电磁场与电磁波(第4版)第3章部分习题参考解答.pdf
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3.1长度为的线电荷，电荷密度为常数L0l。
（1）计算线电荷平分面上的电位函数；
（2）利用直接积分法计算平分面上的E?
，并用E=?
由
（1）验证
（2）所得结果。
图题图题3.1解：
解：
（1）建立如图题3.1所示坐标系。
根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为/2/2220022/20/202222002200d（,0,0）ln（）44（/2）/2（/2）/2lnln42（/2）/2LLllLLllzzzzLLLLLL=+=+
（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元zld0在点P的电场为00223/2200ddddcos2（）2llzzEeEeezz2=+?
故长为的线电荷在点的电场为LP/2/200223/22200000220dd2（）24（/2）LLlllzzEEeezzzeL=+=+?
由E=?
求，有E?
220022000222200220（/2）/2ln2ln（/2）/2）ln212/2（/2）（/2）4（/2）llllLLEdeLLdeLLLzeL+=+=+=+?
3.2点电荷位于，另一点电荷1qq=1（,0,0）Pa22qq=位于，求空间的零电位面。
2（,0,0）Pa解：
解：
两个点电荷q+和在空间产生的电位2q222222012（,）4（）（）qqxyzxayzxayz=+令（,）0xyz=，则有222222120（）（）xayzxayz=+即222224（）（）2xayzxayz+=+故得22254（）（332）xayza+=由此可见，零电位面是一个以点5（,0,03a）为球心、43a为半径的球面。
3.3电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数分别为1220,cos,aaAa=
（1）求圆柱内、外的电场强度；
（2）这个圆柱是什么材料制成的？
其表面上有电荷分布吗？
试求之。
解：
解：
（1）由E=?
，可得a时，0E=?
a时，22（）cos（）cosaaEeAeA=?
22221cos1sinaaeAeA=+?
（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为n002cosSaaeDeEA=?
3.4已知的空间中没有电荷，试判断下列函数中哪些是可能的电位解？
0y
（1）；
（2）；（3）coshyexcosyex2sincosexx；（4）sinsinsinxyz。
解：
解：
在电荷体密度0=的空间，电位函数应满足拉普拉斯方程。
20=
（1）222222（cosh）（cosh）（cosh）yyyexexexxyz+=2coshyex0所以函数不是空间中的电位解；coshyex0y
（2）222222（cos）（cos）（cos）yyyexexexxyz+=coscos0yyexex+=所以函数是空间中可能的电位解；cosyex0y（3）222222（sincos）（sincos）（sincosexxexxexxyz+）x224sincos2sincosexxexx=+0所以函数2sincosexx不是空间中的电位解；0y（4）222222（sinsinsin）（sinsinsin）（sinsinsin）xyzxyzxyzxyz+3sinsinsin0xyz=所以函数sinsinsinxyz不是空间中的电位解。
0y3.5一半径为0R的介质球，介电常数为r0=，其内均匀地分布着体密度为的自由电荷，试证明该介质球中心点的电位为2r0r02123R+。
解：
解：
由高斯定理dSDSq=?
，得0rR时，3202443RrD=，即30223RDr=，30122003RDEr=故介质球中心点的电位为00003222000r12000r0r00r0021（0）dddd（）363232RRRRRRRrErErrrRr+=+=+=+=33.6电场中有一半径为、介电常数为a的介质球，已知球内、外的电位函数分别为3010020coscos2EraEr=+（ra）02003cos2Er=+（ra）试验证介质球表面上的边界条件，并计算介质球表面上的束缚电荷密度。
解：
解：
在介质球表面上001000003（,）coscoscos22aEaaEEa=+=+02003（,）cos2aEa=+0100002（）3coscoscos22raEEr0E=+02003cos2raEr=+故有12（,）（,）aa=，120rararr=可见，1和2满足球表面上的边界条件。
介质球表面的束缚电荷密度为n20r2（）PSraePeE=?
0020003（）（）cos2raEr=+3.7两块无限大导体平板分别置于0x=和xd=处，板间充满电荷，其体电荷密度为0xd=，极板的电位分别设为0和，如图题3.7所示，求两导体板之间的电位和电场强度。
0U（）x0=0U=0dx图题图题3.7解：
解：
两导体板之间的电位满足泊松方程20=，故得2020d1dxxd=解此方程，得3006xAxBd=+在处，0x=0=，故0B=在xd=处，0U=，故30006dUAdd=+，得0006UdAd=+所以30000066xUdxdd=+20000026xxxUdEeexdd=+?
3.8试证明：
同轴线单位长度的静电储能2e2lqWC=。
式中为单位长度上的电荷量，C为单位长度上的电容。
lq证：
证：
由高斯定理可求得同轴线内、外导体间的电场强度为（）2lqE=内外导体间的电压为ddln22bbllaaqqbUEa=则同轴线单位长度的电容为2ln（/）lqCUba=同轴线单位长度的静电储能为2222e111d2dln222222llblVaqqqbWEVaC=13.9有一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于介电常数分别为1和2的两种介质分界面上，设该分界面为无限大平面。
试求：
（1）导体球的电容；
（2）总的静电能量。
图题图题3.9a21oq解：
解：
（1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上，故有1t2tEE=12EEE=。
由于111DE=、222DE=，所以12DD。
由高斯定理，得1122DSDSq+=，即221222rErEq+=所以2122（）qEr=+导体球的电位212121（）dd2（）2（）aaqqaErrra=+故导体球的电容122（）（）qCaa=+
（2）总的静电能量为2e121（）24（）qWqaa=+3.10两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入介电常数为的液态介质中，两板间加电压U，试证明液面升高02001（）2Uhgd=式中的为液体的质量密度，为重力加速度。
g图题图题3.10dU0Lh解：
解：
设金属板的宽度为a、高度为。
当金属板间的液面升高为h时，其电容为L0（）aLhahCdd=+金属板间的静电能量为0022e01（）22aUUhLhdWC=+液体受到竖直向上的静电力为02ee0（）2aUWFhd=而液体所受重力gFmgahdg=eF与gF相平衡，即200（）2aUahdgd=故得到液面上升的高度2200002（）1（）22UUhdggd=3.11同轴电缆的内导体半径为，外导体内半径为；内、外导体之间填充两层有损耗介质，其介电常数分别为ac1和2，电导率为1和2，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为b。
当外加电压为时，试求：
（1）介质中的电流密度和电场强度分布；
（2）同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。
0U解：
解：
（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由dSJSI=?
，可得电流密度2IJe=?
（）ac介质中的电场1112JIEe=?
（）ab2222JIEe=?
（）bc由于01212ddlnln22bcabIbIcUEEab=+=+?
于是得到120212ln（/）ln（/）UIbacb=+故两种介质中的电流密度和电场强度分别为12021ln（/）ln（/）UJebacb=+?
（）ac20121ln（/）ln（/）UEebacb=+?
（）ab10221ln（/）ln（/）UEebacb=+?
（）bc
（2）同轴电缆单位长度的漏电阻为02112ln（/）ln（/）2UbacbRI+=由静电比拟，可得同轴电缆单位长度的电容为12212ln（/）ln（/）Cbacb=+3.12在电导率为的无限大均匀介质内，有两个半径分别为1R和2R的理想导体小球，两小球之间的距离为d（设、），试求两个小导体球面之间的电阻。
（注：
只需求一级近似解）1dR?
2dR?
解：
解：
此题可采用静电比拟的方法求解。
假设位于介电常数为的介质中的两个小球分别带电荷和，由于两球间的距离、，两小球表面的电位为qq1dR?
2dR?
11211（）4qRdR=，22111（）4qRdR=所以两小导体球面间的电容为1212141111qC2RRdRdR=+由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为1212141111IG2RRdRdR=+故两个小导体球面间的电阻为121111111（）4RGRRdRdR=+2r23.13在一块厚度为d的导体板上，由两个半径为和的圆弧和夹角为1r的两半径割出的一块扇形体，如图题3.13所示。
试求：
（1）沿导体板厚度方向的电阻；
（2）两圆弧面间的电阻；沿方向的两电极间的电阻。
设导体板的电导率为。
1r2rdJ图题图题3.13解：
解：
（1）设沿厚度方向的两电极的电压为U，则有111UEd=，111UJEd=，22111121（）2UIJSrrd=故得到沿厚度方向的电阻为1122122（）UdR1Irr=
（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为U，则2rdISIJ2222=，222JIErd=，2122221dlnrrIrUErdr=故得到两圆弧面之间的电阻为222211lnUrRIdr=（3）设沿方向的两电极的电压为3U，则有UE330dr=由于与3E无关，所以得到33UEer=?
，333UJEer=?
，231332331ddlnrSrdUdUrIJeSrrr=?
故得到沿方向的电阻为3332ln（/）UR1Idrr=3.14有用圆柱坐标系表示的电流分布0（）（）zJeJ=a?
，试求矢量磁位A?
和磁感应强度B?
。
解：
解：
由于电流只有分量，且仅为圆柱坐标ze?
的函数，故A?
也只有分量，且仅为ze?
的函数。
记a和a的矢量位分别为1A?
和2A?
。
由于在a时电流为零，所以211001（）（）zzAAJ=a（）2221（）（）0zzAA=（a）由此可解得310011（）ln9z1AJC=+D（）lnACD222z=+2C2zA式中，C、可由和满足的边界条件确定：
11D2D1zA0时，1（）zA为有限值，若令此有限值为零，则得C10=、。
10D=a=时，12（）（）zzAaAa=12zzaaAA=即300221ln9JaCaD=+，2002113JaCa=由此可解得32013CJ0=a，320011（ln）33DJaa=故3101（）9zA0J=（a）3332000000111113（）ln（ln）（ln）3333zAJaJaaJaa=+a（）空间的磁感应强度为20011（）（）3JBAe=?
（a）3.15无限长直线电流I垂直于磁导率分别为1和2的两种磁介质的分界面，如图题3.15所示，试求：
（1）两种磁介质中的磁感应强度1B?
和2B?
；
（2）磁化电流分布。
10=2=Ixz图题图题3.15解：
解：
（1）由安培环路定理，可得2IHe=?
所以得到0102IBHe=?
22IBHe=?
（2）磁介质在的磁化强度0200（）12IMBHe=?
则磁化电流体密度0m0（）1d1d1（）（）d2dzzIJMeMe0=?
由22IBHe=?
看出，在0=处，2B?
具有奇异性，所以在磁介质中0=处存在磁化线电流mI。
以轴为中心、z为半径作一个圆形回路C，由安培环路定理，有m001dCIIIBl+=?
故得到m0
（1）II=在磁介质的表面上，磁化电流面密度为0m00（）2SzzIJMee=?
3.16已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为0H?
，若此平面电流回路位于磁导率分别为1和2的两种均匀磁介质的分界面上，试求两种磁介质中的磁场强度和。
1H?
2H?
12hl）（11PH）（12PH）（22PH）（21PH图题图题3.16解：
解：
由于是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界面上时，分界面上的磁场只有法向分量，根据边界条件，有12BBB=?
。
在磁介质分界面两侧，做一个尺寸为2的小矩形回路，如图题3.16所示。
根据安培环路定律，有hl11211222d（）（）（）（）CHlHPhHPhHPhHPhI=+=?
（1）因垂直于分界面，所以积分式中H?
0Hl=?
。
这里I为与小矩形回路交链的电流。
对平面电流回路两侧为真空，则有00102d2（）2（）CHlHPhHPh=I?
（2）由于和是分界面上任意两点，由式
（1）和
（2）可得到1P2P122HHH+=0?
即0122BBH+=?
于是得到120122BH=+?
故有2101122BHH=+?
，1202122BHH=+?
3.17证明：
在不同磁介质的分界面上，矢量磁位A?
的切向分量是连续的。
媒质Cn1Alh媒质2A图题图题3.17解：
解：
由由BA=?
得ddSSCdBSASA=l?
（1）在媒质分界面上任取一点，围绕该点任做一个跨越分界面的狭长矩形回路路C，其长为、宽为，且令Plh0h，如图题3.17所示，得120dliCShAlAlAlBS=?
md?
由于B?
为有限值，上式右端等于零，所以120AlAl=?
由于矢量平行于分界面，故有l?
1t2tAA=3.18长直导线附近有一矩形回路，此回路与导线不共面，如图题3.18（a）所示。
试证明直导线与矩形回路间的互感是0221/2221/2ln22（）aRMbRcbR=+ABCRba图题图题3.18（a）PQbQRP1RCAB图题图题3.18（b）解：
解：
设长直导线中的电流为I，则其产生的磁场为02IBr=由图题3.18（b）可知，与矩形回路交链的磁通为100011dd222RSRIaIaIlnR=BSrrR=?
其中22221/22221（）2RCbRCRbbRC=+=+21/2故直导线与矩形回路间的互感为22221/001022221/22lnln22ln22aaRRbbRCMIRRaRRbbRC+=+23.19同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。
内、外导体间填充有磁导率分别为1和2的两种磁介质，如图题3.19所示。
设同轴线中通过的电流为I，试求：
（1）同轴线中单位长度所储存的磁场能量；
（2）同轴线单位长度的自感。
ab12I图题图题3.19解：
解：
同轴线的内外导体之间的磁场沿方向，在两种磁介质的分界面上，磁场只有法向分量。
根据边界条件可知，两种磁介质中的磁感应强度12BBBeB=?
，但磁场强度。
12HH?
（1）利用安培环路定理，当a时，有20022IBa=所以0022IBa=（a）在ab区域内，有12（）HHI+=，即1212（）BBI+=故1212（）IBe=+?
（ab）同轴线中单位长度储存的磁场能量为2220m0011112ddd222abbaaBBBW2=+2201220012122201212111112dd222（）ln16（）abaIIaIIba=+=+
（2）由2m12W，得到单位长度的自感为LI=0m122122ln8（）WbLIa=+3.20如图题3.20所示的长螺旋管，单位长度上密绕匝线圈，通过电流NI，铁心的磁导率为、截面积为S，求作用在它上面的磁场力。
Ix图题图题3.20解：
解：
由安培环路定理可得螺旋管内的磁场为HNI=设铁心在磁场力的作用下有一位移dx，则螺旋管内改变的磁场能量为2220m01ddd（）222WHSxHSxNIS2dx=则作用在鉄心上的磁场力为22m0d1（）d2xIWFNx=常数IS可见，磁场力有将铁心拉进螺旋管的趋势。
3.21一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要做多少功？
xxxqqo图题图题3.21解：
解：
利用镜像法求解。
当点电荷q移动到距离导体平面为x的点处时，其像电荷q，位于点（,处，如图题3.21所示。
像电荷在点（,0,0）Pxq=0,0）xqP处产生的电场为20（）4
（2）xqExex=?
所以将点电荷q移到无穷远处时，电场所作的功为22e200（）dd4
（2）16ddqqWqExrxxd=?
外力所作的功为2e016oqWWd=3.22一个点电荷q放在60的接地导体角域内的点（1处，如图题3.22所示。
试求：
（1）所有镜像电荷的位置和大小；
（2）点处的电位。
?
1,0）（2,1,0）Pq2q1q5q4q3q）0,1,1（）0,1,2（?
60yxo图题图题3.22解：
解：
（1）这是一个多重镜像的问题，共有（21）2315n=个像电荷，分布在以点电荷到角域顶点的距离（即q2）为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，且正负电荷交错分布，如图题3.22所示，它们的带电量和位置分别为=366.175sin2366.075cos2,111?
yxqq=366.0165sin2366.1165cos2,222?
yxqq=366.0195sin2366.1195cos2,333?
yxqq=366.1285sin2366.0285cos2,444?
yxqq=1315sin21315cos2,555?
yxqq
（2）点处电位（2,1,0）P351240123451（2,1,0）4qqqqqqRRRRRR=+=0（10.5970.2920.2750.3480.477）4q+=900.3212.8810（V）4qq=3.23一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为h。
欲使带电体受到的静电力恰好与重力相平衡，电荷的值应为多q少？
（设，）。
3210kgm=0.02mh=解：
解：
将小带电体视为点电荷，导体平面上的感应电荷对的静电力等于镜像电荷q对q的作用力。
根据镜像法可知，镜像电荷为qqqq=，位于导体平面上方处，则小带电体q受到的静电力为h2e204
（2）qfh=令ef的大小与重力mg相等，即2204
（2）qmgh=于是得到8045.910Cqhmg=3.24一个半径为R的导体球带有电荷量为，在球体外距离球心为处有一个点电荷q。
（1）求点电荷与导体球之间的静电力；
（2）证明：
当与Q同号，且QDqq3222（）QRDRqDRD成立时，表现为吸引力。
F?
zRoqQ+qqdD图题图题3.24解：
解：
（1）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。
根据镜像法，像电荷qq和q的大小和位置分别为qDRq=，DRd2=qDRqq=，0=d如图题3.24所示。
导体球自身所带的电荷Q则用位于球心的点电荷Q等效。
故点电荷受到的静电力为qqqqqQqFFFF=+=2200（）4（）4qqqDqDdD+220（/）4（qQRDqRqDDDRD+=2/）
（2）当与同号，且表现为吸引力，即qQF0F时，则应有22（/）0（/）QRDqRqDDDRD+2由此可得出3222（）QRDqDRDR3.25一个半径为a的无限长金属圆柱薄壳，平行于地面，其轴线与地面相距为。
在圆柱薄壳内距轴线为处，平行放置一根电荷线密度为h0rl的长直细导线，其横截面如图题3.25（a）所示。
设圆柱薄壳与地面间的电压为U，求金属圆柱薄壳内、0外的电位分布。
（a）（b）（c）图题图题3.25解：
解：
线电荷l在金属圆柱薄壳内表面引起的感应电荷，用镜像电荷l等效替代，如图题3.25（b）所示，图中ll=，位于200arr=。
圆柱薄壳内任一点的电位为10（,）ln2lRrCR=+式中，22002cosRrrrr=+，222200（/）2（/）cosRrarrar=+因r，a=0lU=，故得000ln2laCUr=则0100（,）ln2lRrrURa=+求圆柱薄壳外任一点的电位时，地面对圆柱薄壳的影响可用镜像圆柱等效替代，如图题3.25（c）所示，图中2Dhha=+2，22dhha=则圆柱薄壳外的电位为22222222020（）（,）lnln22（）llxyhdRxyRxyhd+=+222220（）ln2（）lxyhaxyha+=+2222已知圆柱薄壳的电位为U，即00x=、yha=时，2U0=，故得00222222（）ln（）lUhahahaha=+则2202222222（）ln（）（）ln（）xyhaUhahaxyhahaha+=+22223.26如图题3.26（a）所示，在0z0z0x21（,）sin（）nnnxanyxyBea=（0x）2101（,）sin（）sin（）lnnxaqndnyxyenaa=（0x）3.31如图题3.31所示，在均匀电场0xEeE=0?
中垂直于电场方向放置一根半径为的无限长导体圆柱。
求导体圆柱外的电位和电场强度，并求导体圆柱表面上的感应电荷密度。
a图题图题3.31xyoa0E?
解：
解：
在外电场0E作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场0E的电位0与感应电荷的电位in的叠加。
由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。
在圆柱面坐标系中，外电场的电位为000（,）cosExCEC=+=+式中，常数的值由参考点确定。
而感应电荷的电位Cin（,）应与0（,）一样按cos变化，而且在无限远处为0。
由于导体是等位体，所以（,）满足的边界条件为：
（,）C=0（,）cos（）EC+由此可设101（,）coscosEAC=+由条件，有101coscosEaAaCC+=C于是得到021EaA=故圆柱外的电位为210（,）（）cosaE=+若选择导体圆柱表面为电位参考点，即（,）0a=，则0=C。
导体圆柱外的电场则为2200221（,）
（1）cos
（1）sinaaEeeeEeE=+?
导体圆柱表面的电荷面密度为0000（,）（）2cosSaaeEE=?
3.32如图题3.32所示，一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成4个1/圆柱面，彼此绝缘。
其中，第二象限和第四象限的1/圆柱面接地，第一象限和第三象限的1/圆柱面分别保持电位U和44400U，试求圆柱面内的电位函数。
xyo0U0Ub00图题图题3.32解：
解：
由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为：
（0,）为有限值；00,0/20,/2（,）,3/20,3/22UbU=lqyxoalq0r0图题图题3.33解：
解：
在线电荷作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位lq（,）均为线电荷的电位lq（,）l与极化电荷的电位（,）P的叠加，即（,）（,）（,）lP=+。
线电荷q的电位为l220000（,）lnln2cos22lllqqRrr=+
（1）而极化电荷的电位（,）P满足拉普拉斯方程，且是的偶函数。
介质圆柱内外的电位1（,）和2（,）满足的边界条件为分别为：
1（0,）为有限值；2（,）（,）（）lar=时，12120,rr=由条件和可知，1（,）和2（,）的通解为11（,）（,）cosnlnnAn=+（0）a
（2）21（,）（,）cosnlnnBn=+（a）（3）将式
（1）（3）代入条件，可得到11coscosnnnnnAanBann=（4）110010ln（）cos（）2nnnnnaqlRAnaBnanr=+=（5）当0r时，将lnR展开为级数，有0101lnln（）cosnnRrnrn=（6）代入式（5），得1110011000（）（）cos（2nnnl
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