高中数学之函数图形变换.pdf

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1函数平移：

把yf（ax）向右平移m个单位，再向下平移n个单位所得的新解析式为ynf（a（xm））把yf（ax）向左平移m个单位，再向上平移n个单位所得的新解析式为ynf（a（xm））把yf（ax）向左平移m个单位，再向下平移n个单位所得的新解析式为ynf（a（xm））这些规律又可总结为左右平移“x右减左加”，上下平移“y上减下加”函数的轴对称：

y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称定理1：

如果函数（）yfx满足（）（）faxfax，则函数（）yfx的图象关于直线xa对称.定理2：

如果函数（）yfx满足2fxfax，则函数（）yfx的图象关于直线xa对称.定理3：

如果函数（）yfx满足2fxfax，则函数（）yfx的图象关于直线xa对称.定理4：

如果函数（）yfx满足（）（）faxfbx，则函数（）yfx的图象关于直线2abx对称.定理5：

如果函数（）yfx满足（）（）fxfx，则函数（）yfx的图象关于直线0x（y轴）对称.函数的点对称：

y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称定理1：

如果函数（）yfx满足（）（）2faxfaxb，则函数（）yfx的图象关于点（,）ab对称.定理2：

如果函数（）yfx满足22fxfaxb，则函数（）yfx的图象关于点（,）ab对称.定理3：

如果函数（）yfx满足22fxfaxb，则函数（）yfx的图象关于点（,）ab对称.定理4：

如果函数（）yfx满足（）（）0faxfax，则函数（）yfx的图象关于点（,0）a对称.2定理5：

如果函数（）yfx满足（）（）0fxfx，则函数（）yfx的图象关于原点（0,0）对称.含绝对值的函数图象的画法:

一、一、含绝对值的函数常见情况的分类：

含绝对值的函数常见情况的分类：

已知函数Rxxfy,，x叫做函数的自变量；y叫做函数的应变量（函数值）。

对自变量x取绝对值：

Rxxfy,；对应变量y取绝对值：

Rxxfy,；对yx,全都取绝对值：

Rxxfy,；对整个函数取绝对值：

Rxxfy,；对xfx,都取绝对值：

Rxxfy,；部分自变量取绝对值：

Rxxxfy,。

二、二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：

分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：

对自变量x取绝对值：

Rxxfy,【特征分析：

】已知函数Rxxfy,，设yx,是函数图象上任意一点，则该点与点yx,关于y轴对称。

因为点yx,与yx,都在函数xfy上，所以其函数图象关于y轴对称。

【作图步骤：

】3

（1）作出函数xfy的图象；

（2）保留0x时函数xfy的图象；（3）当0x时，利用对称性作出

（2）中图象关于y轴对称后的图象。

【作图展示：

】作函数22xxfy的图象对应变量y取绝对值：

Rxxfy,；【特征分析：

】已知函数Rxxfy,，设yx,是函数图象上任意一点，则该点与点yx,关于x轴对称。

因为点yx,与yx,都在函数xfy上，所以其函数图象关于x轴对称。

【作图步骤：

】

（1）作出函数xfy的图象；

（2）保留0y时函数xfy的图象；（3）当0y时，利用对称性作出

（2）中图象关于x轴对称后的图象。

【作图展示：

】作函数22xxfy的图象4对yx,全都取绝对值：

Rxxfy,；【特征分析：

】已知函数Rxxfy,，设yx,是函数图象上任意一点，它与点yx,关于x轴对称、与点yx,关于y轴对称且与点yx,关于原点对称。

因为点yx,、yx,、yx,与yx,都在函数xfy上，所以函数图象关于x轴、y轴及原点对称。

【作图步骤：

】

（1）作出函数xfy的图象；

（2）保留0,0yx（第一象限）时函数xfy的图象；（3）利用对称性作出

（2）中图象关于x轴、y轴及原点对称后的图象。

【作图展示：

】作函数22xxfy的图象5对整个函数取绝对值：

Rxxfy,；【特征分析：

】已知函数Rxxfy,，当0xf时xfxfy；当0xf时xfxfy。

函数xfy的图象在0xf时不变，在0xf时xfy图象关于x轴对称。

【作图步骤：

】

（1）做出xfy的图象；

（2）保留0xfy的函数图象（x轴上方图象）不变；（3）当0xfy时，利用对称性作出x轴下方图象关于x轴对称后的图象。

【作图展示：

】作函数22xxfy的图象对xfx,都取绝对值：

Rxxfy,【特征分析：

】已知函数Rxxfy,，由于该函数既对自变量取了绝对值，又对应变量取了绝对值，因此可看做是前两种情况的逐步复合，若令xfu（偶函数），则uy。

【作图步骤：

】6

（1）利用xfy的方法步骤作出函数xfu的图象；

（2）利用xfy的方法步骤作出函数uy的图象。

【作图展示：

】作函数22xxfy的图象部分自变量取绝对值：

Rxxxfy,。

【特征分析：

】已知函数Rxxxfy,，这种类型的函数没有统一的特点，必须先利用绝对值的意义去掉绝对值，然后再利用相应的方法作出函数的图象。

特殊作图法：

1、三点作图法三点作图法是画函数）0（|akcbaxky的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V”，故称V型图）。

步骤是：

先画出V型图顶点cab，；在顶点两侧各找出一点；以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数）0（|akcbaxky的图象。

例1.作出下列各函数的图象。

（1）1|12|xy；

（2）|12|1xy。

解：

（1）顶点121，两点（0，0），（1，0）。

其图象如图1所示。

7图1

（2）顶点121，两点（1，0），（0，0）。

其图象如图2所示。

图2注：

当k0时图象开口向上，当k0时图象开口向下。

函数图象关于直线abx对称。

2、翻转作图法翻转作图法是画函数|）（|xfy的图象的一种简捷方法。

步骤是：

先作出）（xfy的图象；若）（xfy的图象不位于x轴下方，则函数）（xfy的图象就是函数|）（|xfy的图象；若函数）（xfy的图象有位于x轴下方的，则可把x轴下方的图象绕x轴翻转180到x轴上方，就得到了函数|）（|xfy的图象。

例2.作出下列各函数的图象。

（1）|1|xy；

（2）|32|2xxy；（3）|）3lg（|xy。

解：

（1）先作出1|xy的图象，如图3，把图3中x轴下方的图象翻上去，得到图4。

图4就是要画的函数图象。

8图3图4

（2）先作出322xxy的图象，如图5。

把图5中x轴下方的图象翻上去，得到图6。

图6就是要画的函数图象。

图5图6（3）先作出）3lg（xy的图象，如图7。

把图7中x轴下方的图象翻上去，得到图8。

图8就是要画的函数图象。

图6图73、分段函数作图法分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。

例3.作出下列函数的图象。

（1）1|22xxy；

（2）|1|1|xxy；（3）|32|2xxy。

解：

（1））0（12）0（121|2222xxxxxxxxy图9就是所要画的函数图象。

9

（2））1

（2）11

（2）1（2|1|1|xxxxxxxy图10就是所要画的函数图象。

（3）|32|2xxy）032（32）032（322222xxxxxxxx）31（32）31（3222xxxxxxx或图11就是所要画的函数图象。

图9图10图11注：

分段函数作图法是画含绝对值函数的图象的常规之法。

三点作图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第（3）小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一试。