第24届全国部分地区大学生物理竞赛试题.pdf

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考生类别第第24届全国部分地区大学生物理竞赛试卷届全国部分地区大学生物理竞赛试卷北京物理学会编印北京物理学会编印2007.12.2北京物理学会对本试卷享有版权，未经允许，不得翻印出版或发生商业行为，违者必究。

北京物理学会对本试卷享有版权，未经允许，不得翻印出版或发生商业行为，违者必究。

一二题号11213141516分数阅卷人二题号171819总分分数阅卷人答题说明：

前16题是必做题，满分是100分；文科经管类组只做必做题；非物理B组限做17题，满分110分；非物理A组限做17、18题，满分120分；物理组限做17、19题，满分120分。

请同学们自觉填上与准考证上一致的考生类别，若两者不符，按废卷处理，请各组考生按上述要求做题，多做者不加分，少做者按规定扣分。

答题说明：

前16题是必做题，满分是100分；文科经管类组只做必做题；非物理B组限做17题，满分110分；非物理A组限做17、18题，满分120分；物理组限做17、19题，满分120分。

请同学们自觉填上与准考证上一致的考生类别，若两者不符，按废卷处理，请各组考生按上述要求做题，多做者不加分，少做者按规定扣分。

一.填空题（必做，共12题，每题2空，每空2分，共48分）一.填空题（必做，共12题，每题2空，每空2分，共48分）1.在一个竖直平面内有三个质点A、B、C，某时刻它们恰好位于每边长为2m的正方形三个顶点上，方位如图所示。

设此时C无初速地自由下落，B以1m/s的速度竖直向下运动，A则以初速度vA?

开始自由运动。

不计空气阻力，如果A恰好在C落地时刻同时击中B、C，则C初始离地高度为m，vA?

的大小为m/s.2.金属丝绕着铅垂轴弯成等距螺旋线，螺距cmh2=,旋转圆半径。

在金属丝上。

小珠在第一圈螺旋末端处的水平方向速度大小cmR3=穿一小珠，小珠-由无速度开始下滑，不计摩擦为m/s，总的加速度大小为m/s2。

3.自然光从折射率为n的介质入射到折射率为2n的介质表面上，当入射角取为布儒斯特角1B=时，反射光为线偏振光，其振动方向与入射面（填“平行”或“垂直”）。

考场姓名准考证号所在学校*密*封*线*14在倾角为.匀质圆柱体，0=t开始的斜面上从静止释放，如图所示。

如果圆柱体与斜面间摩擦因数0=,圆平动下滑，0t时刻下滑速度记为柱体0。

若0,但较小，圆柱体会连滚带滑地沿斜面向下运动。

当达到某一临界值0=时，圆柱体恰好能纯滚动地沿斜面向下运动，t时刻质心速度为0的倍。

5.S的半径为气态星球R,密度设为常量,过S中心点的某坐标所示。

在面o-xy如图0,=yRx处有一飞行器P，它具有朝y轴方向的初速度200着0=,P在而后运动过程中受到的气体阻力可忽略。

当0=时，P恰好不会运动到S的表面外，此种情况下，P的运动轨道方程为。

6.在均匀介质中沿x轴传播的平面简谐波，因介质对波的能量吸收，波的平均能流密度大小）（xI随x衰减的规律为xeIxI=0）（,其中0I为0=x处的）（xI值，为正常量。

将0=x处波的振幅记为A,则x=）（x00处的振幅A。

球面简，考虑质对波的能量吸收，将处的振幅记为,则处的振幅保留介质和波的种类，rArr=）（xA改取谐波到介000。

7.理想气体处于平衡态时，根据麦克斯韦速率分布函数kTmvekTmvvf2232224）（=,可导得分子平动动能在到d+区间的概率为=df）（,其中221mv=。

再根据这一分布式，可导得分子平动动能的最可几值P=。

8.一个平均输出功率为的发电厂，热机循环的高温热源温度为MW50KT10001=,低温热源温度为,理论上热机的最高效率为KT3002=。

如果该厂只能达到这个效率的70，为了产生的电功率，每秒需要消耗MW50J的热量。

29.半径R的导体球不带电，在匀强外电场0E?

中已达静电平衡，表面感应电荷面密度分布记为）（0,如图所示。

若使该导体球原带电量,在外电场为0Q0E?

中静电平衡后，导体球受力=F?

*密*封*线*考场姓名准考证号所在学校,表面电荷密度分布为）（0=。

10.北京地区地面附近地球磁场的水平分量记为,竖直向下分量记为。

取电阻为/BBR,半径为r的金属圆环，将环如图1所示竖直放置后，绕着它的竖直直径旋转180，测得流过圆环的电量为。

再让圆环绕着它的东西水平直径如图所示方向旋转900，测得流过圆环的电量为。

据此可导得01Q22Q/B=,B=。

11.顶角为的直角三棱镜，如图1所示。

单色光经空气从斜边射入后，的偏向角为在棱镜中的折射光线与棱镜底边平行。

再从棱镜出射后，相对原入射光线,则棱镜玻璃折射率=n。

假设,再将另一个材料相同的较大直角三棱镜以所示方式拼接在图1的三棱镜右侧。

不改变原入射原入射光线的偏向角?

30=图2光线方位，则从组合棱镜第一次出射到空气的光线相对=。

12.微波探测器P位于湖岸水面上方h处，发射波长为电磁波的射电星位于地平线上方角时，图中所示的直射波线1与反射波线2之间的波程差=。

已知mh5.0=,cm21=,在从接近零度开始增大的过程中,P接收到的信号第一次达到极大值时，。

3二二.基本计算题（必做，共基本计算题（必做，共4题，每题题，每题13分，共分，共52分）分）13.（必做必做）人在岸上用绳小轻拉船，如图所示。

岸高h,船质量m，绳与水面夹角为时，人左离开水面，试行速度和加速度分别为v和a。

（1）不计水的水平阻力，假设船未求人施于绳端拉力提供的功率P；

（2）若0,0vva=（常量），从较小锐角开始，达何值时，船有离开水面趋势即此时水面对船的竖直方向支持力为零）？

414.（必做必做）如图所示，质量gm50=,截面积2cmS=2的均匀薄长试管，初始时直立在水中，露出水面部分的长度cml1=,管10=内上方封入一部分空气，外部大气压强0。

（1）试求管内、外水面的高度差Pap5H；

（2）今将试管缓慢地下压到某一深度时，松手后，试管既不上浮，也不下沉，试求此时试管顶端和管外水面之间的高度差。

考场姓名准考证号所在学校*密*封*线*x515.（必做必做）平行板电容器极板面积为S，中间充满两层介质，它们的厚度，相对介电常数和电阻率分别为111、d和r222、d，两端加恒定不变的rV，如图所示。

电压忽略边缘效应，试求：

（1）两种介质内的电流密度和电场强度；

（2）在两层介质交界面（包括介质1的下端面和介质2的上端面）上的总电荷面密度和自由电荷面密度。

616.（必做必做）

（1）试用玻尔氢原子理论中电子绕核运动轨道角动量量子化条件，导出高能态能量与基态能量

（2）已知nE1间的关系式。

EeVE6.131=,用动能为的电子使处于基态的氢原子激发，而后可能产生的光谱线中波长最短的为972,试求其它可能产生的光谱线的波长。

考场eV9.12oA姓名准考证号所在学校*密*封*线*7三组三组7计算题（每题计算题（每题10分，文管类不做，非物理分，文管类不做，非物理B组限做第组限做第118题；物理组限做第题；物理组限做第17、19题）题）17（文管类组不做，其他组必做）（文管类组不做，其他组必做）题；非物理题；非物理A组限做第组限做第17、惯性系S中有两静质量同为0m的粒子A、B，它们的速度分别沿yx,方，速度大小分别向。

某时刻粒子A位为cc8.06.0、于xy平面上的P处，粒子B也在xy平面上，如图所示。

=

（1）S系认定再过st5,A和B会相碰，试问A认为还需经过多长时间At才与B相碰？

（2）认为自己位于S系P处时，质点B与其相距，试求。

（3）设A、B碰后粘连，且无任何能量耗散，试在S系中计算粘连体的静止质量M0。

llA818.物理物理A组必做，其他组不做）组必做，其他组不做）相关参量如图所示，开始时K未接通，（非（非电路及电容器极板RiR的变化关系；时断开，且将该时刻改记为0,求电容器左极板上电量随时间的变化关系（答案中不可出现R）。

考场上没有电荷。

（1）时刻接通K，导出支路中的电流c和支路中的电流Li随时间0=tC、L、t

（2）设经过一段时间后，ci、Li同时达到各自最大值的二分之一，据此确定CLR、之间的关系；（3）经过足够长的时间，ci可认为已降为零，Li可认为已升为最大值，此K=tqt试姓名准考证号所在学校*密*封*线*919（物理，他组不做）（物理，他组不做）组必做其组必做其在所讨论空间区域内，磁场B?

相对轴对称分布。

引入正的常量x、和磁场0B,B?

的轴向分量和径向分量分别为xBrBTBxrBBxBB2001010）1（0=+=：

BxBBxrBBBxBrxrxrx0000,0,01,）1（=：

、电感的均匀超导（零电阻）圆环，位于质量gm2=、半径100.5cmr5.00=HL8103.1=开始时环内无电流，如图放置，环心0=x点，轴为其中心垂直轴。

设x0=t时刻环具有沿轴方向的平动速度,

（1）已知,求xscmv/500=116=m；

（2）确定而后环沿轴的运动范围。

x10第第24届全国部分地区大学生物理竞赛试卷答案届全国部分地区大学生物理竞赛试卷答案答题说明：

前16题是必做题，满分是100分；文科经管类组只做必做题；非物理B组限做17题，满分110分；非物理A组限做17、18题，满分120分；物理组限做17、19题，满分120分。

请同学们自觉填上与准考证上一致的考生类别，若两者不符，按废卷处理，请各组考生按上述要求做题，多做者不加分，少做者按规定扣分。

答题说明：

前16题是必做题，满分是100分；文科经管类组只做必做题；非物理B组限做17题，满分110分；非物理A组限做17、18题，满分120分；物理组限做17、19题，满分120分。

请同学们自觉填上与准考证上一致的考生类别，若两者不符，按废卷处理，请各组考生按上述要求做题，多做者不加分，少做者按规定扣分。

一.填空题（必做，共12题，每题2空，每空2分，共48分）一.填空题（必做，共12题，每题2空，每空2分，共48分）1.；）/8.9（6.1922smgmg=sm/414.12=.2.smghv/62.0sin2=水平；222222/94.12）（）cossmRvgaaa=+=水平心切（其中：

994.0）2（2sin22=+=RhR,106.0）2（cos22=+=Rhh）3.12arctannnB=；垂直.4.tan310=；320=vv.5.RGv340=；2224Ryx=+.6.xeAxA210）（=；）（21000）（rreArrrA=.7.kTekT23）（2；kTP21=.8.%70121max=TTT；JMJMJWQ81002.110249.050=9.0EQF?

=；204）（）（RQ+=；10.21221/2）2（2rRQQBrRQB=；.11.sin）sin（+=n；.12.060=2sin2=h；06）105.0（arcsin=二二.基本计算题（必做，共基本计算题（必做，共4题，每题题，每题13分，共分，共52分）分）13.（必做必做）人在岸上用轻绳拉小船，如图所示。

岸高h，船质量m，绳与水面夹角为时，人左行速度和加速度分别为和。

va

（1）不计水的水平阻力，假设船未离开水面，试求人施于绳端拉力提供的功率P；

（2）若（常量），0,0vva=从较小锐角开始，达何值时，船有离开水面趋势（即此时水面对船的竖直方向支持力为零）？

解：

参考题解图，很易得到船的左行速度cos/vv船,将对应的绳长记为l，将分解成与,将船v/vv船a?

沿绳指向滑轮方向的分量记为,ra从运动学可导得sinhl=,tansinvvv=船,cosraa船222tansinhvalvaar+=+=（4分）1

（1）人对绳端拉力等于绳内张力T,有TvP=船的重力及水面对船的支持力gm?

N?

都在竖直方向上，故有coscosrmamaT船=可解得分）2（）tansin（coscos2222hvammaTr+=分）2（）tansin（cos222hvamvTvP+=

（2）船在竖直方向无运动，应有sinTmgN=（2分）对,得0,0vva=42022220tantansincoshmvmghmvmgN=（N随增大而减小）0=N时，有420arctanvgh=（3分）14.（必做必做）如图所示，质量,截面积的均匀薄长试管，初始时直立在水中，露出水面部分的长度gm50=22cmS=cml1=,管内上方封入一部分空气，外部大气压强。

Pap5010=

（1）试求管内、外水面的高度差H；

（2）今将试管缓慢地下压到某一深度时，松手后，试管既不上浮，也不下沉，试求此时试管顶端和管外水面之间的高度差x。

解：

（1）管内空气压强,0ghpp+=:

水的密度试管竖直方向力平衡方程为pSmgSp=+0即得cmmSmH2525.0102101050433=（5分）

（2）题文未提及温度变化，应按等温处理。

参考题解图的几何参量，对管内空气有）（）（00lHgHpxhghp+=+（2分）得）（00lHghpgHpxh+=（*）试管竖直方向力平衡方程为SghpmgSgxp）（）（00+=+（2分）得HSmxh=,与（*）式联立，即得gpHllHgpHlHgph000）1）（+=+=代入上式得）8.91025.0101（10）1（3520+=+=gHplHhxcmmx8.41418.0=（4分）23115.（必做必做）平行板电容器极板面积为S，中间充满两层介质，它们的厚度，相对介电常数和电阻率分别为11、rd和222、rd，两端加恒定不变的电压V，如图所示。

忽略边缘效应，试求：

（1）两种介质内的电流密度和电场强度；

（2）在两层介质交界面（包括介质1的下端面和介质2的上端面）上的总电荷面密度和自由电荷面密度。

解：

本题电容器内的电场是直流电路中的恒定电场，电容器正、负极板中仍有不随变化的电量,且满足关系式：

:

电容，U:

极板间电压。

tQQ、CCUQ,=电容器内的介质中有直流电通过，电流密度j?

和场强E?

的关系为1,=Ej?

（1）介质1、2内的电流从上到下，电流强度同为221122211121,ddSVISdRSdRRRVI+=+=两种介质内的电流密度同为+=）（2211ddVSIjj从上到下?

（4分）介质1、2内的场强分别为+=）（22111111ddVjEE从上到下?

+=）（22112222ddVjEE从上到下?

（3分）

（2）参考题解图,在界面作高斯面，根据高斯定理得012SSESE=界面上总电荷密度为2211120120）（）（ddVEE+=（2分）介质1、2内的极化强度分别为221111011101）1（,）1（ddVPEPrr+=?

；221122022202）1（,）1（ddVPEPrr+=?

界面上极化电荷面密度为221122110）1（）1（ddVrr+=下上（3分）界面上自由电荷面密度为2211112200ddVrr+=）（（1分）16.（必做必做）

（1）试用玻尔氢原子理论中电子绕核运动轨道角动量量子化条件，导出高能态能量与基态能量间的关系式。

nE1E

（2）已知,用动能为的电子使处于基态的氢原子激发，而后可能产生的光谱线中波长最短的为972,试求其它可能产生的光谱线的波长。

eVE6.131=eV9.12oA解：

（1）将量子化条件式2nhmvr=（2分）两边平方后得2222224hnrvm=；向心力公式20224rermv=两者联立消去,得2mv2220mehnr=代入轨道能量式rerereremvE020202022848421=得222048nhmeE=,即22041218,hmeEnEEn=（4分）

（2）由21nEEn=可知，最高可激发态为4=n（1分）可能产生的光谱线中波长最短的应为41,由41114141114411615）,（15161615=EhcEhccEEEh?

A97241=（1分）其他可能产生的光谱线波长如下：

42：

?

AEhccEEEh486051615316）（31616341411424212442=（1分）4-3:

?

A18750161571444143=（1分）；3-1：

?

A10251615894131=（1分）3-2:

?

A656116155364132=（1分）；2-1：

?

A12151615344121=（1分）4三计算题（每题三计算题（每题10分，文管类组不做，非物理分，文管类组不做，非物理B组限做第组限做第17题；非物理题；非物理A组限做第组限做第17、18题；物理组限做第题；物理组限做第17、19题）题）50m17（文管类组不做，其他组必做）（文管类组不做，其他组必做）惯性系S中有两静质量同为的粒子A、B,它们的速度分别沿yx,方向，速度大小分别为。

某时刻粒子A位于xy平面上的P处，粒子B也在xy平面上，如图所示。

cc8.06.0、

（1）S系认定再过,A和B会相碰，试问A认为还需经过多长时间才与st5=AtB相碰？

（2）A认为自己位于S系P处时，质点B与其相距，试求。

ll（3）设A、B碰后粘连，且无任何能量耗散，试在S系中计算粘连体的静止质量M0。

解：

（1）已知从粒子某时刻位于S系中的P位置，到粒子A于另一时刻在S系中的另一位置与粒子B相碰，经历的时间，S系用两个静钟测得为st5=,则S系认为A（参考系A）用一个相对S系运动的时钟测得的时间必为stcvtAA4554122=（2分）

（2）S系中B的速度,A系中B的速度便为cuuyx8.0,0=cvuucvvuuAxxAAxx6.012=,ccucvucvuxAyAy52.38.05411222=A系中B的速率为cuuuyxB877.022=+=AB因此，开始时A认为B与其相距lsctu=51.3（3分）（3）碰前,351,45102200220mcvmmmcvmmBBAA=碰后粘连踢质量记为M，速度记为则有yxuu,01235mmmMBA=+=（2分）；cucmcmMuxAx359436.00=（1分）cucmcmMuxBy3516348.00=（1分）2222235337cuuuyx=+=0222012353533711mMcuM=00048.212888mmM=（1分）18.（非物理（非物理A组必做，其他组不做）组必做，其他组不做）电路及相关参量如图所示，开始时K未接通，电容器极板上没有电荷。

6电流随时间的变化关系；同时达到各自最大值的二分之一，据还降为零，可认为已升为最大解：

（1）支路：

（1）时刻接通K，导出支路中的电流ci和支路中的

（2）设经过一段时间后，ci、Li0=tCR、LR、Lit此确定CLR、之间的关系；（3）经过足够长的时间，ci可认已Li值，此时断开K，且将该时刻改记为0=t,试求电容器左极板上电量q随时间t的变化关系（答案中不R）。

RC可出现00,0=+=+qqRiq0=qtRRCCC时解为）1（0RCteCq=,RCtCeRqi=0（2分）RL支路：

00,00=+=LLLLLitLiLRiRidtdiL时解为）1（0tLRLeRi=（2分）（2降为最大值）CiR0的二分之一时刻为2ln21t1RCteRC=降为最大值LiR0的二分之一时刻为2ln）1（212RLtetLR=RLCLR=RCtt=21得（1分）（3）断开K时支路电流原支路电流感作成R，原R、i已消失，但电容器极板电量被保留，0*=tCCLR、Li因电用而被保留，形CL、闭合回路。

初条件为0*=t时，RRiiCqq,0000=回路方程为RidtdiLCq2*=顺时针方向的,对应左极板电量的变化关系为iCq=qdtdqi*02=+LCqqLR回路方程可改过为q（2分）0020,1,02=+故因其中CLRLCLRqq个临界阻尼振动方程，通解为这是一*）（;）（*212*21ttetAAAqietAAq+=+=由初条件可解得0,00012001=CqARLRCRAA即得LCttCeAq*01=（3分）79（物理组必做，其他组不做）（物理组必做，其他组不做）1在所讨论空间区域内，磁场B?

相对x轴对称分布。

引入正的常量、和,磁场0BB?

的轴向分量xB和径向分量rB分别为TBxrBBBxBxBBBxrBBBxBrxrxrx20000001010,）1（00,01,）1（=+=：

质量、半径、电感的均匀超导（零电阻）圆环，开内无电流，如图位于gm2100.5=cmr5.00=HL8103.1=始时环放置，环心0=x点，直轴。

设0=t时刻环具有沿x轴方向的平动速sm/50x轴为其中心垂度v0c=,

（1）已知116=m,求；

（2）确定而轴的运动范后环沿围。

x解：

（1）在01区域，以xr为端面半径，x和dxx+为两端面位1所示高斯圆筒面。

据磁场高斯定理，有置，取图0202r2202rBdxdBrBrBrdxBrBxrrx=+即得182=m（3分）对10x可据高斯定理导得2=。

区域，同样

（2）在01x区域，将环处于位置的速度记为,沿图2（其中xvxe?

为轴方向矢量）方向动x生感应电动势记为V,感应电流记为i,自感电动势记为L,则有dtdi2LvBrrvBLrVLV=+,2,0000dxBrLvdtBrLdi020020=两边积分，因时0=x0=i,取得xBrLi020=（3分）环因此受安培力xBrLriBFrx20402202=与联立，得,其中=xmFx020=+xx11852302006.15103.1100.5）100.5（16=ssmLBr（2分）可见，环因离点，进入0v00=x01x区域后，即作简谐运动，右振幅为mmvvxA2022020102.36.155.0=+=（1分）经过半个振动周期，环返回到时具有大小同为0=xscmv/500=的反向速度。

因对称性，环进入10x区域。

仍作角频率为0的简谐振动，mA2102.3=。

因此，x轴电运动范围为左振幅同为后，环沿0t8（1分）cmxcm2.32.3