李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714).pdf
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第4章复习与思考题习题1、给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。
答：
用两端点的算术平均值作为（）f的近似值，这样导出的求积公式（）d（）（）2aabafxxfafb，就是梯形求积公式。
而如果改用区间中点2bac近似取代（）f，则导出中矩形公式（）d（）（）2aaabfxxbaf几何意义的图形，略。
2、什么是求积公式的代数精确度？
梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少？
答：
如果某个求积公式对次数不超过m的多项式均能准确成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度梯形公式和中矩形公式的代数精度为1.3、对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法。
由于是给定求积公式的节点，因此，不能使用高斯型求积公式由于未说明是等距节点，因此不能用牛顿-科特斯求积公式。
未找到明确的资料.答：
插值型求积公式和.4、什么是牛顿-柯特斯求积？
它的求积节点如何分布？
它的代数精确度是多少？
答：
设积分区间a,b划分为n等份，步长h=（b-a）/n,选取等距节点kxakh构造出的插值型求积公式0（）（）nknnkkIbaCfx成为牛顿-柯特斯求积公式，式中knC称为柯特斯系数。
其节点是等距分布的，代数精度为节点数n-1次。
5、什么是辛普森求积公式？
它的余项是什么？
它的代数精确度是多少？
当n=2时，牛顿-柯特斯求积公式即为辛普森求积公式，其余项为4（4）（）（）（）1802babaRff其，代数精度为3.6、什么是复合求积法？
给出复合梯形公式及其余项表达式。
答：
为了提高计算精度，通常把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上使用低阶求积公式。
这种方法称为复合求积法。
复合梯形公式为111012（）（）（a）（）（）22（）（）,a,b32nnkkkkknnhhTnfxfxffxfbbahRfITf7、给出复合辛普森公式及其余项表达式。
如何估计它的截断误差？
复合辛普森公式为111/2014（4）（a）4（）2（）（）6（）（）,b1802nnkkkknnhSnffxfxfbbahRfISfa8、什么是龙贝格求积？
它有什么优点？
龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。
它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。
使用理查森外推算法,它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度.在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。
这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。
龙贝格算法公式（）
（1）（）1141,1,2,3.4141mkkkmmmmmTTTk9、什么是高斯型求积公式？
它的求积节点是如何确定的？
它的代数精确度是多少？
为何称它是具有最高代数精确度的求积公式？
答：
如果求积公式0（）（）d（）annkkkafxxxAfx具有2n-1（n为秋季节点数）次代数精度，则称其节点kx为高斯点，求积公式为高斯型求积公式。
可以使用证明的方法求证，插值公式的代数精度不超过2n-1。
即回到了最后一个问题。
根据老师的讲课，给出证明的方法。
10、牛顿-柯特斯求积和高斯求积的节点分布有什么不同？
对同样数目的节点，两种求积方法哪个更精确？
为什么？
牛顿-柯特斯求积节点等距分布高斯求积的节点分布是插值型多项式的零件。
对同样数目的节点，高斯求积更精确。
11、描述自动求积的一般步骤。
怎样得到所需的误差估计？
答：
如果求积区间中被积函数变化很大，有的部分函数值变化剧烈，需要使用小不长，另一部分函数值变化平缓，可以使用大步长，针对被积函数在区间上的不同情形采用不同的步长，使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小，针对这类问题的算法技巧是在不同区间上预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长。
就是自动求积的一般步骤。
12、怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二重积分基本原则：
累次积分。
多重积分的辛普森公式：
1101/201（,）（,）4（,）2（,）（,）6bdacMMbbbbiiMaaaaiifxydydxkfxydxfxydxfxydxfxydx对每一个积分再次利用辛普森公式111/201（）4（）2（）（）（6）nnkkkakbhfafxffxfbxdx13、对给定函数，给出两种近似求导的方法。
若给定函数值有扰动，在你的方法中怎样处理这个问题？
14、判断如下命题是否正确：
（1）如果被积函数在区间a,b上连续，则它的黎曼（Riemann）积分一定存在。
（2）数值求积公式计算总是稳定的。
（3）代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。
（4）n+1个点的插值型求积公式的代数精确度至少是n次，最多可达到2n+1次。
（5）高斯求积公式只能计算区间-1,1上的积分。
（6）求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数一样。
（7）梯形公式与两点高斯公式精度一样。
（8）高斯求积公式系数都是正数，故计算总是稳定的。
（9）由于龙贝格求积节点与牛顿-柯特斯求积节点相同，因此它们的精度相同。
（10）阶数不同的高斯求积公式没有公共节点。
1）正确2）错误3）错误，是衡量计算准确度的一个指标4）正确5）错误，可以通过变化使得计算时区间在-1,1上。
6）错误，典型的例子是，当n为偶数时，牛顿-柯斯特公式至少为n+1阶代数精度。
7）错误。
梯形公式，代数精度为1，两点高斯公式代数精度为38）正确9）错误。
龙贝格精度为2n，牛顿-柯特斯精度最大为n+110）错误。
习题1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。
1））（）0（）（）（101hfAfAhfAdxxfhh；2））（）0（）（）（10122hfAfAhfAdxxfhh；3）3/）（3）
（2）1（）（2111xfxffdxxf；4））（）0（2/）（）0（）（20hffahhffhdxxfh。
1））（）0（）（）（101hfAfAhfAdxxfhh由于需要确定3个未知量，因此，需要给定3个方程。
设2（）1,fxxx，有10111322112023hAAAhAhAhhAhA解出1011012134313hAAAAhAhAh令3（）fxx，有333443411（）00033333hhhhhhhhhxdx令4（）fxx，有44454554212（）00333355hhhhhhhhhhxdxxh因此，具有3次代数精度。
2））（）0（）（）（10122hfAfAhfAdxxfhh由于需要确定3个未知量，因此，需要给定3个方程。
设2（）1,fxxx，有101113221140163hAAAhAhAhhAhA解出1011014834383hAAAAhAhAh令3（）fxx，有33344384888（）00033333hhhhhhhhhxdx令4（）fxx，有24445455284816164（）00333355hhhhhhhhhhxdxxh因此，具有3次代数精度。
3）1121（）
（1）2（）3（）/3fxdxffxfx需要确定2个待定参数，因此，令设2（）1,fxxx，有1222122123/30123/32123/33xxxx解出0.68990.28990.68990.51212266xxxx令3（）fxx，有1143113310（）4
（1）2（-0.6899）3（0.2899）/312-0.689930.2899/3-0.52788xxdxfxdxfff因此，具有2次代数精度。
4）（）0（2/）（）0（）（20hffahhffhdxxfh需要确定2个待定参数，因此，令设2（）1,fxxx，有223330022/223hhhhhhah解出112a，h为任意常数令3（）fxx，有434440011（）/2444hhhxdxfxdxhhh令4（）fxx，有545550011（）/2536hhhxdxfxdxhhh所以代数精度为3.2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：
（1）120,84xdxnx
（2）91,4xdxn（3）/6204sin,6dn
（1）120,84xdxnx梯形公式11（）2（）（）2nnkkhTfafxfb8n,所以,0,1,2,3,4,5,6,7,88kkxk01234567800.03110.06150.09060.11760.1423（）（）（）（）（）（）（）.16440（0.18360）（）.200fxfxfxfxfxfxfxfxfx所以有181（0）2（）
（1）20.1114nkkhTffxf辛普森公式1111/2001（）4（）2（）（）6nnnnkkkkkhSfafxfxfb4n,所以,0,1,2,3,44kkxk1/21,0,1,2,384kkxk所以11141/2001（0）4（）2（）
（1）60.11157nnnkkkkkhSffxfxf
（2）91,4xdxn梯形公式11（）2（）（）2nnkkhTfafxfb4n,所以12,0,1,2,3,4kxkk1.00001.73212.23612.64583.000,0,1.0.（）4kkfx141（）2（）（）217.2278nkkhTfafxfb辛普森公式1111/2001（）4（）2（）（）6nnnnkkkkkhSfafxfxfb2n,所以14,0,1,2,kxkk1/234,0,1kxkk所以11121/2001（）4（）2（）（）617.3321nnnkkkkkhSfafxfxfb（3）/6204sin,6dn梯形公式11（）2（）（）2nnkkhTfafxfb6n,所以,0,1,2,3,4,5,636kxkk2.00001.99811.99241.98321.97051.95481.9,（）0,1.3566kkfx161（）2（）（）21.0356nkkhTfafxfb辛普森公式1111/2001（）4（）2（）（）6nnnnkkkkkhSfafxfxfb3n,所以,0,1,2,318kxkk1/2,0,1,23618kxkk所以11131/2001（）4（）2（）（）61.3577nnnkkkkkhSfafxfxfb3、直接验证柯特斯公式（2.4）具有5次代数精度。
验证以下公式在5（）fxx时，等式成立，在6（）fxx时，等式不成立01234（）7（）32（）12（）32（）7（）90babafxdxfxfxfxfxfx验证过程同题1。
2345（）1,fxxxxxx时，（以5（）fxx为例）badxxabbbaabaabbabbababaaabbbabbababaababbababaababbababaaaabbbababaaab56642245432234555432234554322345543223455555556）2）（6）151515151515（907）2434052709015（321）510105（83）1590270405243（3217907）43（32）2（12）43（327906（）fxx时，badxxabbabbabababaaabbbabbabababaababbabababaababbabababaaaabbbababaaab677654233245666542332456654233245665423324566666666）648253240512817101619512817103240564825（907）7291458121554013518（1281）61520156（163）1813554012151458729（12817907）43（32）2（12）43（32790从而此求积公式最高具有5次代数精度。
4、用辛普森公式求积分10dxex并估计误差。
解：
辛普森公式（）4（）（）62baabSfaffb0.51（0）1（0.5）
（1）ffefe所以0.511（0）4（0.5）
（1）611460.63233Sfffee余项为44（）（）（）,（a,b）1802babaRff40（）1fee0.061|（251|=3.47e-4）|180Rf5、推导下列三种矩形求积公式：
2）
（2）（）（）（abfabafdxxfba；2）
（2）（）（）（abfabbfdxxfba；3）（24）（）（2（）（abfabbafdxxfba解：
本题有2中证明方式。
解法1，利用插值型求积公式的余项公式证明。
111（）（）（）（）
（1）!
mbbmmmaafRfRxdxwxdxKfm其中221011（）
（1）!
2nmmmkkkKbaAxmm由于只用到1个插值点x=a，此时m=0，n=0，此时插值基函数为1.00（）1（）bbaaAlxdxdxba所以有221022211（）
（1）!
21（）（）21（）2nmmmkkkKbaAxmmbabaaba同理当用到1个插值点x=b，此时m=0，n=0，此时插值基函数为1.00（）1（）bbaaAlxdxdxba所以有221022211（）
（1）!
21（）（）21（）2nmmmkkkKbaAxmmbababba
（1）和
（2）即可证得。
但对于（3），3）（24）（）（2（）（abfabbafdxxfba使用此种方法需要调整。
用到1个插值点2bax，此时m=0，n=0，此时插值基函数为1.00（）1（）bbaaAlxdxdxba所以有22102211（）
（1）!
21（）（）（）220nmmmkkkKbaAxmmbababa说明对m=0时，求积公式没有误差。
令m=1，n=0，此时插值基函数为1.00（）1（）bbaaAlxdxdxba所以有22103323322311（）
（1）!
211（）（）（）23211110.5（）1212441（）24nmmmkkkKbaAxmmbabababaababba即可证得。
解法2，利用微分中值定理证明。
由微分中值定理有：
）（）（）（axfafxf，从而22）
（2）（）（）
（2）（）（）（）（）（abfabafaxfxafdxaxfafdxxfbababa再由微分中值定理有：
）（）（）（bxfbfxf，从而22）
（2）（）（）
（2）（）（）（）（）（abfabbfbxfxbfdxbxfbfdxxfbababa。
由微分中值定理有：
2）2
（2）（）2）（2（）2（）（baxfbaxbafbafxf，从而33322）（24）（）（2（4）（6）（）（2（）2（6）（）2）（2（21）2（）2
（2）（）2）（2（）2（）（abfabbafabfabbafbaxfbaxbafxbafdxbaxfbaxbafbafdxxfbababa6、若用复合梯形公式计算积分10xIedx，问区间0,1应分多少等份才能使截断误差不超过51102？
若改用辛普森公式，要达到同样精度区间0,1应分多少等份？
本题为书上的例题。
考核的是复合梯形公式和复合辛普森公式的误差与节点的关系。
解：
复合梯形公式余项2（）（）12nbaRfhf（）e,0,1f225111|（）|（）|（）|1012122nbaRfhfen解得：
213212.849n复合辛普森公式余项4（4）（）（）2880nbaRfhf（4）（）e,0,1f4（4）45111|（）|（）|（）|10288028802nbaRfhfen解得：
43.71n，需要8个节点。
7、如果（）0fx，证明用梯形公式计算积分10xIedx所得结果比准确值I大，并说明其几何意义。
解：
（）0fx，说明（）fx在0,1区间上是一个内凹的函数。
本题，选择梯形公式余项证明：
11200（）（）（）（）012nkkkbaRffxdxAfxhf所以1100（）（）kkkIfxdxAfx，即梯形公式计算积分10xIedx所得结果比准确值I大。
几何解释8、用龙贝格方法计算下列积分，要求误差不超过510。
（1）102xedx
（2）20sinxxdx（3）3201xxdx解：
龙贝格求积算法（本题还不会，特别是求T0,还需要多看书）（）
（1）（）11414141mkkkmmmmmTTT计算T0时的递推公式121021（）22nnnkkhTTfx
（1）102xedxT表如下KhT0T1T2T3T4010.683939710.520.2530.12540.06259、用辛普森公式的自适应积分计算1.521lnxxdx，允许误差310。
本题考核自适应积分,计算量较大。
关于步长的确定还需要再复习一下。
10、是构造高斯型求积公式1001101（）（）（）fxdxAfxAfxx本题同例9，考核高斯节点的求法和高斯公式的构造方法。
解：
具有最高代数精度的求积公式是高斯型求积公式，其节点为关于权函数1（）xx的正交多项式的零点01,xx，设201（）（）（）wxxxxxxbxc，由于正交性（）wx与1,x带权正交，即得：
110011（）0,（）0wxdxxwxdxxx于是有120120122（）2053222（）0753xbxcdxbcxxxbxcdxbc解得-6/73/35bc所以，263（）735wxxx解得：
010.11560.7416xx由于两个节点的高斯型求积公式具有3次代数精度，故公式对23（）1,fxxxx成立，为方便计算A0，A1取前两个。
当（）1fx时，1010110011010012120.11560.71463AAdxxAxAxAAxdxxdxx解得：
011.273.7270AA所以高斯型求积公式为101（）1.273（0.1156）0.727（0.7416）fxdxffx11、用2,3n的高斯-勒让德公式计算积分31sinxexdx本题考查积分区间的变化，高斯-勒让德公式。
解：
高斯-勒让德积分区间为-1,1,因此需要进行区间变化，则31211121sinsin
（2）
（2）sin
（2）xxxexdxexdxexdx即，变化区间后2（）sin
（2）xfxex当n=2时，为3点的高斯型求积公式，由表4-7，高斯节点为0120.774596700.7745967xxx系数为0210.55555560AAA所以高斯-勒让德即公式为121sin
（2）0.5555556（0.7745967）0.8888889（0）0.5555556（0.710.94745967）84xexdxfff同理可得3点的高斯-勒让德计算。
不再计算。
12、卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是2/22041sincSada，这里a是椭圆的半长轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，6371R公里为地球半径，则
（2）/2aRHh，（）/2cHh。
我国第一颗人造卫星近地点距离439h公里，远地点距离为2384H公里，试求卫星轨道的周长。
本题属于沿线积分求周长的题型解：
5.7782243923846371222hHRa，5.972243923842hHc22/2/22200972.541sin311301sin7782.5cSadda则有22972.51sin7782）.5（f使用复合梯形公式或复合辛普森公式求解。
设梯形公式节点为n=6，辛普森公式n=3，所以50,12643122k1.00000.99950.99800.99610.99410.99270.（）9922kf所以1143110（0）（）（）224.870710nkhSfff使用辛普森公式1/20,6325,12412kk1.00000.99800.99410.92）2（9kf1/20.99950.99610（）.9927kf111/20143110（0）4（）2（）（）624.870810nnkkkkhSffff两者计算精度基本相当。
13、证明等式3524sin3!
5!
nnnn，试依据sin（3,6,12）nnn的值，用外推算法求的近似值。
14、用下列方法计算积分311dyy，并比较结果。
1）龙贝格方法；
（2）三点及五点高斯公式；3）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。
三点及五点高斯公式；需要将区间化为-1,1用复化两点高斯公式,需要将区间化为-1,115、用n=2的高斯-拉盖尔求积公式计算积分201xxedxe本题需要先构造高斯-拉盖尔求积公式的形式，随后查表即可求得2200111xxxxedxedxee，所以21（）1xfxe。
查表4-8，n=2时有0120.4157745572.2942803606.289945083xxx0120.7110930100.2785177340.010389257AAA则：
0120.696680.989931xxx有：
001122200.78151
（1）（）（）1xxedxAfxAfxAfxe16、用辛普森公式（取N=M=2）计算二重积分0.50.500yxedydx本题考核多重积分的求法，考核多重积分的辛普森公式，对其中的单个积分再次应用辛普森公式求积。
解：
多重积分的辛普森公式：
1101/201（,）（,）4（,）2（,）（,）6bdacMMbbbbiiMaaaaiifxydydxkfxydxfxydxfxydxfxydx对每一个积分再次利用辛普森公式111/201（）4（）2（）（）（6）nnkkkakbhfafxffxfbxdx解：
取N=M=2，即h=k=0.25得0.50.5000.50.1250.3750.250.500.50.50.50.50.50.1250.3750.250.500000144224144224yxbbbbxxxxxaaaaxxxxxedydxedxedxedxedxedxedxeedxeedxeedxeedx对0.50xedx再次使用辛普森求积公式有0.500.1250.3750.250111/201.5（）4（）2（）（）6114（2240.）3935nnkkkxkhfafxfxfedxeeeeb所以0.50.5000.50.1250.3750.250.500.50.1250.3750.250.500.1250.3750.250.51442241（1442）241（1442）0.30.293245535yxbbbbxxxxxaaaaxedydxedxedxedxedxedxeeeeedxeeee17、确定数值微分公式的截断误差表达式00001（）4（）3（）
（2）2fxfxhfxfxhh此为三点求导前插公式，根据式8.6，有截断误差2（）3hf18、用三点公式求21（）1fxx在1.0,1.1,1.2x处的导数值，并估计误差。
（）fx的值由下表给出：
X11.11.2f（x）0.250.22680.2066本题给出了数表，应属于考核插值型求导公式。
题目明确需要用三点公式求解。
三点求导公式如下：
001210220121（）3（）4（）（）21（）（）（）21（）（）4（）
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