2020高中数学---事件的关系与概率运算.doc

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第十一章 第86炼事件的关系与概率运算概率与随机变量

第86炼事件的关系与概率运算

一、基础知识

1、事件的分类与概率：

（1）必然事件：

一定会发生的事件，用表示，必然事件发生的概率为

（2）不可能事件：

一定不会发生的事件，用表示，不可能事件发生的概率为

（3）随机事件：

可能发生也可能不发生的事件，用字母进行表示，随机事件的概率

2、事件的交并运算：

（1）交事件：

若事件发生当且仅当事件与事件同时发生，则称事件为事件与事件的交事件，记为，简记为

多个事件的交事件：

：

事件同时发生

（2）并事件：

若事件发生当且仅当事件与事件中至少一个发生（即发生或发生），则称事件为事件与事件的并事件，记为

多个事件的并事件：

：

事件中至少一个发生

3、互斥事件与概率的加法公式：

（1）互斥事件：

若事件与事件的交事件为不可能事件，则称互斥，即事件与事件不可能同时发生。

例如：

投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件，“出现3点”为事件，则两者不可能同时发生，所以与互斥

（2）若一项试验有个基本事件：

，则每做一次实验只能产生其中一个基本事件，所以之间均不可能同时发生，从而两两互斥

（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：

若互斥，则有

例如在上面的例子中，事件为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得，所以根据加法公式可得：

（4）对立事件：

若事件与事件的交事件为不可能事件，并事件为必然事件，则称事件为事件的对立事件，记为，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：

，关于对立事件有几点说明：

①公式的证明：

因为对立，所以，即互斥，而，所以，因为，从而

②此公式也提供了求概率的一种思路：

即如果直接求事件的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解

③对立事件的相互性：

事件为事件的对立事件，同时事件也为事件的对立事件

④对立与互斥的关系：

对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。

由对立事件的定义可知：

对立，则一定互斥；反过来，如果互斥，则不一定对立（因为可能不是必然事件）

4、独立事件与概率的乘法公式：

（1）独立事件：

如果事件（或）发生与否不影响事件（或）发生的概率，则称事件与事件相互独立。

例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件，“第二个骰子的点数是2”为事件，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以独立

（2）若独立，则与，与，与也相互独立

（3）概率的乘法公式：

若事件独立，则同时发生的概率，比如在上面那个例子中，，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件，则。

（4）独立重复试验：

一项试验，只有两个结果。

设其中一个结果为事件（则另一个结果为），已知事件发生的概率为，将该试验重复进行次（每次试验结果互不影响），则在次中事件恰好发生次的概率为

①公式的说明：

以“连续投掷次硬币，每次正面向上的概率为”为例，设为“第次正面向上”，由均匀的硬币可知，设为“恰好2次正面向上”，则有：

而

②的意义：

是指在次试验中事件在哪次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中代表了符合条件的不同情况总数共3种

5、条件概率及其乘法公式：

（1）条件概率：

（2）乘法公式：

设事件，则同时发生的概率

（3）计算条件概率的两种方法：

（以计算为例）

①计算出事件发生的概率和同时发生的概率，再利用即可计算

②按照条件概率的意义：

即在条件下的概率为事件发生后，事件发生的概率。

所以以事件发生后的事实为基础，直接计算事件发生的概率

例：

已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的情况下，乙中奖的概率。

解：

方法一：

按照公式计算。

设事件为“甲未中奖”，事件为“乙中奖”，所以可得：

，事件为“甲未中奖且乙中奖”，则。

所以

方法二：

按照条件概率实际意义：

考虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为

6、两种乘法公式的联系：

独立事件的交事件概率：

含条件概率的交事件概率：

通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后。

所以通过公式可得出这样的结论：

交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）

二、典型例题：

例1：

从这5个数中任取两数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。

上述事件中，是对立事件的是（）

A.①B.②④C.③D.①③

思路：

任取两数的所有可能为两个奇数；一个奇数一个偶数；两个偶数，若是对立事件，则首先应该是互斥事件，分别判断每种情况：

①两个事件不是互斥事件，②“至少有一个奇数”包含“两个都是奇数”的情况，所以不互斥，③“至少一个奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶”所以与“两个偶数”恰好对立，④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”均包含“一奇一偶”的情况，所以不互斥。

综上所述，只有③正确

答案：

C

例2：

5个射击选手击中目标的概率都是，若这5个选手同时射同一个目标，射击三次则至少有一次五人全部集中目标的概率是（）

A.B.C.D.

思路：

所求中有“至少一次”，且若正面考虑问题所涉及的情况较多。

所以考虑从问题的对立面入手，设所求事件为事件，则为“射击三次没有一次五人均命中目标”，考虑射击一次五人没有全命中目标的概率为，所以，从而可得

答案：

C

例3：

甲，乙，丙三人独立的去译一个密码，分别译出的概率为，则此密码能译出概率是（）

A.B.C.D.

思路：

若要译出密码，则至少一个人译出即可。

设事件为“密码译出”，正面分析问题情况较多，所以考虑利用对立面，为“没有人译出密码”，则

，从而

答案：

C

例4：

某次知识竞赛规则如下：

在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是_________

思路：

因为选手回答4个问题就晋级下一轮，所以说明后两个回答结果正确，且第二次回答错误（否则第二次与第三次连续正确，就直接晋级了），第一次回答正确错误均可。

所以

答案：

例5：

掷3颗骰子，已知所得三个数都不一样，求含有1点的概率

思路：

首先判断出所求的为条件概率，即在3个数都不一样的前提下，含有1点的概率，设事件表示“含有1点的概率”，事件为“掷出三个点数都不一样”，事件为“三个点数都不一样且有一个点数为1”，则有，，所以由条件概率公式可得：

答案：

例6：

甲乙两人进行跳绳比赛，规定：

若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出。

已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为，则甲胜出的概率为（）

A.B.C.D.

思路：

考虑甲胜出的情况包含两种情况，一种是甲第一局获胜，一种是甲第一局输了，第二局获胜，设事件为“甲在第局获胜”，事件为“甲胜出”，则，依题意可得：

，两场比赛相互独立，所以

从而

答案：

A

例7：

如图，元件通过电流的概率均为，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在之间通过的概率是（）

A.B.C.D.

思路：

先分析各元件的作用，若要在之间通过电流，则必须通过，且这一组与两条路至少通过一条。

设为“通过”，则，设为“通过”，，那么“至少通过一条”的概率，从而之间通过电流的概率为

答案：

B

例8：

假设每一架飞机的引擎在飞行中出现的故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行；要使得4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

思路：

所谓“更安全”是指成功飞行的概率更高，所以只需计算两种引擎成功的概率即可，引擎正常运行的概率为，设事件为“4引擎飞机成功飞行”，事件为“个引擎正常运行”，可知引擎运行符合独立重复试验模型，所以，所以。

设事件为“2引擎飞机成功飞行”，则，依题意：

，即，进而解出

答案：

B

例9：

从中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______

思路一:

本题涉及条件概率的问题，设事件为“甲取到的数比乙大”，事件为“甲取到的数是5的倍数”，则所求概率为。

若用公式求解，则需求出，事件即为“甲取到了5的倍数且甲数大于乙数”，由古典概型可计算出概率。

甲能够取得数为，当甲取5时，乙有种取法，当甲取10时，乙有种取法，当甲取15时，乙有种取法，所以，因为，所以

思路二：

本题处理条件概率时也可从实际意义出发，甲取5,10,15对乙的影响不同，所以分情况讨论。

当甲取的是5时，甲能从5的倍数中取出5的概率是，此时乙从剩下14个数中可取的只有1,2,3,4，所以甲取出5且大于乙数的概率，同理，甲取的是10时，乙可取的由9个数，所以甲取出10且大于乙数概率为，甲取的是15时，乙可取14个数，所以甲取出15且大于乙数的概率为，所以甲取到的数是5的倍数后，甲数大于乙数的概率为

答案：

小炼有话说：

本题两种处理条件概率的思路均可解决问题，但第二种方法要注意，所发生过的只是甲取到5的倍数，但不知是哪个数，所以在分类讨论时还要乘上某个5的倍数能抽中的概率。

即所求问题转变为“已知抽到5的倍数后，抽到哪个5的倍数（具体分类讨论）且甲数大于乙数的概率”。

例10：

甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中由4只白球，2只红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是_______

思路：

本题取到白球需要两步：

第一步先确定是甲袋还是乙袋，第二步再取球。

所以本问题实质上为“取到某袋且取出白球的概率”，因为取袋在前，取球在后，所以取球阶段白球的概率受取袋的影响，为条件概率。

设事件为“取出甲袋”，事件为“取出白球”，分两种情况进行讨论。

若取出的是甲袋，则，依题意可得：

，所以；若取出的是乙袋，则，依题意可得：

，所以，综上所述，取到白球的概率

答案：