2022-2023学年华侨、港澳、台联考高考数学模拟试卷(含解析).doc

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2022-2023学年华侨、港澳、台联考高考数学模拟试卷（含解析）

题号

一

二

三

总分

得分

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合且，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数，则的共轭复数（    ）

A. B. C. D.

3.已知向量，若，则（    ）

A. B. C. D.

4.不等式的解集为（    ）

A. B.

C. D.

5.以为焦点，轴为准线的抛物线的方程是（    ）

A. B. C. D.

6.底面积为，侧面积为的圆锥的体积是（    ）

A. B. C. D.

7.设与是函数的两个极值点，则常数的值为（    ）

A. B. C. D.

8.已知函数若，则（    ）

A. B. C. D.

9.函数的反函数是（    ）

A. B.

C. D.

10.设等比数列的首项为，公比为，前项和为令，若也是等比数列，则（    ）

A. B. C. D.

11.若双曲线：

的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（    ）

A. B. C. D.

12.在，，，，，，，，中任取个不同的数，则这个数的和能被整除的概率是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

13.曲线在点处的切线的方程为          ．

14.直线被圆所截得的弦长为          ．

15.若，则______．

16.设函数，且是增函数，若，则______．

17.在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为______．

18.设是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数．若，则______．

三、解答题（本大题共4小题，共60.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

记的内角，，的对边分别为，，，已知，，．

求；

求．

20.本小题分

设是首项为，公差不为的等差数列，且，，成等比数列．

求的通项公式；

令，求数列的前项和．

21.本小题分

甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．

求甲获胜的概率；

设为结束比赛所需要的局数，求随机变量的分布列及数学期望．

22.本小题分

已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交于，两点，，四边形的面积为．

求；

求的方程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了集合的描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．

化简集合，然后根据即可求出的值．

【解答】

解：

，

且，

，解得．

故选：

．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．

【解答】

解：

，

则．

故选：

．

3.【答案】 

【解析】解：

，，．

，

，．

故选：

．

由已知可得，计算即可．

本题考查两向量共线的坐标运算，属基础题．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了含绝对值不等式的解法，属于基础题．

根据绝对值的性质去掉绝对值，然后求解即可．

【解答】

解：

，

或，

即或

解得：

或或，

不等式的解集为．

故选D．

5.【答案】 

【解析】解：

以为焦点，轴为准线的抛物线中，

所以顶点坐标为焦点与准线与轴的交点的中点的横坐标为，

即该抛物线的方程为：

，

故选：

．

由抛物线的焦点坐标及抛物线的准线方程可得的值，进而求出顶点的坐标，可得抛物线的方程．

本题考查抛物线的平移及抛物线的方程的求法，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：

设圆锥的底面半径为，母线长为，

由题意可得，解得，，

圆锥的高．

圆锥的体积是．

故选：

．

设圆锥的底面半径为，母线长为，由已知列式求得与，再由勾股定理求圆锥的高，然后代入圆锥体积公式求解．

本题考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．

由题意知和是导函数的方程的两个根，解方程即可得出结果．

【解答】

解：

，

由题意，知和是方程的两个根，

所以有

解得，，

，

故选A．  

8.【答案】 

【解析】解：

函数，，

函数的一条对称轴为，即或，故或．

 不妨时，

时，不成立；当时，成立，

故，

故选：

．

由题意，可得函数的一条对称轴为，即或再检验选项，可得结论．

本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．

9.【答案】 

【解析】解：

由可得：

，

因为，所以，则，

所以原函数的反函数为．

故选：

．

根据的范围求出的范围，再反解出，然后根据反函数的定义即可求解．

本题考查了求解函数的反函数的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】解：

由题意可知，，，，

，若也是等比数列，

，即，即，解得或舍去．

故选：

．

由题意可知，，，，再结合等比数列的性质，即可求解．

本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．

11.【答案】 

【解析】解：

由双曲线：

的方程可得渐近线方程为，

由题意可得，

所以双曲线的离心率，

故选：

．

由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得渐近线的斜率，进而求出，的关系，再求离心率的值．

本题考查双曲线的性质的应用及直线相互垂直的性质的应用，属于基础题．

12.【答案】 

【解析】在，，，，，，，，中任取个不同的数，

基本事件总数，

，，被除余；，，被除余；，，刚好被除，

若要使选取的三个数字和能被整除，

则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，

这个数的和能被整除的不同情况有：

，

这个数的和能被整除的概率为．

故选：

．

基本事件总数，，，被除余；，，被除余；，，刚好被除，若要使选取的三个数字和能被整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，由此能求出结果．

本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究在曲线上某点的切线方程，是基础题．

求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，即切线的斜率，然后由直线的点斜式方程得答案．

【解答】

解：

由，得，

，

即曲线在点处的切线的斜率为，

则曲线在点处的切线方程为，整理得：

．

故答案为：

．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查弦长的求法，考查圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解，是基础题．

圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，直线被圆所截得的弦长为．

【解答】

解：

圆的圆心，半径，

圆心到直线的距离：

，

直线被圆所截得的弦长为：

．

故答案为：

．

15.【答案】 

【解析】解：

由，得．

故答案为：

．

由已知直接利用二倍角的正切求解．

本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．

16.【答案】 

【解析】解：

函数，且，

，

，

或，

函数，且是增函数，

，

故答案为：

．

先利用指数幂的运算化简求出，再利用指数函数的单调性求解即可．

本题考查指数函数的单调性和指数幂的运算，属于基础题．

17.【答案】 

【解析】解：

如图所示，分别取、的中点、，由正三棱柱的性质可得、、，两两垂直，

建立空间直角坐标系．

则，，，

，，

，，

异面直线与所成角的大小为．

故答案为：

．

通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．

本题考查异面直线所成角的求法，属中档题．

18.【答案】 

【解析】解：

由是定义域为的奇函数，可得；

由是定义域为的偶函数，可得．

若，则，

又

可得，

即有．

故答案为：

．

由函数的奇偶性的定义和指数的运算性质，解方程可得所求值．

本题考查函数的奇偶性的定义和运用，体现了方程思想和数学运算等核心素养，属于基础题．

19.【答案】解：

，

由正弦定理可得，，

由余弦定理可得，，即，解得，

．

，，，

． 

【解析】根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．

根据的结论，以及正弦定理，即可求解．

本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．

20.【答案】解：

已知是首项为，公差不为的等差数列，

又，，成等比数列，

则，

即，

又，

即，

则；

由可得：

，

则，

则当为偶数时，，

当为奇数时，，

即． 

【解析】由已知条件可得：

，求得，然后求通项公式即可；

由可得：

，则，然后分两种情况讨论：

当为偶数时，当为奇数时，然后求和即可．

本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了捆绑求和法，属基础题．

21.【答案】解：

由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为，

比赛四局且甲获胜的概率为，

比赛五局且甲获胜的概率为，

所以甲获胜的概率为．

随机变量的取值为，，，

则，

，

，

所以随机变量的分布列为：

则随机变量的数学期望为． 

【解析】由题意分别求得三局、四局、五局比赛甲获胜的概率，然后相加可得甲获胜的概率；

由题意可知的取值为，，，计算相应的概率值可得分布列，进一步计算数学期望即可．

本题主要考查事件的独立性，离散型随机变量及其分布列，分布列的均值的计算等知识，属于基础题．

22.【答案】解：

由对称性知，，

不妨取点在第一象限，设，则，解得，，

因为四边形的面积为，

所以，

所以．

设椭圆的方程为，

由知，，

代入椭圆方程有，

又，

所以，，

故椭圆的方程为． 

【解析】由对称性知，不妨取点在第一象限，先求得点的坐标，再利用四边形的面积为，可得的值；

设椭圆的方程为，代入点的坐标，并结合，求得，的值，即可．

本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

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