几个导数零点问题的例子.pdf

几个导数零点问题的例子.pdf

《几个导数零点问题的例子.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几个导数零点问题的例子.pdf（3页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

壹会找点基础练习题1:

讨论函数f（x）=2e2xax（x0）的零点个数:

解：

当a60时，f（x）2e2x0恒成立，显然无零点；当a0时，f0（x）=4e2x+ax20恒成立，所以f（x）在（0;+1）上单调递增，且f（a）=2e2a10当b14ln22且ba4时，f（b）0）的零点个数:

解：

f0（x）=ex（1x22x2x2）=ex（x2+4x+1）0）所以f（x）在0;+1）上单调递减；f（x）max=f（0）=1a:

当a1时，f（x）max=1a0:

此时无零点；当a=1时，f（x）max=1a=0:

结合单调性知f（x）有唯一零点0:

当a0:

即f（0）0;当b1且b1a2时，f（b）（12bb2）a（12b）aex0恒成立，显然无零点；当a0时，f0（x）=ex+2ax3（此处进行不下去了，情况太多，考虑分参重来）exax2=0,a=x2ex=g（x）;g0（x）=x（x+2）ex（x=/0）所以g（x）在（1;2）和（0;+1）上单调递增，（2;0）上单调递减，g（x）极大=g

（2）=4e2;g（x）极小=g（0）=0i）当0aa当b1a且b2时，g（b）1a2e1a1a211a3=a:

（苏神教的）由零点存在定理，结合单调性可知：

f（x）在（1;2）上有一个零点当x2（0;+1）时，g（0）=0a由零点存在定理，结合单调性知：

f（x）在（0;+1）上有一个零点即当0a4e2时，f（x）有3个零点1ii）当a=4e2时，x=2为f（x）的一个零点且当x2（1;2）U（2;0）时都有g（x）g

（2）=0;此时无零点当x2（0;+1）时，g（0）=0a由零点存在定理，结合单调性可知:

f（x）在（0;+1）上有一个零点即当a=4e2时;f（x）有两个零点iii）当a4e2时，x2（1;0）时;g（x）6g

（2）=4e2a;此时无零点当x2（0;+1）时，g（0）=0a由零点存在定理，结合单调性可知:

f（x）在（0;+1）上有一个零点即当a4e2时，f（x）有一个零点综上所述：

a60;无零点；0a4e2，一个零点:

4:

讨论函数f（x）=lnx+1xa的零点个数:

解：

f0（x）=1x1x2=x1x2=0）x=1所以f（x）在（0;1）上单调递减，（1;+1）上单调递增:

f（x）min=f

（1）=1ai）当1a0即a1时，f（x）无零点；ii）当1a=0即a=1时，f（x）有唯一零点x=1;iii）当1a1时，f（x）min=f

（1）=1a0当x2（0.1）时，令b14且b1x1xpa1xpa0由零点存在定理，结合单调性知：

f（x）在（0;1）上有一个零点当x2（1;+1）时f

（1）=1a0由零点存在定理，结合单调性知：

f（x）在（1;+1）上有一个零点所以当a1时，f（x）有两个零点:

5:

讨论函数f（x）=exax;（x0）的零点的个数:

解：

当a60时，f（x）ex0恒成立，此时无零点；当a0时，f0（x）=exa=0）x=lnai）当0f（0）=12此时无零点；ii）当a1时，lna0;f（x）在（0;lna）单调递减；（lna;+1）单调递增f（x）min=f（lna）=aalna=a（1lna）当1a0;此时无零点；当a=e时，f（x）min=0;此时有唯一零点x=1;当ae时，f（x）min=f（lna）0由零点存在定理，结合单调性知：

f（x）在（0;lna）有一个零点当x2（lna;+1）时f（a）=eaa20由零点存在定理，结合单调性知：

f（x）在（lna;+1）有一个零点所以ae时，f（x）有两个零点6:

讨论函数f（x）=lnxax，a61e的零点个数:

解：

f0（x）=1xai）当a60时，f0（x）0恒成立，f（x）在（0;+1）上单调递增f（ea）=aaea=a（1ea）60:

f

（1）=a0;由零点存在定理，结合单调性知：

f（x）在（0;+1）有唯一一个零点ii）当a0时，f0（x）=0）x=1a所以f（x）在0;1a上单调递增，1a;+1上单调递减，f（x）max=f1a=ln1aa1a=lna1*a61e:

）lna1;）f（x）max=lna10当a=1e时，f（x）max=0;f（x）只有一个零点；当a0当x21a;+1时，f1a2=ln1a21a1a2r1a=0由零点存在定理，结合单调性知：

f（x）在1a;+1有一个零点当x20;1a时，f

（1）=a0由零点存在定理，结合单调性知：

f（x）在0;1a上有一个零点综上所述：

当a60或a=1e时，f（x）有一个零点；当0a1e时，f（x）有两个零点:

3