2015·浙江改编）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是_________________.
答案
（1）∀x∈R，都有x2<0
（2）∃n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
解析
（1）将“∃”改为“∀”，对结论中的“≥”进行否定.
（2）由全称命题与存在性命题之间的互化关系可知.
思维升华
（1）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x，使p（x）成立.
（2）对全称、存在性命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词.
②对原命题的结论进行否定.
下列命题的否定为假命题的是________.（填序号）
①∀x∈R，－x2＋x－1<0；
②∀x∈R，|x|>x；
③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；
④∀x∈R，sin2x＋sinx＋1＝0.
答案 ①
解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题.
题型三 求含参数命题中参数的取值范围
例4
（1）已知命题p：
关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：
关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞）上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________.
（2）已知f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝（
）x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是__________.
答案
（1）[－12，－4]∪[4，＋∞）
（2）[
，＋∞）
解析
（1）若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，
即a≤－4或a≥4；
若命题q是真命题，则－
≤3，即a≥－12.
∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，
∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞）.
（2）当x∈[0,3]时，f（x）min＝f（0）＝0，当x∈[1,2]时，
g（x）min＝g
（2）＝
－m，由f（x）min≥g（x）min，
得0≥
－m，所以m≥
.
引申探究
在例4
（2）中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.
答案 [
，＋∞）
解析 当x∈[1,2]时，g（x）max＝g
（1）＝
－m，
由f（x）min≥g（x）max，得0≥
－m，∴m≥
.
思维升华
（1）已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；
（2）含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决.
（1）已知命题p：
“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：
“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是____________.
（2）已知函数f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f（x1）>g（x2）恒成立，则实数m的取值范围是________________.
答案
（1）[e,4]
（2）（－∞，0）
解析
（1）由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.
（2）f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，
当x∈[1,4]时，f（x）min＝f
（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，则f（x）min>g（x）max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是（－∞，0）.
1.常用逻辑用语
考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系.
一、命题的真假判断
典例1
（1）已知命题p：
∃x0∈R，x
＋1<2x0；命题q：
若mx2－mx－1<0恒成立，则－4①綈p为假命题
②q为真命题
③p∨q为假命题
④p∧q为真命题
（2）下列命题中错误的个数为________.
①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；
②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；
③命题p：
∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：
∀x∈R，x2＋x－1≥0；
④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”.
解析
（1）由于x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，
即x2＋1≥2x，所以p为假命题；
对于命题q，当m＝0时，－1<0恒成立，
所以命题q为假命题.
综上可知，綈p为真命题，p∧q为假命题，p∨q为假命题.
（2）对于①，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p∧q不一定为真命题，所以①错误；对于②，由x2－4x－5>0可得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据存在性命题的否定为全称命题，可知③正确；对于④，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2.
答案
（1）③
（2）2
二、求参数的取值范围
典例2
（1）已知p：
x≥k，q：
<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是__________.
（2）已知函数f（x）＝x＋
，g（x）＝2x＋a，若∀x1∈[
，3]，∃x2∈[2,3]使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是__________.
解析
（1）由
<1，得
－1＝
<0，
即（x－2）（x＋1）>0，解得x<－1或x>2，
由p是q的充分不必要条件，知k>2.
（2）∵x∈[
，3]，∴f（x）≥2
＝4，当且仅当x＝2时，f（x）min＝4，当x∈[2,3]时，g（x）min＝22＋a＝4＋a，依题意f（x）min≥g（x）min，∴a≤0.
答案
（1）（2，＋∞）
（2）（－∞，0]
三、利用逻辑推理解决实际问题
典例3
（1）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：
我没去过C城市；
丙说：
我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
（2）对于中国足球队参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：
甲：
中国非第一名，也非第二名；
乙：
中国非第一名，而是第三名；
丙：
中国非第三名，而是第一名.
竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名.
解析
（1）由题意可推断：
甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过A城市，由此可知，乙去过的城市为A.
（2）由题意可知：
甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名.
答案
（1）A
（2）一
1.命题p：
若sinx>siny，则x>y；命题q：
x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是________.（填序号）
①p∨q②p∧q
③q④綈p
答案 ②
解析 命题p假，q真，故命题p∧q为假命题.
2.已知命题“∃x∈R，使2x2＋（a－1）x＋
≤0”是假命题，则实数a的取值范围是__________.
答案 （－1,3）
解析 依题意可知“∀x∈R,2x2＋（a－1）x＋
>0”为真命题，所以Δ＝（a－1）2－4×2×
<0，即（a＋1）（a－3）<0，解得－13.（2016·淮安模拟）已知命题p：
∃x∈R，log2（3x＋1）≤0，则下列说法正确的是________.
①p是假命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）≤0；
②p是假命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）>0；
③p是真命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）≤0；
④p是真命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）>0.
答案 ②
解析 ∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2（3x＋1）>0，
∴p是假命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）>0.
4.已知p：
∀x∈R，x2－x＋1>0，q：
∃x0∈（0，＋∞），sinx0>1，则下列命题为真命题的是________.（填序号）
①p∨（綈q）②（綈p）∨q
③p∧q④（綈p）∧（綈q）
答案 ①
解析 因为x2－x＋1＝（x－
）2＋
>0恒成立，所以命题p是真命题；∀x∈R，sinx≤1，所以命题q是假命题，所以p∨（綈q）是真命题.
5.（2016·泰州期末）若命题“∃x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________.
答案 （2，＋∞）
解析 “∃x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则其否定“∀x∈R，ax2＋4x＋a>0”为真命题，当a＝0,4x>0不恒成立，故不成立；当a≠0时，
解得a>2，所以实数a的取值范围是（2，＋∞）.
6.（2016·南京模拟）已知命题p：
∀x∈R，x3∃x∈R，sinx－cosx＝－
，则下列命题中为真命题的是________.（填序号）
①p∧q②（綈p）∧q
③p∧（綈q）④（綈p）∧（綈q）
答案 ②
解析 若x31，∴命题p为假命题；
若sinx－cosx＝
sin（x－
）＝－
，
则x－
＝
＋2kπ（k∈Z），即x＝
＋2kπ（k∈Z），
∴命题q为真命题，∴（綈p）∧q为真命题.
7.（2017·江苏淮安中学月考）已知命题：
“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”是真命题，则a的取值范围是________.
答案 [－8，＋∞）
解析 由已知得，∃x∈[1,2]，使a≥－x2－2x成立；若记f（x）＝－x2－2x（1≤x≤2），则a≥f（x）min.而结合二次函数f（x）＝－x2－2x（1≤x≤2）的图象得f（x）的最小值为f
（2）＝－22－2×2＝－8，所以a≥－8.
8.设p：
方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：
方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根.则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是__________.
答案 （－∞，－2]∪[－1,3）
解析 p：
x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根，
即m＜－1.
q：
x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根，
Δ＝[2（m－2）]2－4（－3m＋10）＝4（m2－m－6）＜0，
即－2＜m＜3.
分两种情况：
①p真q假，m≤－2；②p假q真，－1≤m＜3.
综上可知，使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是（－∞，－2]∪[－1,3）.
9.下列命题中的假命题是________.（填序号）
①∀x∈R,2x－1>0②∀x∈N*，（x－1）2>0
③∃x0∈R，lgx0<1④∃x0∈R，tan
＝5
答案 ②
解析 ①中，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；②中，∵x∈N*，∴当x＝1时，（x－1）2＝0与（x－1）2>0矛盾；③中，当x0＝
时，lg
＝－1<1；④中，当x∈R时，tanx∈R，∴∃x0∈R，tan
＝5.
10.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：
∀x∈A,2x∈B，则綈p为______________.
答案 ∃x∈A,2x∉B
解析 命题p：
∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为存在性命题.
∴綈p：
∃x∈A,2x∉B.
11.已知函数f（x）＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈（0,1），f（x）≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________.
答案 （
，1）∪（1，＋∞）
解析 ∵函数f（x）＝a2x－2a＋1，
命题“∀x∈（0,1），f（x）≠0”是假命题，
∴原命题的否定是：
“∃x∈（0,1），使f（x）＝0”是真命题，∴f
（1）f（0）<0，即（a2－2a＋1）（－2a＋1）<0，
∴（a－1）2（2a－1）>0，解得a>
，且a≠1，
∴实数a的取值范围是（
，1）∪（1，＋∞）.
12.已知命题p：
x2＋2x－3>0；命题q：
>1，若“（綈q）∧p”为真，则x的取值范围是________________.
答案 （－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）
解析 因为“（綈q）∧p”为真，即q假p真，而q为真命题时，
<0，即20，解得x>1或x<－3，由
得x≥3或1＜x≤2或x<－3，
所以x的取值范围是{x|x≥3或1＜x≤2或x＜－3}.
13.（2016·连云港模拟）已知命题p：
∃x0∈R，（m＋1）·（x
＋1）≤0，命题q：
∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________.
答案 （－∞，－2]∪（－1，＋∞）
解析 由命题p：
∃x0∈R，（m＋1）（x
＋1）≤0可得m≤－1，由命题q：
∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2－1.
14.已知命题p：
“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.
答案 （－∞，1]
解析 若綈p是假命题，则p是真命题，
即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，
由于m＝－（4x－2·2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，
∴m≤1.
15.已知函数f（x）＝
（x≥2），g（x）＝ax（a>1，x≥2）.
（1）若∃x0∈[2，＋∞），使f（x0）＝m成立，则实数m的取值范围为________________；
（2）若∀x1∈[2，＋∞），∃x2∈[2,＋∞）使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围为________________.
答案
（1）[3，＋∞）
（2）（1，
]
解析
（1）因为f（x）＝
＝x＋
＝x－1＋
＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以若∃x0∈[2，＋∞），使f（x0）＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞）.
（2）因为当x≥2时，f（x）≥3，g（x）≥a2，若∀x1∈[2，＋∞），∃x2∈[2，＋∞）使得f（x1）＝g（x2），则
解得a∈（1，
].
升级会员 