高中必修一数学知识点总结.pdf

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第一章第一章集合与函数概念集合与函数概念1.1集合1.1集合1.1.1集合的含义与表示1.1.1集合的含义与表示

（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法自然语言法：

用文字叙述的形式来描述集合.列举法：

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：

x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素.图示法：

用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集（）.1.1.2集合间的基本关系1.1.2集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA（或）ABA中的任一元素都属于B

（1）AA

（2）A（3）若BA且BC，则AC（4）若BA且BA，则AB=或真子集AB（或BA）BA，且B中至少有一元素不属于A

（1）A（A为非空子集）

（2）若AB且BC，则AC集合相等AB=A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A

（1）AB

（2）BA（7）已知集合A有

（1）nn个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集.1.1.3集合的基本运算1.1.3集合的基本运算（8）交集、并集、补集A（B）BABAA（B）名称记号意义性质示意图交集ABI|,xxA且xB

（1）AAA=I

（2）A=I（3）ABAIABBI并集ABU|,xxA或xB

（1）AAA=U

（2）AA=U（3）ABAUABBU补集|,xxUxA且【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|（0）xaa|xaxa|xxa|,|（0）axbcaxbcc+把axb+看成一个整体，化成|xa型不等式来求解

（2）一元二次不等式的解法判别式24bac=00=0的图象一元二次方程20（0）axbxca+=的根21,242bbacxa=（其中12）xx的解集1|xxx|x2bxaR20（0）axbxca+的解集12|xxxx1.21.2函数及其表示函数及其表示BABAAO=OLO1.2.1函数的概念1.2.1函数的概念

（1）函数的概念设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数（）fx和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:

fAB函数的三要素:

定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数

（2）区间的概念及表示法设,ab是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做,ab；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做（,）ab；满足axb，或axb的实数x的集合分别记做,）,（,）,（,（,）aabb+注意：

注意：

对于集合|xaxb与区间（,）ab，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

（）fx是整式时，定义域是全体实数（）fx是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数（）fx是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1tanyx=中，（）2xkkZ+零（负）指数幂的底数不能为零若（）fx是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：

若已知（）fx的定义域为,ab，其复合函数（）fgx的定义域应由不等式（）agxb解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：

观察法：

对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：

将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：

若函数（）yfx=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2（）（）（）0ayxbyxcy+=，则在（）0ay时，由于,xy为实数，故必须有2（）4（）（）0byaycy=，从而确定函数的值域或最值不等式法：

利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：

通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：

利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法1.2.2函数的表示法1.2.2函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：

就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：

就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：

就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:

fAB给定一个集合A到集合B的映射，且,aAbB如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象1.3函数的基本性质1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值1.3.1单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法yo函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当xx11xx22时，都有f（xf（x11）f（x）f（x22），那么就说f（x）在这个区间上是增增函数函数

（1）利用定义

（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当xx11xf（x）f（x22），那么就说f（x）在这个区间上是减减函数函数

（1）利用定义

（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数（）yfgx=，令（）ugx=，若（）yfu=为增，（）ugx=为增，则（）yfgx=为增；若（）yfu=为减，（）ugx=为减，则（）yfgx=为增；若（）yfu=为增，（）ugx=为减，则（）yfgx=为减；若（）yfu=为减，（）ugx=为增，则（）yfgx=为减

（2）打“”函数（）（0）afxxax=+的图象与性质（）fx分别在（,a、,）a+上为增函数，分别在,0）a、（0,a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地，设函数（）yfx=的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有（）fxM；

（2）存在0xI，使得0（）fxM=那么，我们称M是函数（）fx的最大值，记作max（）fxM=一般地，设函数（）yfx=的定义域为I，如果存在实数m满足：

（1）对于任意的xI，都有（）fxm；

（2）存在0xI，使得0（）fxm=那么，我们称m是函数（）fx的最小值，记作max（）fxm=x1x2y=f（X）xyf（x）1f（x）2oy=f（X）yxoxx2f（x）f（x）2111.3.2奇偶性1.3.2奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）f（x）,那么函数f（x）叫做奇函数奇函数

（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）

（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）f（x）,那么函数f（x）叫做偶函数偶函数

（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）

（2）利用图象（图象关于y轴对称）若函数（）fx为奇函数，且在0x=处有定义，则（0）0f=奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象补充知识函数的图象

（1）作图利用描点法作图：

确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0,0,|（）（）hhhhyfxyfxh=+上移个单位下移|个单位伸缩变换01,1,（）（）yfxyfx=伸缩01,1,（）（）AAyfxyAfx=缩伸对称变换（）（）xyfxyfx=轴（）（）yyfxyfx=轴（）（）yfxyfx=原点1（）（）yxyfxyfx=直线（）（|）yyyyfxyfx=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象（）|（）|xxyfxyfx=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去

（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章第二章基本初等函数基本初等函数（）2.1指数函数2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算2.1.1指数与指数幂的运算

（1）根式的概念如果,1nxaaRxRn=，且nN+，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a根式的性质：

（）nnaa=；当n为奇数时，nnaa=；当n为偶数时，（0）|（0）nnaaaaaa=且1）n0的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：

11（）（）（0,mmmnnnaamnNaa+=且1）n0的负分数指数幂没有意义注意口诀：

注意口诀：

底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质（0,）rsrsaaaarsR+=（）（0,）rsrsaaarsR=（）（0,0,）rrrabababrR=2.1.2指数函数及其性质2.1.2指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数（0xyaa=且1）a叫做指数函数图象1a01a=1（0）1（0）1（0）xxxaxaxax=且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN=，其中a叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：

log（0,1,0）xaxNaNaaN=

（2）几个重要的对数恒等式xay=xy（0,1）O1y=xay=xy（0,1）O1y=log10a=，log1aa=，logbaab=（3）常用对数与自然对数常用对数：

lgN，即10logN；自然对数：

lnN，即logeN（其中2.71828e=）（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么加法：

logloglog（）aaaMNMN+=减法：

logloglogaaaMMNN=数乘：

loglog（）naanMMnR=logaNaN=loglog（0,）bnaanMMbnRb=换底公式：

loglog（0,1）logbabNNbba=且2.2.22.2.2对数函数及其性质对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log（0ayxa=且1）a叫做对数函数图象1a01a=log0

（1）log0

（1）log0（01）aaaxxxxxx=，则幂函数的图象过原点，并且在0,）+上为增函数如果0时，若01x，其图象在直线yx=上方，当1时，若01x，其图象在直线yx=下方补充知识二次函数补充知识二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式一般式：

2（）（0）fxaxbxca=+顶点式：

2（）（）（0）fxaxhka=+两根式：

12（）（）（）（0）fxaxxxxa=

（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求（）fx更方便（3）二次函数图象的性质二次函数2（）（0）fxaxbxca=+的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa=顶点坐标是24（,）24bacbaa当0a时，抛物线开口向上，函数在（,2ba上递减，在,）2ba+上递增，当2bxa=时，2min4（）4acbfxa=；当0a时，图象与x轴有两个交点11221212（,0）,（,0）,|MxMxMMxxa=（4）一元二次方程20（0）axbxca+=根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程20（0）axbxca+=的两实根为12,xx，且12xx令2（）fxaxbxc=+，从以下四个方面来分析此类问题：

开口方向：

a对称轴位置：

2bxa=判别式：

端点函数值符号kx1x2xy1x2x0aOabx2=0）（kfkxy1x2xOabx2=k0a0）（aOabx2=k0）（kfxy1x2xOabx2=k0a0）（kfx1kx2af（k）00）（aOkxy1x2xOk0kfk1x1x2k2xy1x2x0aO1k2k0）（1kf0）（2kfabx2=xy1x2xO0a1k2k0）（1kf0）（2kfabx2=有且仅有一个根x1（或x2）满足k1x1（或x2）k2f（k1）f（k2）aO1k2k0）（1kf0）（2kfxy1x2xO0kf0）（2时（开口向上）若2bpa，则（）mfq=02bxa，则（）Mfq=02bxa，则（）Mfp=（）当0a时（开口向下）2bpa，则（）Mfq=（p）（q）（）2bfa（p）（q）（）2bfa（p）（q）（）2bfaf（p）f（q）（）2bfa0x（p）f（q）（）2bfa0xf（p）f（q）（）2bfaf（p）f（q）（）2bfaf（p）f（q）（）2bfa若02bxa，则（）mfq=02bxa，则（）mfp=第三章第三章函数的应用函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：

对于函数）（Dxxfy=，把使0）（=xf成立的实数x叫做函数）（Dxxfy=的零点。

2、函数零点的意义：

函数）（xfy=的零点就是方程0）（=xf实数根，亦即函数）（xfy=的图象与x轴交点的横坐标。

即：

方程0）（=xf有实数根函数）（xfy=的图象与x轴有交点函数）（xfy=有零点3、函数零点的求法：

求函数）（xfy=的零点：

1（代数法）求方程0）（=xf的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数）（xfy=的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：

二次函数）0（2+=acbxaxy），方程02=+cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点），方程02=+cbxax有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程02=+cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点f（p）f（q）（）2bfa0xf（p）f（q）（）2bfa0x