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第第22节节质系动量矩定理质系动量矩定理2/39质点系动量矩定理质点系动量矩定理|质点系的动量矩|质点系动量矩定理|刚体定轴转动微分方程|刚体平面运动微分方程3/39质系对点O的动量矩动量矩（角动量角动量）质系中各质点动量pi对点O之矩的矢量和?

Oiiiim=Lrv质系的动量矩也是度量质系整体运动的基本特征量。

动量矩是一个矢量，它与矩心O的选择有关。

质系的动量矩质系的动量矩Angularmomentum!

ri=rA+iLO=（rA+i）mivii=1nLO=LA+rAmvCLO=LC+rCmvC质系对任意点的动量矩等于质系对质心的动量矩与质系动量对该点之矩的矢量和。

=imivii=1n+rAmivii=1n4/39能否用质点相对于质心平动参考系的相对速度计算质系对质心的动量矩？

LC=imi（vC+vir）i=1nmiii=1n=mCLC=imiviri=1n=LCrLC=imivii=1niv质点的绝对速度?

质系对质心的动量矩?

=0质系相对质心平动参考系的动量矩?

=imivCi=1n+imiviri=1nivi?

ri!

zC?

ivCxyzO?

5/39思考题?

思考题?

LO1=LO+rO1OmvOvO=riLO=rimiviri=rimi（ri）i=miri2iOJ=rO1OmvO=mr2LO1=32mr2返回?

一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，角速度为，质心O点的速度为vo。

求圆盘对水平面上O1点的动量矩。

1OOr6/39质系对任意动点的动量矩定理?

质系对任意动点的动量矩定理?

LA=imivii=1ndLAdt=didtmivii=1n+imiaii=1n（）（）ieiiiimFF=+addiiAt=vv（）ddeAACAmt=+LMvv质系动量矩的变化仅取决于外力系的主矩，内力不能改变质系的动量矩。

dLAdt=MA（e）vAmivii=1n!

7/39质系对任意平动系的对任意平动系的动量矩定理!

xyLA=imi（vir+vA）i=1n=imiviri=1n+miivAi=1n=LAr+mCvAdLAdt=dLArdt+mCvA+mCaAC=vCvA=MA（e）+mvCvA建立平动参考系AxydLArdt=MA（e）mCaA相对平动系Axy运动的动量矩定理dLArdt=MA（e）若C/aA8/39质系对固定点的动量矩定理?

质系对固定点的动量矩定理?

（）ddeAACAmt=+LMvv0A=v（）ddeAAt=LM质系对固定点A的动量矩对时间的一阶导数等于作用在质系上的外力系对同点的主矩?

（）（）（）（）eeeeAxyzMMM=Mi+j+kAxyzLLL=+Lijk（）（）（）ddd,dddyxzeeexyzLLLMMMttt=质系对定轴定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质系的外力系对同轴之主矩?

Axyz为固定坐标系?

对固定点A：

9/39质系对质心的动量矩定理?

质系对质心的动量矩定理?

（）ddeAACAmt=+LMvv（）ddeCCt=LM质系对质心C的动量矩对时间的一阶导数等于作用在质系上的外力系对质心的主矩?

C=LC当外力系对质心的主矩等于零时，质系对于质心的动量矩保持不变?

（）0eC=M（）ddeCrCt=LMvA=vC对质心C：

10/39质系动量矩守恒定理质系动量矩守恒定理?

（）ddeAAt=LM（）0eA=MA=LC当外力系对某定点定点的主矩等于零时，质系对于该点的动量矩保持不变?

（）ddxexLMt=（）0exM=xL=C当外力系对某定轴定轴的主矩等于零时，质系对于该轴的动量矩保持不变?

Conservationofangularmomentum11/39实例分析?

实例分析?

1.在转盘上放一个笔记本电脑?

2.在转盘上站一个人?

转盘为什么越转越快转盘为什么越转越快？

转盘为什么最终会停下来转盘为什么最终会停下来？

12/39实例分析?

实例分析?

双悬翼无尾桨直升机?

单悬翼带尾桨直升机?

双悬翼无尾桨直升机?

13/39实例分析?

实例分析?

14/39SampleProblem7-2-1水平杆AB可绕z轴转动，其两端各与杆AC及BD铰接，杆端各联结质量为m的小球C和D。

起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕z轴的角速度为0。

如某瞬时此细线拉断后，杆AC、BD各与铅垂线成角，如图所示。

不计各杆重量，求这时系统的角速度。

解：

外力系对z轴之矩为零，系统对z轴动量矩守恒。

（）210022zLmaama=（）222sinzLmal=+=a2（a+lsin）205时，复摆的运动为非线性振动。

l叫做复摆的等效摆长复摆的等效摆长，该复摆的运动相当于摆长为l的单摆的运动。

O称为摆动中心。

l=JC+ma2ma=a+a悬挂中心与摆动中心具有互易性。

2CJJma=+JCma=a据此可制作精密测定重力加速度的仪器?

可用复摆法测量刚体的转动惯量?

讨论?

J=JC+ma2l=JC+ma2ma=l如以O点为悬挂点：

21/39讨论?

讨论?

|如果复摆自水平位置释放，求复摆摆至铅垂位置时转动轴的约束力。

J=mgasin2=2mgaJcos=ddt=0:

=90,=0=0:

2=2mgaJ,=0maCn=NnPmaC=NNn=P+ma2=P（1+2ma2J）,N=ma=0aCn=a2,aC=a22/39两个质量为m1和m2的重物分别系在两根不同的绳子上，两绳分别绕在半径为r1和r2并固结在一起的两鼓轮上，如图所示。

设鼓轮对O轴的转动惯量为JO，重为W。

求鼓轮的角加速度和轴承的约束反力。

SampleProblem7-2-5解：

（1）鼓轮的角加速度?

221122（）OOLJmrmr=+2211221122（）（）OJmrmrmrmrg+=1122221122OmrmrgJmrmr=+系统对O轴动量矩：

（2）.轴承约束反力?

质系动量定理?

0OX=112212OmrmrYmgmgW+=0OX=2112212221122（）（）OOmrmrYmmgWgJmrmr=+如果圆轮对轴O的转动惯量未知，如何测量它的转动惯量？

23/39SampleProblem7-2-6齿轮传动?

齿轮传动?

已知：

主动轮I:

J1、r1、Ma。

从动轮II:

J2、r2、Mf。

求：

1、2。

解：

刚体系问题，可拆成两个刚体，作定轴转动?

动力学方程?

运动学方程?

FNF12NaMfMJ11=MaFr11r1=2r2i=12=r2r1J1+r12r22J21=Mar1r2MfJ1+J2i21=MaMfi1=MaMf/iJ1+J2/i2返回?

J22=Mf+Fr21aM2fM24/39刚体平面运动微分方程?

刚体平面运动微分方程?

外力系?

主矢量?

主矩?

刚体平面运动?

平动?

定轴转动?

+质系的动量?

质系的动量?

质系对质心的动量矩?

运动量运动量：

力力：

运动微运动微分方程分方程?

质心运质心运动定理动定理?

对质心的动对质心的动量矩定理量矩定理?

25/39刚体平面运动微分方程?

刚体平面运动微分方程?

刚体相对质心的动量矩?

1nCCriiiriLLrmv=应用质心运动定理和对质心的动量矩定理?

xC=Xii=1nm!

yC=Yii=1nJC!

=mC（Fi）i=1n刚体平面运动微分方程?

ivi=miri2i=1n=JC26/39SampleProblem7-2-7质量为m、半径为R的均质圆盘沿倾角为的斜面上只滚不滑。

试求圆盘的质心加速度和斜面对圆盘的约束力。

不计滚动摩阻。

解：

取x为广义坐标?

mx=mgsinF0=Nmgcos12mR2=FRx=Rx=23gsin1sin3Fmg=cosNmg=12mx=F27/39!

讨论讨论相对运动动量矩定理?

相对运动动量矩定理?

LAr=JA=32mR223sin2mRmgR=2sin3gR=x=23gsindLArdt=MA（e）mCaAaAMA（e）=mgRsinCaA=028/39讨论?

讨论?

v圆盘在斜面上不打滑的条件?

1tan3v若圆盘又滚又滑?

FN=x=g（sincos）=2gRcos1sin,cos3FmgNmg=补充方程：

FNx=23gsinxRv如果圆盘在水平面上作纯滚动，在水平方向没有作用力时，滑动摩擦力为0?

29/39长为l质量为m的均质细杆AB位于铅垂平面内。

开始时杆AB直立于墙面，受微小干扰后B端由静止状态开始沿水平面滑动。

求杆在任意位置受到墙的约束反力（表示为的函数形式）。

不计摩擦。

yxABOSampleProblem7-2-8BYCPAX解：

取为广义坐标：

xC=l2（cos2sin）xC=12lsinyC=l2（sin2cos）yC=12lcos刚体平面运动微分方程：

ml2（cos2sin）=XAml2（sin2cos）=YBmg112ml2=YBl2sinXAl2cos（a）（b）（c）将式（a）和（b）代入（c）：

=3g2lsin2=3gl（1cos）3sin（3cos2）4AXmg=杆脱离墙的条件：

XA=02arccos3=30/39SampleProblem7-2-9半径为r、质量为m的均质圆柱体，在半径为R的刚性圆槽内作纯滚动。

在初始位置0，由静止向下滚动。

求：

1.圆柱体的运动微分方程；?

2.圆槽对圆柱体的约束力；?

3.微振动周期。

RCO31/391.圆柱体的运动微分方程?

maC=m（Rr）=FmgsinmaCn=m（Rr）2=NmgcosJC=Fr圆柱体作平面运动，由刚体平面运动微分方程得：

RCOmgFNaCnaCC*r=（Rr）12m（Rr）=F32（Rr）+gsin=0大幅摆动的非线性运动微分方程?

解?

=（Rr）/raC=（Rr）aCn=（Rr）22.圆槽对圆柱体的约束力?

F=mgsin+m（Rr）N=mgcos+m（Rr）23.微振动的周期?

sin+2g3（Rr）=03（）22RrTg=32/39ABO均质杆AB长为l，质量为m，用两根细绳悬挂。

求当把B绳突然剪断时，杆AB的角加速度和A绳中的张力。

SampleProblem7-2-10ATxcPyx?

Cyc解解：

AB杆的动力学方程：

mxc=mgTAmyc=0211122AmllT=cArtrn=+aaaa0rna=/2rtal=需补充方程后求解?

xc=art=12l32gl=14ATmg=联立求解?

yc=aA=0当突然把绳OB剪断时，如何补充运动学方程？

OABl?

33/39讨论讨论相对运动动量矩定理相对运动动量矩定理?

=3g2lABoyxCycATPxcdLArdt=MA（e）mCaALAr=JA=13ml2MA（e）=12mglCaA=013ml2=12mglOABl?

34/39实例分析?

实例分析?

35/39作业作业7-7讨论讨论已知轴心A、质心C和JA；求LBCABvARBCBCCm=+LLrvLC=JCJC=JAme2?

BABACm=+LLrvLA=JAAiiiim=Lrv（）iiAirim=+rvvCAAmJ=+vvir=ri当点为质心时：

LA=JA当点固定时：

当点为瞬心时：

36/39作业作业7-22讨论讨论OA圆盘固结于杆OAOAAm=+LLrvLA=?

JA圆盘绕A轴转动，相对于杆的角速度为LA=?

0圆盘绕A轴转动，相对于杆的角速度为LA=?

2JA37/39刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程?

刚体一般运动微分方程？

maC=R（e）dLCdt=MC（e）=JCdLCdt=!

dLCdt+LCLC如何求?

JC=ATJCA详见第详见第9章?

章?

LC=rvrdm=r（r）dmLC=r2IrrT）dmJC=r2IrrT）dm=JxJxyJxzJyxJyJyzJzxJzyJzJx=（y2+z2）dmJxy=Jxy=xydmJC!

+JC=MC（e）=r2r（r）dmJx!

x+（JzJy）yz=MxJy!

y+（JxJz）zx=MyJz!

z+（JyJx）xy=Mz一定存在正交矩阵A将实对称阵对角化，相应的坐标系Cxyz称为在惯性主轴坐标系?

惯量矩阵JC与坐标系有关，一般为满阵。

刚体在两个坐标系中的惯量矩阵之间的关系为：

固连系中的刚体动力学方程?

欧拉动力学方程?

38/39本节概念?

本节概念?

|质系的动量矩?

|质系对任意两点的动量矩之间的关系?

|质系对质心的动量矩?

|质系对任意动点的动量矩定理|质系对任意平动系的动量矩定理?

OAACm=LL+rvLC=imiviri=1n=LCrOCCCm=LL+rv（）ddeAACAmt=+LMvv（）ddeAAt=LM固定点：

（）ddeCCt=LM质心：

（）ddxexLMt=固定轴：

Oiiiim=LrvdLArdt=MA（e）mCaA39/39本节概念?

本节概念?

|刚体定轴转动运动微分方程|刚体平面运动方程?

z质心运动定理?

z对质心动量矩定理?

Jz=Mz（Fi）i=1n如何求约束反力？

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