故障诊断与容错基于模型和基于信号的方法.docx
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故障诊断与容错基于模型和基于信号的方法
故障诊断与容错技术概述——第一部分：
基于模型和信号的故障诊断技术
引言：
随着工业系统复杂性和费用的不断增加，不能容忍性能下降、生产率降低和安全隐患这些必须尽早的检测和识别出异常和故障的存在，并采取实时的故障容错操作尽量降低性能的下降避免危险情况出现。
在过去40年里，关于故障诊断和容错技术的丰硕的研究成果被报道出来并应用到各种工程系统中。
这三部分的调查目的在于给出实时故障诊断和容错技术的全面的回顾，对过去十年的成果进行重点关注。
在本文中，全面回顾关于基于模型和信号处理的故障诊断方法和应用。
关键词：
冗余分析；故障容错；基于模型的的故障诊断；实时监测；基于信号的故障诊断；
Part
介绍
众所周知，许多工程系统，例如航空发动机、车辆动力学、化学工艺、制造系统、电力网络、电气设备、风力发电转换系统以及工业电子设备是安全关键系统。
工业系统对潜在过程异常和部件故障的安全和可靠性的要求不断提升。
因此，尽早的检测和识别出任何类型的故障和潜在异常并采取容错操作以降低性能下降避免危险情况的出现十分重要。
故障被定义为系统的至少一个特征属性或参数从可接受的/平常的/标准的状态出现一个不受约束（原文：
unpermitted）的偏差。
类似的故障例如，执行器阻塞、传感器失效或者一个系统失去连接。
因此通常故障常被分为执行器故障、传感器故障以及设备故障（或者称为组件故障或参数故障），这些故障会打断系统的控制器对系统部件的控制行为或者产生大量的测量误差或者直接改变系统的动态输入输出属性，从而导致系统的性能下降甚至使整个系统崩溃或损坏。
为了提升所关心系统的可靠性，故障诊断通常通过使用冗余的概念用于监控、定位，并辨识故障，冗余通常可分为硬件冗余和软件冗余（或称为解析冗余）两种。
硬件冗余的基本思想是使用相同的输入信号分量，从而使得复制的输出信号可以进行比较，从而使用各种方法进行诊断，例如门限检查和多数表决等。
硬件冗余非常可靠，但是更加昂贵并且增加了设备重量和占用空间。
对于关键部件使用硬件冗余是必要的，但是对于成本以及系统体积重量严格限制的系统不适合整个系统使用硬件冗余。
随着现代控制理论的成熟，自1980年开始解析冗余技术已经成为故障诊断研究的主流，其原理图见图1所示。
输入u和输出y用于构造一个故障诊断算法，它可以用以检查实时处理的特征信息和由输出输出数据对先验知识的一致性，根据判断逻辑给出诊断结果。
与硬件冗余方法，解析冗余诊断方法更具成本效益，但是对环境更加具有挑战性，不可避免的会引来建模误差以及复杂的系统动力学和控制结构。
故障诊断包括三方面的任务，分别是：
故障检测、故障隔离以及故障辨识。
故障检测是最基本的任务，它将用于检验系统是否存在故障，并给出系统出现故障的时间。
故障隔离是指定位出故障部件位置，故障辨识是指给出故障类型、状态以及程度。
显然，确定故障部件的位置以及故障的类型，状态和严重程度对于系统采取正确的故障容错相应和及时除去故障部件对系统正常运行的不利影响是至关重要的。
故障容错控制原理图如图2所示，故障容错与故障诊断实质上是一体的。
实时故障诊断可以发现系统是否出现故障、哪里出现了故障以及故障的严重程度如何。
基于以上有价值的故障信息，监控系统可以采取合适的故障容错措施比如通过补偿的方式抵消传感器或者执行器的偏差，调整或者重新配置控制器，甚至更换故障部件，以便消除故障对系统的不利影响。
在过去40年里，大量关于故障诊断方法、容错控制技术的研究成果被报道出来，它们并应用在大量不同的工程领域。
一些研究得到发表，见引用文献2~38，以下被分类总结在表1中。
特别的，在1976年Willsky提出了基于模型的解析冗余故障检测与诊断的重要概念见引文2。
应用广泛的奇偶空间法、基于观测器的方法以及基于参数估计的方法在引文3-9中被提出。
一个由三部分组成的故障诊断论文在2003年发表，提出基于定量模型，基于定性模型以及基于历史数据的方法引文10~12。
在论文13中一种结构化和整体化概述关于异常检测的方法被提出，即在数据中寻找异常的不符合预期行为的方法被提出，该方法具有广泛的应用，例如网络安全中的入侵检测，军事侦察敌军活动以及在安全关键系统的故障检测。
在引文14~16中提出全面的故障诊断方法是数据驱动的方法。
论文17提供了对于传感器网络的故障诊断方法。
随着故障诊断方法在各种过程和系统的应用，一些方法应用到采矿设备18，电动马达19-20，建筑系统22,23机械系统24,25以及群系统（包括拥有多个智能互联节点）26。
对于容错控制，在1991年有早期的综述性论文27提出，其中介绍了容错控制的基本概念，分析了人工智能（例如神经网络和专家系统）在容错控制系统中的适用性。
在1997年容错控制的观点从系统发展的角度被给出28。
同年，论文29对其作出了全面概述，提出了容错控制的关键问题以及该领域的现有技术。
可重构的容错控制系统被分别广泛的提出在论文30-32中。
一些非线性系统容错技术结果在论文33中被提出。
除了故障诊断，论文34和35分别提出了数据驱动的容错控制和基于模型的可重构容错控制。
从工业的观点出发，论文36回顾了电驱动系统，论文37和38回顾了电力电子系统的故障容错技术。
这三部分概述旨在为故障诊断和容错控制提供一个全面的概述，特别是基于前十年的研究成果。
一般的故障诊断方法可以被分为基于模型、基于信号、基于知识、混合（至少两种以上）的以及主动的故障诊断方法。
本文中回顾基于模型和信号的故障诊断方法。
基于知识的、混合的以及主动故障诊断方法将会在第二篇的第三部分进行介绍。
该文章的第二部分在引用日期的框架内旨在回顾现有的故障诊断方法和应用。
本文的其他安排如下，根据上文介绍，基于模型的方法第二部分进行介绍，第三部分介绍基于信号的方法。
第四部分是总结。
Part
基于模型的故障诊断方法
基于模型的故障诊断方法在1971年被Beard提出，目的是使用解析冗余取代硬件冗余，该技术进一步的在图书40和41中被详细描述。
在基于模型的方法中，工业过程或者实际使用系统，可以通过物理原理或者系统辨识来获取系统模型。
基于这个模型，故障诊断算法通过比较实际系统的测量输出和模型的预测输出来进行判断。
接下来分为四类来回顾基于模型的故障诊断方法：
确定故障诊断方法，随机性故障诊断方法，离散事件和混合系统故障诊断方法，分布式和网络系统故障诊断方法。
这四类模型被按使用方式进行分类。
A确定性故障诊断方法
在基于模型的确定性故障诊断方法中，对于被监控的系统或过程，观测器起着至关重要的作用。
基于观测器的故障诊断框架见图3所示，包括故障检测，故障隔离，故障辨识（或者称为故障复现或者故障估计）。
简单的说，上图中描述的模型是一个线性状态空间模型，可以用下列公式来描述：
其中，
分别为系统状态，控制输入，测量输出，未知的执行器故障，部件或者参数故障，传感器故障，过程干扰，测量噪声；
是已知的参数矩阵；
是未知的模型参数误差。
一个基于观测器的故障诊断滤波器由下式给出：
其中，
分别是状态估计和输出估计；
是系统残差；
是设计的观测器增益。
令
，那么频域的残差信号可以被描述为：
其中，
从上式可以看出，残差信号包括故障信号和干扰信号（建模误差、过程噪声、测量噪声）两部分。
所以，残差信号不仅对故障敏感，对干扰的鲁棒性也很差，所以可以设计观测器的增益在特定的频率范围内解决优化设计问题：
为了达到上式的目标，文献42中提出了故障诊断参数特征结构配置的方法，文献43进行了进一步的研究，其中观测器的增益K被配置成所描述的特征向量的函数；进而，最优参数K被转化为寻找最佳特征向量的问题。
最近基于特征结构分配的故障诊断方法已经被用到车辆44、燃气涡轮发动机45、航天器46以及风力涡轮系统47。
或者，上式提出的多目标优化问题可以通过线性矩阵不等式（LMI）来描述，该方法由于其在各种动态系统的广泛应用而逐渐成为故障诊断的流形方法。
最近发展起来的基于线性矩阵不等式的故障诊断方法被应用到各种系统中，例如李氏非线性系统48、TS模糊非线性系统49,50、时滞系统51、交换系统52以及应用结构损伤检测53和轴裂纹检测54。
许多基于观测器的残差一般是为了要求实现故障隔离。
一个和自然的想法就是让残差信号对某一类故障相关的信号敏感而对其他故障信号、干扰、模型误差有鲁棒性，这就是所谓的结构残差故障隔离4。
替代故障隔离逻辑就是使残差信号对除了一个故障敏感外的所有建模误差和干扰敏感，这就是所谓的基于广义的残差故障隔离5。
最近关于非线性系统的故障隔离的鲁棒性研究被应用到各种系统中例如航空发动机57，机器人操控器58，锂电子电池59,。
这些未知输入观测器由文献60提出，是通过在解耦输入干扰、建模误差以及其它故障信号相应的残差，是另一个故障隔离工具。
最近基于未知输入的故障隔离技术被延伸到非线性系统61,62，并应用于飞机系统63，电感马达64以及污水处理厂65。
故障辨识（或者称为故障再现/故障估计）是指的确定故障相关的类型、严重程度以及状态，这些将作为容错操作的重要信息。
先进的观测技术，例如比例积分观测器66,67、比例多积分观测器68,68,70、自适应观测器71,72,73、滑模观测器74,75、广义观测器76,77等经常被应用于故障估计与重构。
这些观测器的实质就是通过引入有关故障作为一个附加状态和扩展状态向量从而构建一个增强系统而后进行估计，这就导致了估计的有关故障信号和原系统状态在一起了。
因此，这些先进的估计器也被称为同时状态和故障观测器。
上述的advancedobserver技术对于缓变递增故障（PIandPMI）、参数缓变故障（自适应观测器）、具有正弦波形的执行器故障（滑模观测器）以及高频传感器故障（系统描述方法）重建具有很大优势。
上述方法经过整合综合来解决工程问题。
例如在文献78中，积分观测器、滑模观测器和自适应观测器来重建卫星控制系统中的传感器故障。
在文献79中，PI观测器和广义观测器技术集成到航空发动机系统的故障参数估计中。
另一个著名的基于模型的故障诊断方法奇偶校验关系法，在80年代初得到发展，见文献80,81。
奇偶关系的方法是产生残差（奇偶向量），它被用来检测模型和过程输出之间的一致性。
奇偶关系法可以应用于时域状态空间模型或者频域的输入输出模型，这些应用在著作40,41,82中有详细介绍。
最近，奇偶关系的方法被拓展应用到故障诊断和更加更复杂的模型中，例如TS模糊非线性系统83和模糊树模型84，还被应用到各种工业系统中，例如飞机控制表面执行器85和机电制动系统86。
稳定分解法是频域的故障方法，是在1987年被提出87，并在1990年得到进一步的扩展88。
其基思想是生成一个基于监控系统稳定互质分解转移函数矩阵的残差，通过选择最佳的加权系数使传递函数矩阵对故障敏感而对干扰具有鲁棒性。
最近关于稳定分解法的发展研究可以见文献89，使用到非线性系统中，文献90和91是将该方法分别应用到自动平衡两轮车和热过程的例子。
值得指出的是奇偶校验方法和稳定函数法都和观测器有些联系。
例如，奇偶校验关系的方法等同于使用无差拍观测器，互质银饰分解法实现包括了观测器增益的设计（与状态反馈增益一起）。
B随机性故障诊断方法
与确定性系统的故障诊断方法一同发展起来的随机方法也早在1970年就得到了发展。
应通常的故障检测诊断方法在文献92中首先被提出，通过统计测试使用类似观测器结构的卡尔曼滤波器生成的剩余误差（或称新息）的白度、均值和残差的协方差进行故障诊断。
许多统计工具，如广义似然93、
测试94、积累和算法95、多重假设检验算法96等被进行拓展通过测试来检验基于卡尔曼滤波器生成的残差的发生故障的可能性。
通过更进一步的研究，出现了几个改进性的卡尔曼滤波器技术用于故障诊断，如扩展卡尔曼滤波器、无迹卡尔曼滤波器、自适应卡尔曼滤波器和增强状态卡尔曼滤波器。
与常规的卡尔曼滤波器不同，EKF可以用于非线性的工业过程故障诊断97。
UKF根据无迹变换机更加准确的随机逼近，可以更好地捕获真正的均值和方差，从而使其能更好地应用到故障诊断中98，99。
自适应卡尔曼滤波器可以被用来协调过程噪声矩阵，或者测量过程噪声矩阵以获得令人满意的故障诊断结果。
增广状态卡尔曼滤波器可以用来估计系统状态和故障信号102。
最近基于卡尔曼滤波的故障诊断应用实例有内燃机、冲击下的电子系统、永磁同步电机等103-105。
另一种重要的故障诊断方法是在系统辨识技术上的参数估计方法106。
这种方法假设系统故障反映在系统参数上，并且只需要系统模型结构是已知的。
使用该方法进行检测的基本思想是辨识实际工艺线上的参数，并将其与最初获得的健康参考数据进行比较。
如果模型有一些明确的物理映射参数，那么使用基于参数估计的故障诊断方法是非常简单的直接的。
这种方法最在在文献3,9和著作107中被提出研究。
该方法最近的发展可以在文献108中找到。
通过燃烧过程、造纸过程和化学过程的启发，被监控的系统输出可以是通过概率密度函数来描述。
对于这类随机系统，故障诊断最早是由文献111解决的，其中，概率密度函数的输出是通过B样条扩展技术近似的，其中随机噪声/误差应该是非高斯的。
为了提高系统对测量噪声、建模误差以及过程干扰的鲁棒性，使用一体化的描述估计器和参数特征结构配置来检测故障112。
关于非线性系统的故障诊断最近的进展可以参考文献113.此外，故障诊断方法还开发了其他类随机的系统如布朗运动随机过程114,115和马尔科夫跳跃116.
C离散事件系统和混合系统的故障诊断方法
在工业过程中，一些动态系统的信号从一个状态转换到另一个状态而不是连续改变。
这种系统被称为离散事件系统。
离散事件系统的故障诊断在1990年由文献117提及，并提出了基本的故障诊断方法。
基本的事件驱动的故障诊断问题是在系统运行时执行基于模型的推理，通过观测到的时间序列确定是否出现了一个未知的故障事件118。
根据这个模型使用，离散事件系统的故障诊断方法可以被分为基于自动机的故障诊断方法和Petri网为基础的方法。
为了克服任务的复杂性问题，基于自动机的故障诊断方法演化为分散法119，象征性的方法120和分散性象征性混合的方法121。
另一方面Petri网本质上就有具有分布式的特性，在整体和局部状态的故障诊断上具有降低计算复杂性的优势122。
然而，改进的结果为避免太过复杂，使用整数线性规划Petri网络123或者使用部分观测Petri网络124。
最近，关于基于事件的故障隔离方法被应用到连续动态过程，其中一种高级别的离散事件熊故障诊断器被用来提升故障诊断对较大环境干扰125和故障隔离对突发参数故障126的鲁棒性。
一些复杂的工业系统同时存在时间连续的动态过程和离散事件的动态过程，这种系统被称为混合系统，如复杂的机电一体化系统、制造系统、复杂的化学过程、航天工程系统以及汽车发动机出现的控制和嵌入式控系统。
对混合系统进行监控和故障诊断存在着挑战，因为连续系动态和离散事件的变化是相互依存相互作用的。
混合自动机是用来表示混合系统最常用的模型，该模型可以用来设计故障诊断算法，进行故障检测和隔离127,128。
键合图对复杂系统具有强大建模能力，可以采用统一的方式进行建模，从因果图上可以很容易得到系统冗余分析结果，所以该方法已经成为了一种强大建模方法。
最近基于键合图的故障诊断研究结果可以从文献129-132中找到。
D网络和分布式系统的故障诊断方法
由于网络技术的迅猛发展，大量的实时控制和检测经由通信信道进行信息传递，即所谓的网络控制和监测，具有巨大的优点，如性价比高、可满足低功率和小重量要求、易于安装维护以及便于资源共享133。
值得注意的是，引入有限容量的网络电缆或者无线传感器到控制和监视回路也不可避免地带来了一些意想不到的问题，如随机通信延迟、数据丢失和调度混乱，从而使得基于网络监控的故障诊断与传统的点到点控制和监测系统相比更具有挑战性。
因此，在进行基于网络的故障诊断时，残差和故障误差估计应该不仅对模型误差、过程干扰以及测量噪声具有鲁棒性，还应该对信息传输延迟、数据丢失以及由于信道极限容量引起的不完全测量具有鲁棒性134。
最近，应用于各种网络的故障诊断技术已经得到开发。
例如，文献135中开发的故障检测器用于检测通信延迟以及丢失数据，其中网络状态被假定成马尔科夫链中的变化。
在文献136中，最小二乘滤波器和卡尔曼滤波器被整合用于网络传感器的故障检测隔离和估计。
在文献137中，一中基于网络的故障诊断技术被开发用于非线性系统，该技术通过使用IEEE802.15.4无线传感器网络的测试进行验证。
此外，它也可以检测通信网络本身的异常，这种异常可能会影响到网络控制的性能。
为了监控路由服务器和整个网络的服务质量，滑模观测技术在文献138和139中分别被介绍用于检测传输中的异常控制协议。
最近，基于模型的故障检测和监测方法已经得导解决，参见论文140额141，用于监测控制网络中的潜在间歇连接或故障节点。
复杂的工业系统可以被建模成各个子系统的互联，各个子系统都具有决策标记（智能代理），这些智能代理可以访问本地测量结果、子系统模型、局部估计器/控制器以及管理不同代理之间的通信通道。
这种分散或者称为分布式的结构由于其可以更少地利用网络资源、具有更优的成本效益以及方便进行扩展等优势所以已成为复杂工业过程中的主流。
另一方面，对分布式系统的实时监测和故障诊断是非常具有挑战性的，由于其受到有有限的通信能力和信息冗余的限制约束。
一般的对于分布式系统的故障诊断想法是设计利用本地监测和计算资源通过本地智能代理管理的本地估计和故障检测器以及一个通用的保证整个网络检测和网络中所有代理性能的策略。
最近关于分布式系统的故障检测143和分布式故障估计144分别使用自适应阈值技术和滑膜技术来改进系统对建模误差和系统噪声的鲁棒性。
此外，据报道，该技术在无人飞艇145和电力网络146的应用中得到了良好的应用。
Part
基于信号的故障诊断方法
基于信号的方法使用测量信号，而不是输入输出模型进行故障诊断。
过程故障体现在测量的信号中，信号的特征需要被提取，故障诊断决策基于健康系统的信号特征分析和特征的先验知识。
基于信号的故障诊断方法在实时监测和诊断方面有很广泛的应用，如异步电机、电源转换器以及系统中的机械部件。
基于信号的故障诊断方案示意图如图4所示。
对提取的特征信号可以是时域（如均值、趋势、标准偏差、相位、坡度、峰值、均方差等）的也可以是频域（频谱）的。
因此，基于信号的故障诊断方法可以被分为基于时域信号的故障诊断方法和基于频域信号的故障诊断方法。
基于时域信号的故障诊断方法
对于被监控的连续动态过程，可以很自然的提取时域特征用于故障诊断。
例如文献147中，通过分析健康状态下和短路或短路状态下单/双晶体管的测量电流特性信号的均方根变化，开发一种用于开关磁阻电机的电源转换器故障诊断方法。
在文献148中，Park’svector的相位角的导数的绝对值被用来当做故障指示器，使用两变频器来诊断应用永磁同步发电机驱动的涡轮发电机的多个开路故障。
文献149给出的故障诊断方法是通过观测感应斜率随时间推移的变化，来诊断非隔离DC-DC转换器的的开路和短路故障，以及用于实时试验实现的现场可编程逻辑门阵列。
在文献150中，通过测量电动机的相位电流以及其对应的基准信号，开发一种实时算法来检测和定位应用在倒馈送交流电动机驱动的多开路开关电源的开关故障。
在文献151中，表明，相位角和负序和零序电流的大小可以认为是感应电动机定子故障的可靠性指标。
在文献152中，提出一种用于诊断航天器控制系统中传感器突发性故障的统计学方法，其中用感测信号的协方差作为特征提取信息。
最近，文献153提出一种基于时域信号的传功装置故障监测方法，该方法通过结合快速动态时间规整（快速DTW）和相关度（CK）技术实现。
快速DTW算法通过提取故障齿造成的周期脉冲激励，而后被提取出的信号被重新取样使用CK技术进行后续的诊断分析。
使用齿轮故障信号具有周期性的特点，采用CK算法可以识别子啊变速箱中本地齿轮故障的位置。
文献154提出了一种不同于使用所测信号一维域特征进行故障诊断的方法，即提出一种基于信号二维域的方法，该方法将振动信号被转换成图像（二维），而后使用尺度不变的特征转换方法对图像进行本地的局部特征的提取，进而在一个模式分类的框架下进行故障诊断和隔离。
最近，文献155报道了一种针对感应电机的两维度故障诊断方法，该方法中，获取的马达振动的时域信号首先被转换为二维灰度图像，而后利用局部二进制模式（LBP）从图像中识别并提取文理特征。
被提取的文理特征最终被用于帮助分类器进行故障诊断。
应当注意的是，在将信号转换为图像时，噪声所表现出来的特征是类似照度对照片的影响。
由于在某些程度上，SIFT技术和LBP操作对光照都有不变的特性，所以即使在高水平的噪声环境中，文献154和155提出的方法所有一定的鲁棒性。
基于频域信号的故障诊断技术
使用基于频域信号的故障诊断方法就是利用谱分析的方法检测信号的变化或错误，例如离散傅里叶变换法。
最为强大的频域故障诊断方法之一是电机电流特征分析（MCSA），它利用谱分析方法分析感测到的定子电流故障和损坏的转子之间的不同。
因为不用访问电机，所以MCSA方法得到了广泛的关注，文献19和20对该方法进行了综述。
基于电流光谱分析的故障诊断方法的近期研究可以在文献156和157中找到。
振动信号分析是监测和诊断机械设备故障的常用方法，如齿轮箱，因为因为机械的振动信息包含了许多工作状态信息。
在文献158中，提出一种对齿轮箱的基于声学的故障诊断方法，该方法提升了频域的盲解卷积流。
近日，在文献159中，提出了使用傅里叶频谱和光谱振幅解调的方法来对行星齿轮箱的多个齿轮进行检测和故障定位的方法。
基于时频信号的故障诊断方法
对于无负载，或者不平衡的电源电压，变化的负载或者负载转矩的震荡状态下机器，所测量的信号通常是暂态和动态下的有关时间片段。
因此，在某些定性分析情况下，我们发现难以用任何一种纯的时域或频域的故障检测方法实现故障诊断。
由于瞬态信号的频谱是时变的，需要开发合适的时频分解工具用于实时故障诊断和监测。
时域分析可以识别信号的频率组分并揭示其时变的特点，这种方法通过提取包含在非平稳信号中的特征信息技术，已经成为了一种有效的故障及诊断和监测工具25。
最近提出了许多应用到机械故障诊断不同的时频分析分析方法。
在这些时频分析方法中，短时傅里叶变换（STFT）、小波变换（WT）、希尔伯特-黄变换（HHT）和维格纳分布（WVD）是最常见使用的方法。
例如，短时傅立叶变换方法允许确定包含本地部分的信号频率作为随时间变化的信号，这已被广泛用以检测电感电机的定子和转子故障[160]。
然而，该STFT方法如果需要得良好的分辨率会导致计算成本高。
基于WT-方法作为一种线性分解方法，可以提供在一个良好的分辨率在时间的信号具有高频分量和低频分量，[161]中已经证明了在非平稳状态下跟踪故障频率很有成效。
在[162]中，该STFT和离散WT进行了整合，以做到对工业监控系统的早期故障诊断和故障预测。
我们注意到，STFT和WT可能会受到一些不确定性的限制。
例如，必须选择一个合适STFT窗口大小，但它通常不是先验已知的。
在WT中的基本波函数类型在对识别隐藏在动态信号中的瞬态元素时有一个直接影响。
然而，根据从固有模式所产生的瞬时频率分析的信号的功能时，HHT方法没有由不确定的相对于该时间约束和频率分辨率遭受一定的时间频率限制（例如，短时傅里叶变换和WT），其已经显示在故障严重程度评价[163]而言相当有趣的表现。
WVD拥有一个相对较低的计算成本和高分辨率，因为是利用整个信号，以获得在每个时——频段中的能量，这已经成功的应用到了目前对故障诊断[164]或振动分析[165]。
传统的WVD方法的显著缺点是工件分布的交叉项，这阻碍了WVD中的应用方法。
最近，通过结合先进的缺口有限脉冲响应滤
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