高中数学函数部分知识点总结(修正版).pdf
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13591657580（姚老师）1函数部分知识点归纳总结函数部分知识点归纳总结辽宁家教协会内部资料辽宁家教协会内部资料禁止翻印禁止翻印姓名：
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13591657580（姚老师）2第一部分、函数的基本第一部分、函数的基本概念概念1.1.1.1.映射映射:
设A、B是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A到集合B的映射,记作f：
AB.（包括集合A,B及A到B的对应法则）注:
（1）对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射）
（2）集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）（满射即集合B中的每一个元素都有原象。
）对映射概念的认识
（1）f:
AB与f:
BA是不同的,即A与B上有序的.或者说：
映射是有方向的.
（2）集合A,B可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.（3）集合A中每一个输入值,在集合B中必定存在唯一输出值.输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.即：
即：
（iiii）不允许集合不允许集合AA中有空余元素；中有空余元素；（ii）（ii）（ii）（ii）允许集合允许集合BB中有剩留元素；中有剩留元素；（iii）（iii）（iii）（iii）允许多对一，不允许一对多允许多对一，不允许一对多.22.函数函数：
设A、B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应。
称f:
AB为从集合A到集合B的一个函数,记作：
y=f（x）,xA
（1）函数的定义域、值域：
在函数y=f（x）,xA中，xxxx叫做自变量自变量,x的取值范围A叫做函数的定义定义域域；与x的值相对应的yyyy值叫做函数值函数值,函数值f（x）|xA的集合B叫做函数的值域值域.注意:
（i）函数符号y=f（x）与f（x）的含义是一样的;都表示y是x的函数,其中x是自变量,f（x）是函数值,连接的纽带是法则f。
f是单值对应。
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13591657580（姚老师）3（ii）定义中的集合A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；
（2）一个函数的构成要素函数的构成要素：
定义域、值域和对应关系（3）相等函数相等函数：
两函数定义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。
注:
两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。
如函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为-1,1，显然不是相等函数。
因此判断判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系（4）函数的表示方法函数的表示方法：
表示函数的常用解析法、图象法和列表法。
（5）分段函数分段函数:
若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函其值域等于各段函数的值域的并集数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。
（6）复合函数:
设y=f（u），,u=g（x）,当x在u=g（x）的定义域中变化时,u=g（x）的值在y=f（u）的定义域Df内变化,因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,记为：
y=f（u）=fg（x）称为复合函数（compositefunction）,其中x称为自变量,u为中间变量，y为因变量（即函数）。
如：
设f（x）=2x3，g（x）=x2+2则称fg（x）（或gf（x）为复合函数。
fg（x）=2（x2+2）3=2x2+1;gf（x）=（2x3）2+2=4x212x+11辽宁家教协会咨询电话：
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13591657580（姚老师）4第第二二部分、函数的基本性质部分、函数的基本性质一、一、函数定义域的求法：
函数定义域的求法：
分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
正切函数ytan,（,）2xxRkZ=且xk+余切函数ycot,（,）xxRkZ=且xk反三角函数的定义域（有些地方不考反三角,可以不理）函数yarcsinx的定义域是1,1，值域是,22，函数yarccosx的定义域是1,1，值域是0,，函数yarctgx的定义域是R，值域是,22，函数yarcctgx的定义域是R，值域是（0,）.二、函数值域求法：
二、函数值域求法：
11.直接观察法直接观察法:
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
2222.配方法配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；3333.换元法换元法（无理函数，部分三角函数；形如2（+b（+yafxfxc=）的函数）4444.分离常数法分离常数法5555.变量反表示法（变量反表示法（利用变量及已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
）6666.判别式法判别式法（（）2111122222,0axbxcyaaaxbxc+=+形如不同时为分式函数）7777.函数的单调性法函数的单调性法：
a.形如,yaxbcxd=+若ac0用单调性法，ac+=kxkxy，若kxx与不能相等，用单调性法，kxx与能相等，用不等式法（特别关注）0（+=kxkxy的图象及性质）8888.导数法导数法（高次函数）9.不等式法不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如）0（+=kxkxy型函数，当kxx与不能相等时必须用函数单调性）10101010.数形结合法数形结合法辽宁家教协会咨询电话：
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13591657580（姚老师）5三、函数单调性三、函数单调性1111.定义：
定义：
（1）
（1）
（1）
（1）单调函数的定义单调函数的定义一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果定义域I内某个区间D上任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时，若f（x1）f（x2）,则f（x）在D上是增函数增函数.若f（x1）f（x2）,则f（x）在D上是减函数减函数.
（2）
（2）
（2）
（2）单调区间的定义单调区间的定义若函数f（x）在区间D上是是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性单调性，区间D叫做f（x）的单调区间单调区间补注：
补注：
（I）（I）对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点:
（1）函数的单调性是对某一个区间而言的,例如,函数f（x）在区间（1,0）上是减函数，在（0,1）上是减函数,但在（1,0）（0,1）上却不一定是减函数.如函数f（x）1x.
（2）单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替（3）由于定义都是充要性命题,因此由f（x）是增（减）函数,且f（x1）f（x2）x1x2）,这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以互推,如:
yf（x）是定义在1,1上的增函数,你会解不等式f（1x）baxfxxxfxf,）（0）（）（2121在上是增函数；上是增函数；1212（）（）（）0xxfxfxbaxfxxxfxf,）（0）（）（2121在上是减函数上是减函数.2.判断函数单调性的常用方法：
判断函数单调性的常用方法：
定义法、图象法、复合函数法、导数法等（1111）定义法：
定义法：
证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1任取x1，x2D，且x10）；（iii）f（x）g（x）为增函数（f（x）0，g（x）0）；（iv）f（x）为增函数（f（x）0）；奇函数奇函数在对称的两个区间上有相同的相同的单调性单调性；偶函数偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；相反的单调性；互为反函数互为反函数的两个函数在各自定义域上有相同的单调性相同的单调性；4.4.4.4.抽象函数的单调性：
抽象函数的单调性：
抽象函数要紧扣单调性的定义结合题中所给的性质和相应的条件，对任意的x1,x2在所给的区间内，比较f（x1）-f（x2）与0的大小，或（）（）12fxfx与1的大小。
5.5.5.5.对号函数对号函数（）（）,0afxxax=+的单调性：
的单调性：
（i）在（）,0a，（）0,a分别递减；在（）,a，（）,+a分别递增。
（ii）x0时有最小值（）min2ff=aa；x0时，一次函数是增函数；当k0开口向上；aab即a,b同号）时,对称轴在y轴左侧；00与y轴交于正半轴；c0与y轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则00时，开口向上；a0时,抛物线开口向上,在x=h处取最小值ymin=k=f（h）=f（ab2）;在区间（,ab2上是减函数,在ab2,+）上是增函数.（3）当a0为例）（a0的情况）acb42=0=00）的图像ax2+bx+c=0的解有两个不相等实根x1,x2有一个根x0没有实数根ax2+bx+c0的解（）（）12,xx+U0xxRax2+bx+c0的解（）12,xx+URRax2+bx+caaa0000的前提下解题口诀:
小于取中间小于取中间,大于取两边大于取两边.
（2）二次函数图像与x轴交点横坐标是对应一元二次方程的根，也是相应一元二次不等式解的端点；（3）关于不等式恒成立问题不等式恒成立问题，常见的解法有三种：
（i）利用数形结合思想；（ii）利用分离变量，转化为函数最值求解；（iii）与二次函数有关的问题用判别式解决。
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13591657580（姚老师）13ax2+bx+c0恒成立00a；ax2+bx+c0恒成立00a；ax2+bx+c0恒成立00a；ax2+bx+c0恒成立00a5、一元二次方程根的分布问题：
根的分布图像充要条件12xxk12kxx12xkx（）0fk（）1212,xxkk（）（）21212000kabkkfkf12,xx只有一个根在（）12,kk内12（）（）0fkfk；或1211（）=022kkfkkba+，或1222（）=202kkbfakk+0002121xxxx；辽宁家教协会咨询电话：
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13591657580（姚老师）14（II）方程有两个不等的负根0002121xxxx（III）方程有一个正根一个负根0（0）0（0）0acaff，且1n）
（1）1mnnmaa=；
（2）1mnmnaa=.2、根式的性质
（1）（）nnaa=.
（2）当n为奇数时，nnaa=；当n为偶数时，,0|,0nnaaaaaa=，则
（1）rsrsaaa+=.
（2）（）rsrsaa=.（3）（）rrrabab=.注：
若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.（二二）对数：
对数：
1.1.对数的定义对数的定义：
若ab=N,（a0且a1）则bbbb叫做叫做以以aaaa为为底底NNNN的对数的对数，记作：
logaN（a0且a1）指数式与对数式的互化式：
log（0,1,0）baNbaNaaN=.22.对数恒等式对数恒等式：
（a0且a1，N0）（）log1aNaN=；（）2logNaaN=；（）13loglogaNNa=；33.对数性质：
对数性质：
负数和零没有对数；1的对数是零，底的对数是1,即log10a=,log1aa=.44.对数运算法则：
对数运算法则：
（若a0，a1，M0，N0，则）
（1）log（）loglogaaaMNMN=+;
（2）logloglogaaaMMNN=;（3）loglog（）naaMnMnR=.（类似的NnNanalog1log=。
）55.换底公式：
换底公式：
logloglogmamNNa=（a0且a1,m0,且m1,0N）。
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13591657580（姚老师）16推论loglogmnaanbbm=（a0且a1,0mn,且1m,1n,0N）.66.两个特殊对数两个特殊对数:
（:
（11）常用对数：
常用对数：
以10为底的对数，记作：
lgN（2222）自然对数：
自然对数：
以e=2.71828为底的对数，记作：
lnN7.7.常用公式：
常用公式：
bbananloglog=；bnmbamanloglog=；1loglog=abba；ccbabalogloglog=。
（三）指数函数与对数函数（三）指数函数与对数函数名称指数函数对数函数一般形式y=ax（a0,a1）y=logax（a0,a1）0a10a1图象定义域（,）+（,）+（0,）+（0,）+值域（0,）+（0,）+（,）+函数值变化情况当0a1时，1（0）1（0）1（0）xxaxx=1时，1（0）1（0）1（0）xxaxx=当0a1时，0
（1）log0
（1）0（01）axxxx=1时，0
（1）log0
（1）0（01）axxxx=单调性当0a1时，是增函数；当0a1时，是增函数；y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称。
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13591657580（姚老师）17注意：
1.
（1）指数函数指数函数a1时，a越大图像越近y轴；0a1时，a越大图像越近x轴；0a0，且00，且0.对于对于aaaa=0=0的情形的情形,需要单独检验需要单独检验.3.对数换底不等式及其推广：
若a0,b0,x0,1xa,则函数log（）axybx=
（1）当ab时,在1（0,）a和1（,）a+上log（）axybx=为增函数.
（2）当a，0p，0a，且1a，则
（1）log（）logmpmnpn+.
（2）2logloglog2aaamnmn+时，幂函数在0,）+上是增函数；当0=aax，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列
（2）（i）幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；（当当偶奇=时时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.）（ii）幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于y轴对称；（当当奇偶=时时，幂函数是偶函数）（iii）幂指数的分子,分母都为奇数时,图象在第一,第三象限关于原点对称（当当奇奇=时时，幂函数是奇函数；）规律3：
幂指数互为倒数的幂函数幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线xy=对称记住几种常见的幂函数的图象：
（三）（三）幂函数的性质幂函数的性质：
1.
（1）幂函数的图象都过点（1,1）；
（2）任何幂函数都不过第四象限;（3）当0时，幂函数的图象过原点2.当0时,幂函数在0,）+上是增函数;当01111时,幂函数的图象下凹；ii）当00001111时,幂函数的图象上凸；iii）000=奇奇nm
（2）1=奇偶nm（3）1=偶奇nm（4）（4）（4）（4）10=奇奇nm（5）（5）（5）（5）10=奇偶nm（6）（6）（6）（6）10=偶奇nm（7）（7）（7）（7）0=奇奇nm（8）（8）（8）（8）0=奇偶nm（9）（9）（9）（9）0=偶奇nm
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