数字信号处理基础pdf.pdf

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1数字信号处理数字信号处理数字信号处理数字信号处理（DSP）基础基础基础基础DigitalSignalProcessing编写编写编写编写：

刘馥清刘馥清刘馥清刘馥清2模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号（基本术语基本术语基本术语基本术语）过程过程过程过程：

物理量（位移、速度、加速度、声压、声强、声功率、压强、应力、应变、温度）随时间变化的历程。

信息信息信息信息：

研究问题所关心的过程特征过程特征过程特征过程特征。

信号信号信号信号：

指物理过程通过传感器（也称换能器）转换成的电信号电信号电信号电信号。

信号是信息的载体信号是信息的载体信号是信息的载体信号是信息的载体。

信号处理即从信号获取有用信息信号处理即从信号获取有用信息信号处理即从信号获取有用信息信号处理即从信号获取有用信息。

连续信号连续信号连续信号连续信号：

幅值随时间连续变化的信号。

离散信号离散信号离散信号离散信号：

只在离散时刻取值的信号。

通常对连续信号采（抽）样而得到。

模拟信号模拟信号模拟信号模拟信号：

未经数字化处理的连续信号。

数字信号数字信号数字信号数字信号：

数字化的离散信号，适用于计算机处理。

A/D模拟信号数字信号A/D：

AnalogtoDigitalConversion注：

数字信号处理的重要基础傅里叶变换：

对连续信号）（）（fXtxFT：

（）（）dtetxtxFfXftj2）（=IFT：

dfefXfXFtxftj21）（）（）（=对数字信号knXxDFT：

NnkNnnkkxfkXfXX/j210eN1）（）（=（k=0,1,N-1）IDFT：

NnkNkknnXtnxtxx/j210e）（）（=（n=0,1,N-1）3物理过程与信号的分类物理过程与信号的分类物理过程与信号的分类物理过程与信号的分类

（一）

（二）（三）振动过程周期过程非周期过程简谐过程复杂周期过程随机过程准周期过程确定性过程平稳随机非周期过程准周期过程非平稳随机振动过程瞬态过程复杂周期过程瞬态过程周期过程简谐过程各态历经平稳随机非各态历经各态历经随机过程非平稳随机非各态历经周期过程随机过程准周期过程振动过程非平稳过程平稳过程确定性过程瞬态过程连续过程45简谐过程两种数学表达形式简谐过程两种数学表达形式简谐过程两种数学表达形式简谐过程两种数学表达形式1三角函数形式三角函数形式三角函数形式三角函数形式（）（）+=tAtxsinA振幅初相角角频率（rad/s）=2=2/Tf频率（Hz）T周期（s）2复指数形式复指数形式复指数形式复指数形式（）（）1=+jeAAetxtjtj其中jAeA=复振幅复振幅复振幅复振幅（复振幅是相量相量相量相量Phasor，有别于矢（向）量Vector）相互关系：

（）tAtAtAsincoscossinsin+=+tAtAsincos21+=sincosjAAAej+=）（sin）（cost+=+tjAtAAe）j（6欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式的几何意义的几何意义的几何意义的几何意义：

（）（）tjtjtjtjeAeAeeAtA+=+=222cos1111（）=212222222sintjtjtjtjeAeAeejAtA=21jejj，2221AAA+=，21AAarctg=欧拉公式的几何意义7周期过程展开为傅里叶级数周期过程展开为傅里叶级数周期过程展开为傅里叶级数周期过程展开为傅里叶级数周期信号周期信号周期信号周期信号（）（）kTtxtx+=k整数，T周期令T21=（称为基频），则（）tx可展开为傅里叶三角级数傅里叶三角级数傅里叶三角级数傅里叶三角级数：

（）（）=+=1110sincosnnntnbtnaatx（）=+=110sinnnntncc其中00ac=，22nnnbac+=，nnnbaarctg=2201TTtdxTa=221cos2TTntdtnxTa=221sin2TTntdtnxTb（n=1、2、3、）8傅里叶级数的复指数形式傅里叶级数的复指数形式傅里叶级数的复指数形式傅里叶级数的复指数形式Fourierseries缩写为FS（）（）=+=1011ntnjntjnneXeXXtx或（）=ntnjneXtx1（）=2211TTtnjntdetxTX其中nnjnjnneXeXX=nnnnncbaXX212122=+=*nnXX=,即nX为nX的共轭复数：

（）nnnjbaX=21（）nnnjbaX+=21nnnnbaarctg=000caX=，00=9周期过程相量频谱的三维表示10周期信号的特征参数周期信号的特征参数周期信号的特征参数周期信号的特征参数1峰值峰值峰值峰值px（P：

peak）峰峰值峰峰值峰峰值峰峰值ppx2平均绝对值平均绝对值平均绝对值平均绝对值avx（av：

average）tdxTxTav=013均值均值均值均值x或x（：

mean）tdxTxTx=01000Xcax=（称直流分量或DC分量）4均方值均方值均方值均方值（平均功率）P或2x（p：

power）tdxTxPT=0221=+=nnnnnnnXXXccP*2212025均方根值均方根值均方根值均方根值（有效值有效值有效值有效值）rmsx（rms：

rootofmeansquare）=TrmsdtxTx021正弦信号：

pprmsxxx707.022=ppavxxx637.02=111.142=avrmsxx11周期矩形波的幅值谱和功率谱周期矩形波的幅值谱和功率谱周期矩形波的幅值谱和功率谱周期矩形波的幅值谱和功率谱（）=ntnjneXtx1平均功率为：

=nnnnnnnSXXXP*2双边功率谱：

2*nnnnXXXS=n=0,1,2,单边功率谱：

=022020ncSncSGnnnn例：

周期矩形波周期矩形波周期矩形波周期矩形波（a）双边幅值谱双边幅值谱双边幅值谱双边幅值谱12（b）双边功率谱双边功率谱双边功率谱双边功率谱（c）单边功率谱单边功率谱单边功率谱单边功率谱（d）（d）（d）（d）有效值谱有效值谱有效值谱有效值谱13傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换非周期过程非周期过程非周期过程非周期过程：

令T,dT=21,1n，,（）（）dXnXXn=1（）=2211TTtjnntdetxTX（）（）=tdetxXtj21（）=ntjnneXtx1（）（）=deXtxtj令（）（）XfX2=，f2=，dfd2=则（）=fX（）（）=tdetxtxFtfj2（）（）（）=fdefXfXFtxtfj21FT（）tx（）fXIFTFT:

FourierTransform傅里叶变换IFT：

InverseFourierTransform傅里叶逆变换14矩形脉冲的傅里叶频谱矩形脉冲的傅里叶频谱矩形脉冲的傅里叶频谱矩形脉冲的傅里叶频谱矩形脉冲（）=20,2ttAtx（）（）（）ffAtxFfXsin=（）（）（）fjefXfX=幅值谱（）（）ffAfXsin=相位谱（）（）+=1212,122,0nfnnfnfn为整数15（a）幅值谱幅值谱幅值谱幅值谱（b）相位谱相位谱相位谱相位谱（c）相量谱相量谱相量谱相量谱16ESD&PSD对能量有限信号能量有限信号能量有限信号能量有限信号，如瞬态信号如果（）（）fXtxFT则取（）（）（）fXfXfSx*=称之为（）tx的能量谱密度函数能量谱密度函数能量谱密度函数能量谱密度函数或ESD（EnergySpectrumDensity）。

有（）=tdtxE2（）=dffSxESD单位：

HzSV2，HzSg2，LHzSN2对功率有限信号功率有限信号功率有限信号功率有限信号，如平稳随机信号令（）（）fXtxTFTT（T表示截断）取（）（）（）fXfXTfSTTTx*1lim=称之为（）tx的功率谱密度函数功率谱密度函数功率谱密度函数功率谱密度函数或PSD（PowerSpectrumDensity）（）fSx双边谱（）fGx单边谱（）（）=0002fffSfGxx（）（）（）dffGdffSdttxTPTTTlim=02221上式称为Perceval定理。

（单边谱与双边谱的关系同样适用于ESD）PSD单位：

HzV2，Hzg2，LHzN2（区别于ESD和和和和PSD，称X（f）为线性谱）17傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换（FT）的重要性质的重要性质的重要性质的重要性质设（）=txF（）fX，（）（）fYtyF=1线性性线性性线性性线性性：

（）（）（）（）fbYfaXtbytaxF+=+2对称性对称性对称性对称性：

（）（）fxtXF=证：

（）（）=dfefXtxtfj2（）（）=dfefXtxtfj2将t和f互换得：

（）（）=t2detXfxtfj（）tXF=当（）tx是偶函数时（）（）txtx=（）tXF（）（）fxfx=3时频展缩时频展缩时频展缩时频展缩：

（）kfXkktxFT1ktxk1（）kfXFT证：

设ktkt=,，kddt/=（）ktxF（）=dexkkfj21=kfXk1184时移和频移时移和频移时移和频移时移和频移：

（）（）020tfjFTefXttx（）tfjetx02（）0ffXFT证：

设0tt=，0tt+=（）0ttxF（）（）+=dextfj02（）=dexefjtfj220（）02tfjefX=又（）tdeetxtfjtfj220（）=dtetxtffj）（20（）0ffX=5微分微分微分微分：

（）ffXjdtdxFT2（）（）fXfjdtxdnFTnn26666积分积分积分积分：

（）（）fXfjdxFTt21197卷积定理卷积定理卷积定理卷积定理：

（）（）（）（）fYfXtytxFT*（）（）（）（）fYfXtytxFT*其中（）（）（）（）=txtytytx*（）（）dtyx（）（）fYfX*（）（）fXfY*=（）（）dfYX=证明：

（）（）=tytxF*（）（）dtyxdtetfj2=（）（）ddtetyxtfj2=（）（）fYxdefj2=（）（）xfYdefj2=（）（）fYfX20冲激函数冲激函数冲激函数冲激函数（）t冲激函数，也称函数，或狄拉克（Dirac）函数。

定义（）=000ttt（）1=dtt（）=0000tttttt（）10=dttt可视之为宽度为，幅值为1/的矩形脉冲在0的极限情况。

用冲激函数激励系统，产生的响应称为冲激响应冲激响应冲激响应冲激响应，表为）（th。

系统的冲激响应）（th与系统的频响频响频响频响函数函数函数函数）（fH为傅里叶变换对，即（）（）fHIFTFTth）（）（）（）（）fXfYtxFtyFfH=（）fXfHfY（=dthxtxthty）（）（）（此即振动理论中所谓Duhamel积分。

系统（t）Y（t）x（t）h（t）21（）t的重要性质的重要性质的重要性质的重要性质1抽样特性抽样特性抽样特性抽样特性：

（）（）=dttxt（）（）（）00xdtxt=（）（）=dttxtt0（）（）（）000txdttxtt=2偶函数性质偶函数性质偶函数性质偶函数性质：

（）（）tt=证：

（）（）=dttxt（）（）（）=dx（）（）（）00xdx=3卷积特性卷积特性卷积特性卷积特性：

（）（）（）（）（）txtxtttx=*移移移移位特性位特性位特性位特性：

（）（）（）00*ttxtttx=证：

（）（）=ttx*（）（）dtx（）（）（）txdtx=同理（）（）=0*tttx（）（）dttx0（）0ttx=224冲激函数的傅里叶冲激函数的傅里叶冲激函数的傅里叶冲激函数的傅里叶（正或逆正或逆正或逆正或逆）变换变换变换变换FT:

（）=tF（）12=dtettfj可见（）t的偶函数性质IFT:

（）=fF1（）12=dfeftfj或（）fF=1235复指数函数及正复指数函数及正复指数函数及正复指数函数及正/余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换（）020ffeFtfj=（）020ffeFtfj+=（）tjtjeet+=21cos（）tjtjeejt=21sin（）tjtjeej=2（）（）000212cosfffftfF+=（）（）00022sinffffjtfF+=24周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换一般周期信号一般周期信号一般周期信号一般周期信号（）（）nTtxtx+=FS:

（）=ntnfjneXtx12,Tf11=（）=22211TTtnfjndtetxTXFT:

（）=ntnfjneXFtxF12=ntnfjneFX12（）=nnnffX125周期冲激序列周期冲激序列周期冲激序列周期冲激序列（抽样脉冲序列抽样脉冲序列抽样脉冲序列抽样脉冲序列）：

（）（）=nsnTttsFS:

（）=ntnfjnseSts2,ssTf1=（）=2221sssTTtnfjsndtetsTS（）=2221sssTTtnfjsdtetTsT1=（）=ntfnjsseTts21FT:

一般周期（）（）=nnnffXtxF1周期冲激snnTSX1=，sff1（）（）（）=nssnffTtsFfS126注：

抽样脉冲序列用离散数据（离散信号）表示时，写作（）1=snTS（）L,2,1,0=n与（）（）=nsnTtts两相比较，后者便于关系式推导，前者便于计算机运算操作27抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换时域抽样时域抽样时域抽样时域抽样连续信号抽样信号数字信号（）tx（）txs抽样脉冲（）（）=nsnTttssT抽样周期（间隔），ssTf1=sf抽样（频）率抽样：

（）（）（）tstxtxs=FT:

（）（）（）（）fSfXtxFfXss*=（）（）=nssnffTfS1，（）（）=nsssnffXTfX1抽样量化、编码28频域抽样频域抽样频域抽样频域抽样频域抽样脉冲序列：

（）（）=nsnfffS（）（）（）=nssnTtffSFts11抽样：

（）（）（）fSfXfXs=（）（）（）（）tstxfXFtxss*1=29傅里叶变换四种情况傅里叶变换四种情况傅里叶变换四种情况傅里叶变换四种情况时域频域（a）傅里叶变换一般情况连续、非周期连续、非周期（b）傅里叶级数连续、周期离散、非周期（c）时域抽样的傅里叶变换离散、非周期连续、周期（d）离散傅里叶变换离散、周期离散、周期（a）FT:

（）（）dttxfXetfj2=IFT:

（）dffXtxetfj=2）（30（b）FT:

（）（）dttxTfXetfjkkTT2221=IFT（FS）:

（）（）etfjkkkfXtx2=其中：

fkfk=）,2,1,0（=kTf1=（c）FT:

（）entfjnntxfX2）（=IFT:

（）=ntxdffXfsfsfnetfjs222）（1其中：

tntn=（,）n=012sft1=（d）DFT:

（）（）fkXfXXkk=eNnkjNnnxN2101=）1,2,1,0（=NkIDFT：

（）NnktnfkftNtfTffNtftNTNnXtnxtxxsNknjNkknne=,11,1,1,2,1,0,）（）（210L31连续信号的傅里叶变换到离散傅里叶变换的转化连续信号的傅里叶变换到离散傅里叶变换的转化连续信号的傅里叶变换到离散傅里叶变换的转化连续信号的傅里叶变换到离散傅里叶变换的转化32DFT运算中复指数函数运算中复指数函数运算中复指数函数运算中复指数函数WnkN的周期性和对称性的周期性和对称性的周期性和对称性的周期性和对称性令eWNknjnkN2=DFT:

）1,2,1,0（1110210=NkxNxNXWenkNNnnNnkjNnnkIDFT:

）1,2,1,0（10210=NnXXxWenkNNkkNnkjNkkn或nNkxWNX1=N1NNN1kNnXxW*=（）（）（）=1210112101242012100000121021NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNxxxxWWWWWWWWWWWWWWWWNXXXXMLMMMMMLLLM33（a）WnkN的周期性WnkNWNknN）（mod如WWW1898338=（b）WnkN的对称性WWnkNNnkN=+）2（如WW1858=）4sin（）4cos（828nljnleWljl=34快速傅里叶变换快速傅里叶变换快速傅里叶变换快速傅里叶变换（FFT）FFT乃是DFT在计算机上实施的一种快速算法，1965年首次由Cooley和Tukey提出，该算法（称基2算法）要求N=2M（M=log2N），M为正整数。

方法的基础是对数据序列实行奇偶分解，使长序列的DFT变为短序列的DFT，即=XkWWWWkrrrkNkrrrknNNnnNNNNxxx2222101210210=+=+=YkZWkkN+）12,2,1,0（=Nn利用WN的周期性和对称性得）1,2,1,0（22=+NkkNkkkZWYXN例1：

N224=+=+=01413004020141100400ZWYXZWYXZWYXZWYX=+=+=31411304102140120400xWxZxWxZxWxYxWxY蝶形算法：

35例2：

N238N8的FFT流程图乘运算，32N=12次，加运算3N=24次。

MN2=时1024210=N时乘运算2NM2Nlog2N次5120次加运算NMNlog2N次10240次36最简单的模拟式滤波器最简单的模拟式滤波器最简单的模拟式滤波器最简单的模拟式滤波器1.低通低通低通低通（LP）滤波器滤波器滤波器滤波器RUiCUo+=C1/CjRjUUioH（）=（）ejiUU+=2011，=RC为时间常数，arctg=RC/1/1c=截止频率，（）707.0Hc=相频特性：

幅频特性：

372.高通高通高通高通（HP）滤波器滤波器滤波器滤波器UiUoRCH（）=（）ejiUU+=201，1arctg=，RC=相频特性：

幅频特性：

38常用低通滤波器常用低通滤波器常用低通滤波器常用低通滤波器1.巴特沃斯巴特沃斯巴特沃斯巴特沃斯（Butterworth）滤波器滤波器滤波器滤波器HCk（）（）2211=+k阶次例：

1+RRA_CCC32R2.切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫（Chebyshev）滤波器滤波器滤波器滤波器HCkC（）（）22211=+Ck切比雪夫多项式3.椭圆函数椭圆函数椭圆函数椭圆函数（Ellipticfunction）滤波器滤波器滤波器滤波器HEkC（）（）22211=+Ek椭圆函数也称考尔考尔考尔考尔（Cauer）滤波器39低通滤波器主要性能指标低通滤波器主要性能指标低通滤波器主要性能指标低通滤波器主要性能指标1.通带内的幅值平坦度幅值平坦度幅值平坦度幅值平坦度（或称波纹度）1，5，10，或1dB0.5dB0.1dB0.01dB2.通带以外（主要指过渡带）的倍频程衰减率倍频程衰减率倍频程衰减率倍频程衰减率90dB/Oct,120dB/Oct,140dB/Oct3.通带内相频特性相频特性相频特性相频特性的线性度要求（）=常数，以免产生波形畸变最平延时（MFTD）滤波器有最佳相频特性（MFTD：

Maximaltyflattime-delayfilter.）这类滤波器有下列多种：

Besselfilter，Gaussfilter，Thomsonfilter，Storchfilter等。

其技术指标：

群延时群延时群延时群延时（Groupdelay）:

（）相延时相延时相延时相延时（Phasedelay）:

（）dd40带通滤波器带通滤波器带通滤波器带通滤波器（BP）基本参数基本参数基本参数基本参数：

uf上截止频率lf下截止频率中心频率中心频率中心频率中心频率（）lufff+=210或0f=luff3dB带宽带宽带宽带宽或半功率带宽半功率带宽半功率带宽半功率带宽luffB=3另另另另dffHBe20）（1=Be等效噪声带宽等效噪声带宽等效噪声带宽等效噪声带宽，通常略大于B3百分比带宽百分比带宽百分比带宽百分比带宽%100003=ffffBblu品质因子品质因子品质因子品质因子或Q因子因子因子因子lufffbQ=01恒带宽滤波器恒带宽滤波器恒带宽滤波器恒带宽滤波器（组）恒百分比带宽滤波器恒百分比带宽滤波器恒百分比带宽滤波器恒百分比带宽滤波器（组）1/N倍频程倍频程倍频程倍频程（Octave）滤波器滤波器滤波器滤波器21Nluff=（N=1,2,3,12,24）Nc,ic,iff1/12=+;Ncuff2/12=;Nclff2/12=41模拟式频率分析仪模拟式频率分析仪模拟式频率分析仪模拟式频率分析仪一.并联并联并联并联（滤波器滤波器滤波器滤波器）式分析仪式分析仪式分析仪式分析仪二.扫频式分析仪扫频式分析仪扫频式分析仪扫频式分析仪42FFT分析分析分析分析43模数转换器模数转换器模数转换器模数转换器（A/D）一一一一.逐次逼近式模数转换器逐次逼近式模数转换器逐次逼近式模数转换器逐次逼近式模数转换器二二二二.闪速式模数转换器闪速式模数转换器闪速式模数转换器闪速式模数转换器44抽样和量化过程抽样和量化过程抽样和量化过程抽样和量化过程45模数转换的量化误差与动态范围模数转换的量化误差与动态范围模数转换的量化误差与动态范围模数转换的量化误差与动态范围字字字字长长长长（位数）N12bits分辨率分辨率分辨率分辨率（粒度）4096121=Nq量化误差量化误差量化误差量化误差e:

0eq（截尾情况）22qeq=mf信号最高频率sf抽样率t抽样间隔意味着对信号中最高频率分量，至少有三个抽样。

而tffsN=212称为摺叠频率摺叠频率摺叠频率摺叠频率或Nyquist频率频率频率频率通常取msff56.2=使抗混滤波器（LP）截止频率设定在cf=mf0.4sf抗混滤波器的带内波纹和摺叠效应都会引起幅值误差。

49频率混淆实例：

产生混淆的频率：

af，asffm，asffm2（设saff21无频率混淆二.msff2，及12tf时，有tfjetfj212且RCta1于是fRCjfH211）（+=显然，此即等效于一阶RC低通滤波器1Z65非循环非循环非循环非循环（非非非非递归递归递归递归）式数字滤波器式数字滤波器式数字滤波器式数字滤波器输出值只取决于输入值，而与以前的输出值无关,即（）=Mkkknxany0）（=MkkkzazH0）（而由于（）（）nhnxny=）（亦即（）（）=kknxkhny）（可见对非循环递归滤波器来说，其单位样值响应为（）（）=其他值00Mkakhk因（）kh数据长度有限，称之为有限长单位样值响应滤波器或FIR（FiniteImpulseResponse）滤波器。

反之，一般递归滤波器的（）kh数据长度无限，故称之为无限长单位样值响应滤波器或IIR（InfiniteImpulseResponse）滤波器。

设计数字滤波器常用方法就是取数字滤波器的单位样值响应（）nh等于某种模拟滤波器的冲激响应函数（）th的样值，即（）tntthnh=）（这种方法被称为冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法冲激响应不变法。

66降采样和升采样降采样和