高中数学函数知识点知识点总结反比例函数对数函数幂函数.docx

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高中数学函数知识点知识点总结反比例函数对数函数幂函数

高中数学函数知识点知识点总结（反比

例函数、对数函数、幕函数）

姓名：

扌旨导:

日期：

一次函数”

（-）函数・

1、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；J

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；"

（3）关系式含有二欠根式时,被开放方数大于等于零；"

（4）关系式中含有指数为孝的式子时,底数不等于零；"

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义・J

（二）—次函数Q

1,一次函数的定义“

—般地,形如尸仗"（上,是常数，且斤工O）的函数，叫做一次函数，其中X是自变量。

当“°时，一次函数尸肚,又叫做正比例函数.亠

（1）-次函数的解析式的形式是V=kx+bI要判断一Φ函数是否是一次函数.就是判断是否能化成以上形式.Q

（2）当“°,“°时，尸心仍是一次函数,

（3）当"O,&=O时，它不是一次函数2

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数2

2、正比例函数及性质＜」

一般地，形如y=kx（k是常数fkH0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数屮

注：

正比例函数TS形式y=⅛（k不为零）Q）k不为零②X指数为1③b取零门

k<0时，直线y=kx经过二四象限r从左向右下降，即随X増大y反而减小，

（1）解析式:

y=kx（k是常数fk≠0）÷j

⑵必过点：

（0.01（Ifk）^

⑶走向：

k>0时.图像经过一、三象限；k<0时.图像经过二、四象限S

⑷增减性:

k>0,y随X的增大而增大；k<0.y随X増大而减小相

3.一次函数及性质Q

→S½,形如y=kx+b（k,b是常数rk≠O）fSP^yDi≡×的一次函数•当b=0时ry=kx

*WvVVVWΛΛ**VAA.

亠b即y=kxf所以说IE比例函数是一种特殊的一次函数屮

注：

一次函数Tg形式y=l密妁（k不为零）①k不为零②X指数为1③b取任意实

数=

一次函数y=k×÷b的图象是经过（0.b）和（--f0）两点的一条直线f我们称它为

VW√V√VKZ⅝A3

直线y=kx+b它可以看作由直线y=k×平移Ibl个单位长度得到.（当b>0时，向上平移;当

V√√VvVV⅛AWW√■

b<0时■向下平移）卩

（1）解析式：

y=kχ÷b（k.b是窜数rk≠OW

WhA%^Z⅛ΛA

（2）必曲:

（0,b）和（+.0）“

（3）走向：

k>0,图象经过第一、三象限；k<0f图象经过第二、四象限'•

b>0r图象经过第一、二象限；b<0,图象坯过第三、四象限<

k>0

CO宜线经过第一・二三象限b>0

λ>0

CO貢线经过第一.三.四象限÷,b<0

fJt<0

LCo直线经过第一・二四象限b>0

⅛<0

LCO直线经过第二三、四象限，b<0

（4）増减性:

k>0.y隧X的増大而増大；k<0,y随X増大而减小屮

（6）图像的平移:

当b>0时.将直线y=kx^[≡象向上平移b个单位；卩

当b<0时.将直线y=kκ的图象向下平移b个单位•

T欠a函数Q

k-kx∙vb∖k≠0）α

kf昭"

“0卩

Xo0

b>3

h<0^

b=OQ

⅛>0p

b<0÷,

b二Z

图象3

厶

7ηX

τr.

性贡Q

F随X的增大而増大P

尹随X的增大而减W

4、一次函数y=kx+b的图象的画法屮

根据几何知识：

经过两点能画出一条直线r并且只能画出一条直线f即两点确定一条直线I所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可•一般情况下：

是先选取

（b\

它与两坐标轴的交点√0,b）fk丿•即横坐标或纵坐标为0的点屮

5、正比例函数与一次函数之间的关系Q

一次函数y⅛x÷b的图象是一条直线■它可以看作是由直线y=⅛∖平移Ibl个单位长度

而得到（当b>0时’向上平移；当b<0时.向下平移N

6、正比例函数和一次函数及性质3

正比例函数Q

一次函数“Q

概念3

一般地r形如y=kx（k是常数r

20）的函数叫做正比例函数，其

中k叫做比例系数J

一般地r形如y=kx÷b（klb是常数rk≠0）f那P么y叫做X的一次函数当b=0时，是y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.Q

自变虽J

范围<

X为全体实数"。

图象门

一条直线"Q

必

（Ol0∖（Ifk）^

（0,b）和（・#,0ZP

走向Q

k>0时，直线经过一、三象限;*

k<0时，直线经过二四象限;

k>0fb>0,直线经过第一、二三象限.P

k>0,b<0直线经过第一、三、四象限

k<0fb>0直线经过第一、二四象限.

k<0fb<0直线经过第二三、四象限<

增减性,、

k>0,y随X的增大而増大；（从左向右上升）

倾斜度J

∣k∣越大,越接近y轴；Ikl越小，越接近X轴匸Q

图像的"

平移"

b>0时，将直线y=坯的图象向上平移Ibl个单P位L

b<0时，将直线y=kxM图象向下平移Ibl个单

位屮

图彖

k>0

k<0

次函数y-kx^b

b>0

6<0

b>0

6、直线y=kxx+bl（Λl≠O）与F=k2x+b2（k2≠Q）的位置关系A

（1）两直线平行oJtI=&且知≠bf

（2）两直线相交OhHh2

（3）两直线重合u>Jtl=处且久=b2v

（4）两直线垂直o火禹=一13

人用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

，

（1）根据已知条件写岀含有待定系数的函数关系式；，

（2）将X.y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系

数为未知数的方程；Q

（3）解方程得出未知系数的值；“

（4）将求岀的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式J

8、一^-次方程与一次函数的关系。

任何F-次方程到可以转化为ax÷b=O（arb为常数ta≠Q）的形式r所以解一元

一次方程可以转化为：

当某个一次函数的值为O时,求相应的自变量的值・从图象上看r相

于已知直线y=ax÷b确定它与X轴的交点的横坐标的值屮9、一次函数与一元一次不等式的关系•

任何一φ~^-次不等式都可以转化为ax÷b>O或ax÷b

VrVVVVrvrVVr*

形式Z所以解一元L次不等式可以看作：

当一次函数值大（小>于0时，求自变屋的取值范围*

10、一次函数与二元一次方程组存

（1以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=--x+-的

VV√√VVV√^ALL

图象相同*

[aγx+b.y=Cl亠UICl

（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=-√x+√-

[n2x+D2y=c2DXDI

和y=-字X十J的图象交点*b1D2

二次函数」

一、二欠函数概念:

1•二欠函数的概念：

n½,形如尸d+加+c（sZ>,是常数，工0）的函数•叫做二欠函数.这里需要强调：

和一元二次方程类似,二欠项系数α工0,而b,c可

以为零.二次函数的定义域是全体实数."

2.二欠函数尸d+hx+c∙的结构特征2

（1）等号左边是函数r右边是关于自变虽X的二欠式小的最高次数是2・3

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当心—时,二欠函数的图像和X轴有两代合的交点叶瓠0•。

特别地F当且仅当b=O时•二欠函数f（x）=ax2+bx+c（αHo）为偶函数.a

1.二次函数基本形式:

尸心的性质2a的绝对值越大，抛物线的开口越小∙a

α的符号Q

开口方向心

标匸

对斶

际、

a>0^

向上&

（0>0）2

尹轴Q

χ>0时丿随X的増大而増大；χ<0时，）•随

K的增大而减小；X=O时.尹有最小值0.2

u<0p

向下a

（0>0）3

x>0时•随X的增大而减小；x<0时•随

X的增大而增大；X=O时，F有最大值02

2.ax2+C的性质：

上力口下减。

a的符号Q

开口方向&

顶鈕标匸

对碍

a>0^

向上9

（O,C）Q

X>0时丿随X的増大而増大；X<0时，，随

X的增大而减小；X=O时，F有最小值c.空

a<0^

向下Q

（O,C）^

βy轴Q

x>0时，y随X的増大而减小；x<0时fF随

X的增大而增大；X=O时，》•有最大值C十

3∙y=α（x-Λ）*的性质：

也口右减

α的符号Q

顶点坐标+

对礙：

开口方向V

向上应

（Λ>O）P

X=h<^

x＞〃时，尹随X的增大而增大；∙X＜方时，y随X的增大而减小；Xi时,），有最小值O.

a<0÷,

向下心

（爪0）卩

x＞力时，y随X的増大而减小；∙X＜方时，y随X的増大而増大；X=力时，F有最大值O/

4.y≈a（x^h）∖k的性质:

a的符号Q

开口方向豪

对m⅛+

a>0^

向上2

（Λ∙Λ）p

X=h<^

x＞∕?

时,y随X的增大而增大；x%时,y随X的増大而减小；X=力时.y有最小值&，

向下Q

（Λ.k）^

X=h÷,

x＞力时，y随工的増大而减小；Λ∙＜方时，y随X的增大而增大；2力时，丿有最大值

三、二次函数图象的平移0

1.平移步骤2

方法—：

（1）将抛物线解析式转化成顶点式尸“（X-Λ）∙+k确定其顶点坐标（〃，k）沪

（2）保持抛物线尸&的形状不变r将其顶点平移到（乩∕c）处（具体平移方法如下Z

2.平移规律心

在原有函数的基⅛上"加直正右移,负左移；&值正上移,负下移”,

概括劲个字切右减.H吓减”,

方法二：

（ι）y=ax2^bX+c沿尹轴平移:

向上（下）平移加个单位ry=ax2+bx+e变成门

y=ax2+bx+c+加（BJCy=ax2+bx+c-nι）*j

⑵y=ax2^bX+c沿轴平移：

向左（右）平移加个单位，y=αx2+bx+c变成

y=a（x+m）2+b（x+m）+c（y=a（x—m）2+b（x-m）+c）÷,

四、二欠函数.y=α（x-Λ）2+&与尸d+bx-C的比较2

从解析式上看,尸a（x-砺+&与尸d+bx÷C是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即尸“；'x+?

T+色工，其中Λ=-±,A=⅛-≤,

∖2aJ4a2a4a

五、二欠函数V=α√+hx+C图象的画法2

五点绘图法：

利用配方法将二欠函数>-α√+加+c化为顶点式尸“（X-府+&,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图•一般我们选取的五点为：

顶点、与丁轴的交点（0,C）、以及（O,C）关于对称轴对称的点（2Λ,c）、与X轴的交点（x：

.0）,（兀，0）（若与X轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴，顶点f与X轴的交点，与y轴的交点屮÷l

六、二）欠函数y=αP+hx+C的性质

1.当“0时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为；一£气口.卩

当_刍时r尹随X的増大而减小；当2-$时rF随X的増大而増大；当・2-上2a2a2a

时，尹有锻小值兰二∙Z

4α

2.当“<0时，抛物线开口向下，对称轴为•顶点坐标为H色H•当

Ia：

、2tz4«Zl

χ<~时，》随工的增大而增大；当x>-上时，〉•随X的增大而减小；当2-上时，2a2a2a

尹有⅞±≡4ac~b.2

七、二）欠函数解析式的表示方法"

1.—般式：

y-a^r÷bx^c（afhtc为常数fα≠0）；÷,

2・顶点式:

y^a（x-Λ）'{afhf&为常数r。

工0）；卩

3.两根式：

F=α（x-χ）（X-XJ（αrθ,兀，x：

朗½物线与X轴两交点的横坐标）.*j

注意：

任{可二欠函数的解析式都可以化成TS式或顶点式”但并非所有的二欠函数都可以写成交点式,只有抛物线与X轴有交点，即b-4血20时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二欠函数解析式的这三种形式可以互化左

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系.

1.二欠项系数"

二欠函数y=α√÷fev÷c中.。

作为二;欠项系数■显然“工0・亠

（1）当α>0时•抛物线开口向上I"的值越大f开口越小•反之G的值越小r开口越大；卩

⑵当α

大•3

总结起来,α决定了抛物线开口的大/」书方向，的正负决定开□方向,μ∣

的大小决走开口的大小•“

2.一次项系数升

在二^项系数。

确定的前提下f乃决定了抛物线的对称轴,

（1）在α>0的前提下，

当z,>o时，-£<0,即抛物线的对称轴在轴左侧；2

当HO时r-A≡or即抛物线的对称轴就野轴；"2a

当农0时，-£>0,即抛物线对称轴在〉•轴的右侧•卫

⑵在XO的前提下I结论冈IJ好与上述相反，即d

当z,>0时，-£>0,即拋物线的对秫轴在》,轴右侧；2

当Ho时,0r即抛物线的对称轴就是y轴；卩

当z,<0时，-£<0,即抛物线对称轴在〉轴的左侧.÷∙

Clb的符号的判定：

对称轴X=-—在y轴左边则必>0,在y轴的右侧Ia

则ab

3.常数项卄

（1）当C>O时，抛物线与.y轴的交点在X轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正尹

（2）当c=0时，抛物线与.）•轴的交点为坐标原点，即抛物线与F轴交点的纵坐标为0評

⑶当c<0时，抛物线与.】•轴的交点在X轴下方，即抛物线与尹轴交点的纵坐标为负屮总结起来，C决定了抛物线与，轴交点的位置,

总之■只要心趴C•都确走■那么这条抛物线就是唯一确定的.d

二次函数解析式的确定：

。

根据已知条件确定二欠函数解析式■通常^用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点■选择适当的形式■才能使解题简便■一般来说，有如下几种情况：

已知抛物线上三点的坐标f一般选用一般式；“

物线顶点或对称轴或蹑大（小）值，一般选用顶点式；誉

3.已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标■_般选用两根式；a

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点F常选用顶点式■a

九、二次函数图象的对称心

二次函数图象的对称一般有五种情况・可以用一般式或顶点式表达Q

定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向r然后再写出其对称抛物线的表达式・A

十、二欠函数与一元二欠方程：

I-二次函数与TB≡｝欠方程的关系（二次函数与X轴交点情况）：

一元二次方程"+加+"O是二次函数.F=αr÷fer÷c当函数值尸O时的特殊情况屮

图象与X轴的交点个数:

“

1当∆=ft^-4O时，圏象与K轴交于两点川（X,0）»Zf（X.0）（Jq≠XJ,其中的

X>X2是—欠方程αp^bX^C-O（a≠0）的两根・这两点间的距离

JrI.I∖∣br-4ac

2当A=O时，图象与工轴只有一个交点；2

3当厶<0时f图象与X轴没有交点

1,当“>0时，图象落在X轴的上方f无论X为任何实数，都有y>0；"

2'当α<0时，图象落在X轴的下方，无论X为任何实数，都有〉，<0.卩

2.抛物线y=α√÷⅛v÷c的图象与）•轴一定相交，交点坐标为（0,c）；a

3.二次函数常用解题方法总结:

“

（1）求二次函数的图象与X轴的交点坐标f需转化为一元二次方程；2

（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；2

（3）根据图象的位置判断二欠函数y=α√÷bt÷c中“Ib"的符号「或由二欠函数中“f

btC的符号判断图象的位置，要数形结合；3

（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标，或

已知与工轴的一T交点坐标,可由对称性求出另T交点坐标屮

Δ≥0÷

抛物线与X轴有

两个交点门

-J欠二项式的值可正、

可零、可如

-it⊂）欠方程有两个卿"。

Δ=0

抛物线与X轴只

有f站

二欠三项式的值为非负<

一元二次方程有两个相等的实数根匸Q

Δ<0

抛物线与X轴无

交点2

二欠三项式的值恒为正

一元二次^程无实数根.QQ

二次函数与一元二次方程.F二次不等式的关茶

从函数观点来看,&

一元二次不等式心2+bx+c>0（«≠0）的解集就是二）欠函数

f（x）=ax2Λ-bx-^c（aHO）的图像上,位于λ-轴上方的点的横坐标的集合；“

TzJ欠不等式α/十bx+c<0（a≠0）的解集就是二欠函数

/（可=卅十亦十c（αKO）的图像上,位于X轴下方的点的横坐标的集合；“

-⅛∑）欠不等式αF+Λ.r+c≥0（α≠0）的解集就是二欠函数

/（r）=α-r2十处十C（QHO）的图像上,位于X轴上方的点和与工轴的交点的横坐标的集合尹

TtZJ欠不等式亿FJrbX+c≤0（a≠0）的解集就是二欠函数

f（x）=ax2+bx+c（aHO）的图像上,位于X轴下方的点和与X轴的交点的横坐标的集合屮

—元二欠方程αx'+bx+e=0（αH0）的解就是二次函数f（x）=ax2+bx+c（aHo）

的图像上r与X轴的交点的横坐标.卩

反比例函数一

1、反比例函数图象：

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中O对称的双曲线“

函级瞬折式

kX5

k<0

kX——

►

丿

増滅性

在每一飲P艮内*X隧X划大而⅛K

在毎一琼

X大而上

0大

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与

坐标轴相交（KHoL“

2、性质+

L当k>0时f图象分别位于第一、三象限f同一个象限内，y随X的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二四象限，同一个象限内,y随X的増大而增大。

卩

f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图像上，位于工轴下方的点和与X轴的交点的横坐标的集合屮

—欠方程αx'+bx+c=O（∕z≠O）的解就是二次函数/（x）=αr2+bx+c（a≠0）

的图像上r与X轴的交点的横坐标•“

反比例函数'

1.反比例函数图象：

反比例函数的图像屈于以原点为对称中心的中心对称的双曲线3

函SKjWtJT式

k>O

k<&

ky-—

•

丿

厂j,

t®減性

在:

毎一SftPR内*y随X增大而妙小

在卑一琼P良内，y随Xt®大而増大

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与

坐标轴相交（KHoL“

2、性质+

l∙⅛k>O时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随X的增大而

减小；当k<0时，图象分别位于二四象限，同一个象限内,y随X的增大而增大。

÷j

2.l<>0时，函数在x<0上同为减函数.在x>0上同为减函数；k<0时•函

数在XVo上为增函数、在x>0上同为增函数°a

定义域为XH0；值域为汗0。

3.因为在y=k∕x（k≠O）中，X不能为Ofy曲能为Of所以反比例函数的图象不可能与X轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点PfQ分别作X轴，y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为SIfS2则S1=S2=∣K∣“

5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中11'对称图形，它有两条对称轴y=χy=-χ（即第一三，二四象限角平分线）,对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=jηχ与反比例函数y=n∕x交于A、B两点（m、n同号）,那么AB两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k∕x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点，则M2+4k∙论（不小于）0。

“

8.反比例函数y=k∕×的渐近线：

X轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=×fy=-x轴对称,并且关于原点中心对称.♦

•VVWVB•

10・反比例上一点m向X、y分别做垂线r交于q.Wf则矩形mwqo（o为原点）的面积为|町卩

ILk值相等的反比例函数重合「k值不相等的反比例函数永不相応*

12.∣k∣越大I反比例函数的图象离坐标轴的距离趣远。

B反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点"

♦J

指数函数・

概念：

一般地•函数y=a^x（a>0f且a≠l）叫做指数函数，其中X是自变星r函数的定义域是R.a

注意:

1•指数函数对外形要求严格，前系数要为1,否则不能为指数函数.“

2.指数函数的定义仅是形式定义。

卫

指数函数的图像与性质:

a>l

OVdVl

Iy-^

图

/（Ql）

y=aκ'

V=I

■

（0<π

（Oj）

象

（OJ）

V=I

■

（1〉定义域：

（2）值域：

（0・+s）

（3）过点（0.1）.UP.r=0时.v=l

（4XEKI：

足增函数（DΛ;RI•是减函数

规

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