轻绳连接物体加速度关系问题辨析.pdf

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2014年6月V0132No11中学物理概念规律辨析轻绳连接物体加速度关系问题辨析王化银（安徽省淮北市第一中学轻绳连接物体加速度关系问题，在高中物理竞赛中属于基本入门内容，近年来在自主招生试题中也已有体现，而在安徽省六校教育研究会2013年高二素质测试中，在所提供的这类题目的参考答案还出了点错误题1（安徽省六校教育研究会2013年高二素质测试）如图1所示，竖直光滑的杆子上套有一滑块A，滑块通过细绳绕过光滑滑轮连接物块曰，B又通过一轻质弹簧连接物块c，c静止在地面上开始用手托住A，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，现将A由静止释放，当速度达到最大时，C也刚好同时离开地面，此时B还没有到达滑轮位置已知：

mA=12kg，m日=1kg，mc=1kg，滑轮与杆子的水平距离L=08吐试求：

（1）A下降多大距离时速度最大；

（2）弹簧的劲度系数；（3）A、B的最大速度是多少?

参考答案

（1）如图2，开始对B分析C离开地面时J&1=m日g，Jh2=Ttcg，的圆形轨道上运动然后再通过反推力发动机使人造卫星变速从圆形轨道进入离月球近月点15km远月点100km的椭圆轨道上环绕之后将进入落月制动阶段，嫦娥三号探测器再次开启反推力发动机，历时720秒使其从近月点15km远月点100km的椭圆轨道上，沿抛物线走400km左右的路程使其速度由17kms减为零，在距月球100m高处通过反推力发动机实现短暂悬停，扫描月球表面地形，避开障碍物寻找着陆点落至月面比较平坦的虹湾区，如果月面有大坑，需要挪个地方它会自行平移，等照相机告诉它月面情况了才会降落，这个过程嫦娥三号在月球的另一面，地面控制中心无法正常指挥完成，需完全依靠嫦娥三号探测器携带的自主导航系统控制，完成降低高度、确定着陆点、实施软着陆等一系列关键动作，当嫦娥三号卫星在100m高处完成悬停观察确定好落地点后，在反推力发动机的作用下将继续下落，直到离月面3m高处再次悬停，此时关掉发动机，探测器自由下落，嫦娥三号探测器实现软着陆由于探测器具有弹性缓冲机构，几条腿都有弹性，落月时不至于摔坏着陆后的嫦娥三号探测器在月球将工作三个月，完成五项科学考察若嫦娥三号探测器在环月轨道上环绕月球运动的近月点15km远月点100km可近似看成离月球平均高度为60km的圆形轨道。

若地球的质量是月球质量的81倍，地球半径为6400km，地球的第一宇宙速度为79kms，月球的半径为1740km，那么嫦娥三号在此轨道上的环绕速度是多大?

解析设地球质量和半径为M、R，月球质量和半径为T,、r，卫星距月球表面的高度为h，地球第一宇宙速度为”。

，嫦娥三号的速度为口：

，96张启迪安徽淮北235000）弋lHBIf!

挑mCiI图l图2此时绳子张力T=（m。

+m。

）g=20N，Tcos0=mAg，COS0=061，p=53。

，h=Lcot#=06m

（2）缸=髫l+石22南一=02m，菇l=石2=01m，五=100Nm（3）对系统乓=m稻（茗。

+工：

）+E，一mAgh+弘gila2+矿?

lIB口2，”B2VACOS0，在地球表面卫星：

雨CM=要，嫦娥三号卫星：

”-2百GM，Gm口；（+r）2一r+h也=嘿=茄“66km4s也2而。

顽j再万叫8假若嫦娥三号卫星距月面3m高处自由下落的时间t=19s，月球半径为r=1740km，则月球的第一宇宙速度为多少?

解析设月球表面重力加速度为go，。

2-OmT落时有=竽，月球第一宇宙速度有GMmm2丁。

mgo2_，=,石or=华=171kms综上所述，卫星从发射到进入预定轨道、工作轨道、再到回收，要经过若干次变轨，要实现轨道半径变大需通过推力发动机对卫星做正功使速度变大来完成，调速的过程是短暂的，调速后卫星再进入新的轨道要使轨道半径变小需依靠反推力发动机做负功实现在变轨过程中若不加干预，卫星会在既定轨道上长期运行下去，只有在稳定轨道上运行的卫星，其运动规律才能用万有引力定律和开普勒三定律来诠释万方数据=学m7s，2一_一s，VB：

2_,-ffms2了一8另附关于本题答案的说明：

B的速度呈单调递增和递减变化，当日的速度最大时处于受力平衡状态，此时日上升02m，绳子拉力为20N，而A下降06m，刚好呈现绳子拉力的分力与A的重力平衡，加速度等于零，速度最大所以本题的刚好能够使A、B的加速度同时为零（本题的数据限制了学生从求导的角度去证明加速度是否能够同时为零）质疑：

A、B的加速度同时为零?

下面以2011清华自主招生试题为例，探究以上的问题题2（2011年清华自主招生试题）如图3，水平高台上有一小车，水平地面上有一拖车，两车之间用一根不可伸长的绳跨过定滑轮相连拖车从滑轮正下方以恒定速度沿直线运动，则在拖车行进的过程中，小车的加速度A逐渐减小B逐渐增大C先减小后增大D先增大后减小斡敲一一幽一1驴分析速度=VcosO，加速度。

=警=d（vdctos0一枷in警，atQt【几何关系x=hcotO，出ld（cot0）1dO”2面5百一2一五万idp口sin20或i2一广，得口=一v2srin30可见几h为定值，显然0减小时，o减小负号表示0不断地减小这个结论在下面的的一道竞赛模拟题中，可以得到更充分的印证题3（竞赛模拟题）质量分别为m。

、的两个小环A、B各套在两根固定的竖直光滑杆上，两杆间的距离为，如图5所示，一根绳子穿过B环，一端连在A环上，另一端连在B环所穿过的杆的杆顶；B环在竖直向下外力F的作用下，以速度口。

匀速向下运动试求：

（1）当两环问的绳与竖直杆的夹角为0时，的值；

（2）B环从0=37。

运动到02=53。

的过程中，力做的功解析设mI=2m,m2一”早F面只就A、B的速度及加速度关系作一讨论速度关系=V0cosO+VCO$O，或”=匕笋。

，图5其中山d（Lco嗡sO。

）Q秽口2i2五一sinOeosO+f1一cosO）sinOdO2C08百面FQIsinOdO2丽百dO”1dtr（口+）sinOsin20LsinO所以口：

粤tan3良口理论拓展分析轻绳连接物体加速度关系，在极坐标中有着更为清晰的物理意义极坐标系中，r=ri，一一一drd一、drdO-：

”2百一dt（）2百。

面J，这里警=警7，誓=一警了，：

=百dv=id面dr。

7）+id（r-dgp7），o2百2i面。

，+iL7J，d，dr、d2r一drdO7百（百）2再。

+-aT百J，苦（r帮）=立dt帮+r一r（警）2了，il7面JJ2一面J丽7吖面，：

=面dv=（塞一r（警）2）了+（rddt220+2面dr面d0J,-J7，径向加速度ar=丽d2rr（警）2，横向加速度=r粤+2面dr面dOtitULUL由于在极坐标中，径向速度和横向速度的方向都随时间而变，所以虽然径向速度”，就等于矢径r的时间变化率崇，但径向加速度则并不等于径向的时间率崇，还有由于横向速度的方向改变所引起的另一项（一r（警2），它也是径向的由以上分析，题1中A、B的加速度同时为零的疑问，也就能得到清晰而正确的回答：

212AcosO，id）B=啦型=垫cosp+（-sinOdtdt鸺dtdt”。

、7d口口1口sinOvAsin20面一一工一TsinO负号表示0不断地减小。

=半=口。

c。

sp+2”j-sin3p，oB=_五一=口cos伊+sln伊或叩。

sp=。

一詈sin3且上式第一项为径向速度大小的改变引起的，第二项为横向速度的方向改变引起的，也是径向的所以，A、B的加速度不会同时为零q一，竺枷学曲面沦讨万方数据