数学建模优秀论文B题.pdf

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1小区开放对道路通行的影响摘要交通在城市的可持续发展中起着关键性的作用，老式封闭小区阻碍城市交通体系的发展，因此，研究小区开放对城市道路通行的影响具有重要意义。

对于问题一，本文从周边路网、路段服务水平及交叉口处交通状况三个大的方面来建立评价指标体系，用以分析小区开放对周边道路通行的影响。

其中，周边路网情形主要从车辆通行能力及延误时间两个方面来衡量，路段服务水平选取了道路上行驶车辆的排队长度及饱和度两个指标，而在交叉口处则选择了车头间距和车辆平均行进速度两个指标。

基于以上评价体系，为了客观、定量评价小区开放前后对道路通行的影响，我们选取小区开放前后一天中九个时段的指标值建立投影寻踪评价模型进行评价，运用模拟退火算法求得最优投影方向为（0.4935,0.1349,0.4898,0.4962,0.1956,0.4624），最后求得各样本的投影评价值，并将该小区开放前后的评价值做比较得出相应的结论。

对于问题二，为研究小区开放对周边道路通行的影响，考虑到不同道路结构下交通流的差异，本文将道路结构细分为直行车道、T字型车道以及入闸式车道三种情形分别建立车辆通行模型。

在直行车道上，我们利用微分方程推导出了车速、车辆位置、道路负荷系数等车辆行进特征的模型，类似于直行车道，我们得出了T型车道和入闸式车道的相应指标的模型。

进一步地，我们使用元胞自动机进行仿真模拟，将上述三种道路结构下的车辆行进特征作为元胞演变的规则，仿真得到不同道路结构下车辆通行模型的动态变化图。

对于问题三，我们首先选取了正方形小区和三角形小区两种类型，分别对两种类型小区进行道路结构的设计，其中对于正方形小区设置三种周边道路结构，对于三角形小区设置一种周边道路结构。

然后我们考虑了小区开放前后对高峰期车流量、平常期车流量的影响，利用第一问的评价模型得出开放前后各类型小区不同时期的评价值，在高峰时期和平常时期方形小区的综合评价值分别为1.2543、0.3367，接着利用第二问的模型得出开放前后元胞所表示的车流量变化的平面演化图，结合仿真结果和评价值进行结果分析，得出在不同时期各类型小区开放前后对道路通行的影响。

通过观察，我们发现模型中方形小区T型通道的开通并没有缓解交通拥堵，于是提出此种交通结构符合Breass悖论的猜想，并利用仿真的数据进一步对我们的猜想进行了论证。

最后我们设置元胞自动机中的变道概率和转弯概率在20%范围左右波动，进行敏感性分析，发现评价值的波动在5%的范围内，得出模型稳定性强的结论。

对于问题四，我们根据以上研究得出的结论，从改善交通拥堵、解决安全问题等方面对有关部门提出了相应的建议。

最后，我们对模型进行了中肯的评价和适当的推广。

关键词：

投影寻踪模拟退火算法微分方程模型元胞自动机Breass检验2一问题的重述1.1引言关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见文件的出台，引起了社会各界广泛的关注和热议，小区开放究竟是利大于弊还是弊大于利，每个人都有自己独特的见解。

一方面封闭式小区，堵塞了城市“毛细血管”，增加了交通的压力，阻碍着城市可持续发展；另一方面小区开放后，也会遇到一系列的问题，比如业主权利侵犯的问题，安全问题等。

那么小区开放对道路通行会产生怎样的影响呢？

1.2问题的提出

（1）通过选取构建恰当的评价指标体系，评价小区开放对其周围道路所产生的影响。

（2）通过建立车辆通行的模型，以此为基础分析小区开放对道路通行的影响。

（3）小区开放产生的效果，与诸多因素相关，通过考虑不同类型的小区，在你们构建的模型的基础上，对各类型小区开放前后对交通产生的影响进行定量分析。

（4）依据研究结果，基于交通通行的角度考虑，对城市规划和交通管理部门，提出你们的合理化建议。

二问题的分析2.1问题一要求我们通过建立评价指标体系，以此为基础来分析小区开放对其周围道路通行所产生的影响。

小区开放会增加交通流，其对交通的影响是多方面多层次的，在建立评价指标体系时，采用定性定量分析相结合的原则，通过查阅文献和利用相关知识，我们选取了评价指标，同时对评价指标进行量化，构建评价指标体系，然后结合所选取的评价指标利用投影寻踪法进行综合评价。

2.2问题二要求我们通过建立车辆通行的模型，以此讨论小区开放对周围道路通行所产生的影响。

首先我们把局部道路类型分为不同的情况进行考虑，即直行车道、T字型车道以及入闸式通道，然后在道路类型的基础上研究正常路段以及交叉口路段的车辆通行，最后在正常路段以及交叉口路段，分别研究小区开放前后车辆位置、车速以及道路荷载量的变化，来分析小区开放对道路通行的影响。

2.3问题三通过考虑不同类型的小区，利用所构建的模型，对小区开放前后对交通产生的影响进行定量分析。

我们首先对小区类型进行划分，然后考虑小区周边道路不同的开路类型，由于不同时间段内车流量会存在不同，此时我们模拟每种类型下的小区开放前后的车辆通行状况，以此判断小区开放前后对道路通行的影响。

2.4问题四基于交通通行的角度进行考虑，我们在前三问求解的基础上，通过对小区开放对其周围道路通行所产生的影响的研究，据此我们从不同角度向有关部门提出我们的建议。

三问题的假设3.1假设小区周围交通状况处于理想状态，没有交通意外事故的发生。

3.2假设开放小区后，其内部交通不会发生堵塞。

3.3假设车辆驶入公路时对于车道的选择是随机的。

3.4假设小区周围公路均为双向四车道的主干道，小区内开放通道为次主干道3四符号的说明符号说明2PF信号影响修正系数PR车辆到达率车辆影响系数iz投影特征值R局部密度的窗口半径五模型的建立与求解5.1问题一模型的建立与求解要求我们通过建立评价指标体系，以此为基础来分析小区开放对其周围道路通行所产生的影响。

小区开放会增加交通流，其对交通的影响是多方面多层次的，在建立评价指标体系时，我们采用定性定量分析相结合的原则，通过查阅文献和利用相关知识，我们选取了评价指标，然后结合所选取的评价指标利用投影寻踪法进行综合评价。

5.1.1评价指标的选取为了使评价更具有科学性、全面性以及客观性，我们在选取交通影响度的评价指标时，采用定量指标与定性指标相结合，同时使指标之间具有可比性以及可行性的原则，从三个方面进行选取。

小区开放在一定程度上会增加交通流量1，其作用于周边路网，进而对周边路段的服务水平以及交叉口路段产生影响，因此我们主要从这3个方面进行指标的选取。

结合我国城市发展现状，同时综合考虑影响交通状况的主要因素，我们最终选取了饱和度、排队长度、通行能力、延误、车头间距以及车流平均速度6个指标进行分析。

表1评价指标的选取序号指标1饱和度2排队长度3通行能力4延误5车头间距6平均速度5.1.2评价指标的量化计算

（1）饱和度饱和度是反映路段服务水平的主要指标以及衡量道路通行的重要参数。

若饱和度大于1，则表明此时交通处于拥堵状态；反之若小于1，则出现局部时间以及空间的过饱和现象。

其计算公式如下：

其中iv表示实际交通量，表示阻碍系数，ic表示设计最大车流量iiivxc4

（2）排队长度排队长度主要是用来衡量交叉口状况，车辆在交叉口时，通常来说需要减速以及停车。

当前的排队长度是分析时间段内滞留车辆的平均数和当前来车行程排队的车辆数目之和。

其计算公式如下:

22111111min1.0,LPLLPLLLvgRCsPFvgRCsgvCCQPFgXC其中Lv表示车道到达流量，Ls表示车道饱和流率，C表示信号周期，gC表示绿信比，2PF表示信号影响修正系数，PR表示车辆到达率。

（3）通行能力通行能力是指在单位时段内车辆通过断面的交通流量2，其大小直接影响交通疏散及道路所承受压力的能力。

我们首先计算建议值得出理论上的通行能力，然后求出可能的通行能力，最后依据路段服务水平求解设计通行能力。

其计算公式如下：

3600=/tppNhNNcNNvc理论理论其中N理论/pcnh表示理论通行能力，ths表示平均车头时距，pN/.lnpcnkm表示可能通行能力表示车辆影响系数,c表示交叉口影响系数，/vc表示修正系数。

修正系数在很大程度上有路段服务水平确定，我们查阅相关文献，得出建议值如下表：

表2道路修正系数等级快速路主干道次干道支路修正系数0.750.80.850.9（4）延误延误是指车辆在行驶中，由于交通控制设施失误、受除自身以外其他车辆的影响等的阻碍而造成的时间损失，主要有停车延误、引道延误以及控制延误。

延误可以用来反映司机的状态、油耗以及行驶时间的损失。

我们采用交叉口平均延误进行求解，其计算公式如下：

50.511min1,ggtTTdtxT其中T表示信号周期长度，gt表示有效绿灯时间，x表示饱和度（5）车头间距车头间距是位于同一车道上处于行驶状态下，对前后邻近两辆车辆的车头之间一种距离的度量。

我们根据车头时距来计算车头间距，其计算公式如下：

3.6tshhV其中shm表示车头间距，ths表示车头时距，/Vkmh表示车辆行驶速度（6）车辆平均速度车辆平均速度表示单位时间内车辆的行驶快慢程度和运动方向，其计算公式如下：

svt5.1.3评价指标体系的构建小区开放使交通量增加，作用于周边路网，从而使周围路段的服务水平发生变化以及影响交叉口的交通状况3。

三者之间存在关联性，进而各自所选取的指标之间也相互影响、相互制约，共同作用形成一个有机的整体，因此我们构建的小区交通影响度评价指标体系如下：

图1小区交通影响指标体系描述周边路网服务水平的指标有车流量、车辆的行驶速度、停车延误等，一方面由于在预测情况下，这些指标在获得准确的数据存在一定的难度，同时这些指标与通行能力、延误存在重复性，因此选择通行能力、延误来描述周边路网的影响。

饱和度以及小区交通影响指标路段服务水平饱和度排队长度周边路网通行能力延误时间交叉口车头间距平均速度6排队长度能综合反映交通的拥堵情况，是衡量服务水平的重要参数，因此选择它们来描述路段服务水平。

研究新增加的交通量对交叉口产生的影响，实质上归结于交叉口服务水平的改变，而平均速度特别是高峰时段的车速和车头间距，最能反映交叉口的交通状况，因此选择车头间距、平均速度来描述交叉口的交通。

5.1.4基于投影寻踪的评价模型的建立我们打算通过比较小区开放前后交通状况的改变来判断小区开放的影响，由于我们选择了6个评价指标，这些指标对小区开放前后的交通影响存在很大的差异，这样在进行评价时，容易出现仅根据个别指标，使评价带有主观性。

为了更客观、科学的进行评价，综合考虑各个指标的情况，我们选择投影寻踪进行评价。

投影寻踪法3，通过某种组合使数据样本投影到低维子空间上,并通过极化投影指标,寻找出能反映原数据结构或特征的投影，即寻找出使投影指标函数达到最优的投影值,然后根据该投影值对样本集进行相应的评价。

这样得到的结果在一定程度上解决了仅根据单项指标评价而导致结果不相容的问题，从而可以提高综合评价各层次的分辨力和评价模型的精度。

投影寻踪综合评价模型建立与求解的具体步骤如下：

Step1：

数据的处理

（1）指标的正负向性分析我们选取了5个评价指标，在建立评价模型之前，我们首先要对这些指标的正负向性进行分析，即分析该指标值的大小对道路通行的影响。

表3各个指标的正负向性分析指标正负向性饱和度-排队长度-通行能力-延误-车头间距+平均速度+定义：

正向性：

指标值越大越好；负向性：

指标值越小越好。

（2）归一化处理由于所选取指标的单位不统一，为了消除各评价指标量纲的影响，我们对正负向性不同的指标分别进行归一化处理。

对于正向性指标，归一化公式如下：

minmaxminjjjjjxxxxx对于负向性指标，归一化公式如下：

maxmaxminjjjjjxxxxx其中maxjx为第j列指标的最大值，minjx为第j列指标的最小值。

7Step2:

线性投影从不同的方向或角度去观察数据，寻找最能充分挖掘数据特征的最优投影方向。

设12maaaa为m维单位向量，即为各指标的投影方向向量，则第i个样本在一维线性空间的投影特征值iz的表达式为：

1mijijizax2101jmjjaaStep3:

构造投影指标函数在综合投影值时,要求投影值1,.,6iZi的散布特征满足局部投影点尽可能密集,最好凝聚成若干个点团,而在整体上投影点团之间尽可能散开2。

为此,投影指标函数可构造为:

maxaaQaSD其中aS为投影值1,.,6iZi的标准差,aD为投影值1,.,6iZi的局部密度,即:

616711/1aiaiaijijijijijSZZnDRrRr式中,Z为序列1,.,iZin的均值;R为求局部密度的窗口半径,它的选取既要使包含在窗口内的投影点的平均个数不太少,避免滑动平均偏差太大,又不能使它随着n的增大而增加太快;距离ijijrZZ;Uh为单位阶跃函数，综上所述，得到非线性优化模型:

616711121max/1max/2.=101aaaiaiaijijijijijklklklmijijimjjjQaSDSZZnDRrRrRrmstrzzzaxaa8Step4：

优化投影方向当各指标值的样本集给定时，投影指标函数Qa只随着投影方向的投影寻踪法变化而变化。

不同的投影方向反映不同的数据结构特征，最佳投影方向就是最大可能体现高维数据某类特征结构的投影方向。

因此，可通过求解投影指标函数最大化问题来寻找最佳投影方向目标函数：

maxaaQaSD约束条件：

21.1njjsta这是一个以|1jajn为优化变量的复杂非线性优化问题，运用Lingo等软件难以求出其解，考虑到模拟退火算法具有收敛速度快等特点，我们使用模拟退火算法4来求解最优投影方向。

求解最优投影方向的模拟退火算法模型可以表示为下式：

001（.2/（.2）b1:

（）（）1_0exp（_/）_0*ysqrtbsumbforknbkranddeltaepdeltaeTdeltaeTqT为随机15的（0,1）序列产生新解Step5:

求解投影评价值利用求解所得的最佳投影方向a计算样本的投影指标值：

1nijijjzaxStep6：

求解结果及分析我们利用matlab软件进行编程求解，求解结果如下：

最优投影方向：

（0.4935,0.1349,0.4898,0.4962,0.1956,0.4624）表418组样本的投影评价值样本编号投影评价值样本编号投影评价值1234567892.01591.55330.50330.99351.13400.97310.45211.14931.76761011121314151617182.25601.97950.86261.57321.75591.67261.00971.59582.1200其中，1-9组为该小区开放前各时段的投影评价值，10-18组为该小区开放后各时段的投影评价值。

根据以上结果，小区在高峰期时的评价值普遍偏低，在平常期的评价9值普遍偏高；且小区在开放后的周边道路的交通状况评价值明显提高，说明拥堵状况得到了一定程度上的改善。

5.2问题二模型的建立与求解要求我们通过建立车辆通行的模型，以此讨论小区开放对周围道路通行所产生的影响。

首先我们基于元胞自动机模型，通过规则的考虑，把局部道路类型分为3种情况进行考虑，即直行车道、T字型车道以及入闸式通道，然后从正常路段以及交叉口路段两方面考虑，分别研究小区开放前后车辆位置、车速以及道路负荷量的变化，来分析小区开放对道路通行的影响5。

初步解决思路设置元胞自动设置元胞自动机初始状态值机初始状态值映射到二维元胞自动机映射到二维元胞自动机上并显示初始值上并显示初始值设置演化规则设置演化规则进行演化模拟进行演化模拟循环次循环次数达到数达到输出图像输出图像及各项指标及各项指标YESYESNONO选择基本的道路结构选择基本的道路结构直行道路直行道路TT型交叉口型交叉口入匝式路口入匝式路口通过微分方程推导通过微分方程推导车辆各类通行特征车辆各类通行特征车辆速度车辆速度车辆位置车辆位置道路负荷道路负荷系数系数制定规则制定规则图2求解流程图5.2.1基于直行路段的车辆通行模型的建立Step1:

车道变换的考虑联系实际可知，左右车道都存在一定的概率相互变道，但由于靠边的车道是转向车道，所以车道21,34的概率mp大于车道12,43的概率np图3小区外围道路车道示意图10Step2:

车辆位置与车流量变化某一时刻t车流量的变化为：

10ttmqqqq其中mq表示该时刻末将要驶出该段路的车量数目于是远离交叉口处主干道上车流量的变化公式如下：

101,11,2tmntttdMqMpMpqdt其中,jtM表示t时刻车道j的车流量，mp,np表示两个车道内车辆变道的概率。

Step3:

道路负荷系数道路负荷系数的求解公式为：

ttMxC其中C表示公路的最大荷载量。

Step4:

基于交通流的车速交通流是车辆在道路上连续行驶形成的车流，宏观上交通流可以等于连续可压缩的流体。

我们将物理学中的动量定理引入到交通流的概念中：

00mPMvPMv

（1）其中P表示当前的交通压力，mv是出口处的速度，0v是当前驶入道路车辆的速度。

在元胞自动机的仿真中，我们假定在某一特定的时间段（如高峰期）内驶入车辆的车速不变，驶入的车道变化为随机，则000,0MvSS

（2）对于

（1）式我们对车辆离入口处的距离S做微分0（）PMvMuSSS（3）此时我们再引入车流密度mk，为车流量与速度的比值，mMkv（4）将（4）式带入（3）式得00m（v）1-mmvkPvvvvvvkStSkSS（5）此时我们引入交通流中的连续性方程6（kv）+0mmktS利用分部积分法（）mmmkkvkStt（6）将式（6）带入（5）式得，110（v）1mvkdvPvvdtkSkSS由于模型中车流密度和车流压力是常量，即mk0,0PSt则dvvvdtS（7）对公式（7）进行离散化处理，我们就可以求得每辆车的速度公式：

11（t）（t）nnnnvtvvvttSSt5.2.2基于“T”型交叉口通道的车辆通行模型的建立小区建筑群小区建筑群AA小区建筑群小区建筑群BB图4“T”型交叉口通道示意图Step1:

车量位置与车流量变化当交叉口的交通灯开始转化为绿灯时，此时路口前存在一个排队长度为Q的车流，在我们的仿真模型中，考虑到车辆行驶的安全性，因此我们假定前一辆车启动后，后一辆车在延迟时间T后才启动。

因此建立的车流量位置模型如下：

2max2maxmax0L-（n-1）（+D）,0t0.01fori=l:

itera1=suiji（n）;y1=Target（x,a1）;delta_e=y1-y;ifdelta_e0y=y1;p=a1;elseifexp（delta_e/temperature）rand（）y=y1;p=a1;endendendl=l+1;temperature=temperature*0.99;endw（k）=y;23e（k,:

）=p;endtocdisp（max（w）;%求得各样本投影值ra=e（find（w=max（w）,:

）;fori=1:

12r（i）=sum（x（i,:

）.*a）;endfunctiona=suiji（n）fork=1:

nb（k）=rand（）;endtemp=sum（b.2）;a=sqrt（b.2/temp）;endfunctiony=Target（x,a）m,n=size（x）;fori=1:

ms1=0;forj=1:

ns1=s1+a（j）*x（i,j）;endz（i）=s1;endSz=std（z）;R=0.1*Sz;s3=0;fori=1:

mforj=1:

mr=abs（z（i）-z（j）;t=R-r;ift=0u=1;elseu=0;ends3=s3+t*u;endendDz=s3;y=Sz*Dz;end24附录二：

元胞自动机仿真程序（matlab）clearall;closeall;clc%定义buttonplotbutton=uicontrol（style,pushbutton,.string,Run,.fontsize,12,.position,100,400,50,20,.callback,run=1;）;erasebutton=uicontrol（style,pushbutton,.string,Stop,.fontsize,12,.position,300,400,50,20,.callback,freeze=1;）;number=uicontrol（style,text,.string,1,.fontsize,12,.position,20,400,50,20）;z=zeros（38,4）;cells=z;%元胞矩阵p1=0.4;%变道概率p2=0.4;%转弯概率t1=0;%时间变量t2=0;%时间变量%初始状态cells（1,1）=0;cells（1,2）=1;cells（38,3）=0;cells（38,4）=1;run=0;freeze=0;while1ifrun=%下行forj=1:

37ifcells（j,1）=1&cells（j,2）=0ifrand（）p1cells（j+1,1）=0;cells（j+1,2）=1;elsecells（j+1,1）=1;cells（j+1,2）=0;endend25ifcells（j,1）=0&cells（j,2）=1ifrand（）p1cells（j+1,1）=1;cells（j+1,2）=0;elsecells（j+1,1）=0;cells（j+1,2）=1;endendifcells（j,1）=1&cells（j,2）=1cells（j+1,1）=1;cells（j+1,2）=1;endifcells（j,1）=0&cells（j,2）=0cells（j+1,1）=0;cells（j+1,2）=0;endend%上行forj=38:

-1:

2ifcells（j,3）=1&cells（j,4）=0ifrand（）p1cells（j-1,3）=0;cells（j-1,4）=1;elsecells（j-1,3）=1;cells（j-1,4）=0;endendifcells（j,3）=0&cells（j,4）=1ifrand（）p1cells（j-1,3）=1;cells（j-1,4）=0;elsecells（j-1,3）=0;cells（j-1,4）=1;endendifcells（j,3）=1&cells（j,4）=1cells（j-1,3）=1;26cells（j-1,4）=1;endifcells（j,3）=0&cells（j,4）=0cells（j-1,3）=0;cells（j-1,4）=0;endend%显示图像A,B=size（cells）;Area（1:

A,1:

B,1）=zeros（A,B）;Area（1:

A,1:

B,2）=zeros（A,B）;Area（1:

A,1:

B,3）=zeros（A,B）;fori=1:

Aforj=1:

Bifcells（i,j）=1Area（i,j,:

）=255,222,0;elseifcells（i,j）=0Area（i,j,:

）=0,90,171;endendendArea=uint8（Area）;Area=imagesc（Area）;axisequal;axistight;%计步stepnumber=1+str2num（get（number,string）