八年级下册数学-平行四边形.doc
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第8讲平行四边形
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1.平行四边形的性质有:
对边平行且相等,对角线互相平分,对角相等,邻角互补,两条平行线之间的距离处处相等,夹在两条平行线间的平行线段相等
2.平行四边形的判定方法有五种.
【板块一】平行四边形中边的关系运用
◆方法技巧◆
判定平行四边形时,应根据具体情况,选择五种判定中最趋近条件的一种方法.
题型一平行四边形的判定
【例1】点D,E分别是等边△ABC的边AB,BC上一点,且BD=CE。
以AE为边作等边△AEF,求证:
四边形ECDF为平行四边形.
【例2]如图,在四边形ABCD中,AB//CD,以AD,AC为边作口ACED,延长DC交EB于点F,求证:
BF=EF.
针对练习1
1.如图,在口ABCD中,AB=6,点E是BC边中点,点F为CD边上一点,DF=4.8,∠DFA=2∠BAE,则AF的长为()
A.4.8B.6C.7.2D.10.8
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC,交CD于点K,交BC于点E,点F是BE上一点且BF=CK,求证:
FK∥AB.
3.如图,点F是口ABCD内一点,且ED⊥CD,EB⊥CB,∠AED=135°.
(1)求证:
∠ADE=∠ABE;
(2)求∠EAB的度数;
(3)求证:
EB=BC;
(4)探究:
AB-DE与AE的数量关系.
【模块二】平行四边形中的面积转换
◇方法技巧◇
两平行线间的距离相等,同底(或等底)且同高(或等高)的三角形的面积相等.
题型三平行线转换面积
【例1】如图,四边形ABCD,ADFE均为平行四边形,边AE,DC相交于点P,边BC,EF在同一条直线上,当点P从点C出发向点D运动时(点P不与点C,D重合),则△ACP的面积与△PEF的面积之差的变化情况是()
A.先变小再变大B.先变大再变小
C.一直变小D.一直不变
【例2】
(1)如图1,在口ABCD中,点E边AB上一点,点F在BC上,则S△ECDS△FAD;(填>、<或=)
(2)如图2,在口ABCD中,点O为BD中点,直线FE过O点分别交AD,BC于E,F两点,
则S四边形ABOE____S四边形CDOF;(填>、<或=)
(3)如图3,点E为口ABCD中任意一点,若S四边形ABCD=6,则S△ABE+S△DEC的值是.
图1图2图3
【例3】如图,在口ABCD中,点E为AD上一点,点F为AB上一点,且BE=DF,BE与DF交于点G,求证:
GC平分∠BGD.
针对练习2
1.如图,在口ABCD中,对角线BD⊥AB,点G为BD延长线上一点,且△CBG为等边三角形,∠BCD,∠ABD的角平分线相交于点E,连接CE,交BD于点F,连接GE.
(1)若CG=8,求口ABCD的面积;
(2)求证:
CE=BE+GE.
2.如图,在四边形ABCD中,请过点A作一直线,将这个四边形ABCD的面积平分,并说明理由.
3.在△ABC中,AB=AC,点P是直线BC上一点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F.
(1)如图1,求证:
PD+PE=BF;
(2)如图2,当点P在BC的延长线上时,探究PD,PE,BF之间的数量关系.
图1图2
【板块三】平行四边形中特殊角度,特定关系角的转换
◇方法技巧◇
平行四边形中45°角可用来构造等腰直角三角形,其中三边比有1:
1:
关系;60°的角可用来构造等边三角形.
题型四平行四边形中45°角(或等腰直角三角形)的运用
【例1】如图,在△ABC和△DAF中,AC=BC,AD=AF,∠ACB=∠DAF=90°,点D,A,C在一条直线上,过点D作DE⊥DF,且DE=AC,连接CF,BE,EF.
(1)判断四边形ADEB的形状,并予以证明;
(2)求的值.
题型五平行四边形中60°角(或等边三角形)的运用
【例2】分别以口ABCD的边BC,CD为边作等边△BCE和等边△CDF,求证:
△AFE为等边三角形.
【例3】在口ABCD中,∠ABC=120°,∠BAD的平分线交BC边于点E,交DC延长线于点F,过F作FG∥BC,且使FG=CE,连接DB,DG,求∠BDG的度数.
针对练习3
1.如图,在口ABCD中,AD=2CD,点F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论:
①∠DCF=∠BCF;②EF=CF;③∠DFE=3∠AEF;④S△BEC<2S△CEF.其中结论一定成立的是____.(请填序号)
2.如图,在口ABCD中,过点A作AE⊥BC于点E,连接DE,点F为DE的中点,且∠BAE=∠DEC,∠B=60°.
(1)判断△AEF的形状并说明理由;
(2)若AB=2,求DE的长.
3.如图,在口ABCD中,点E为AD上一点,且AB=AE,连接BE,交AC于点H,过点A作AF⊥BC于点F,交BE于点G.
(1)若∠D=50°,求∠EBC的度数;
(2)若AC⊥CD,过点G作GM∥BC交AC于点M,求证:
AH=MC.
4.在口ABCD中,点E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得∠EGB=∠EAB,连接AG.
(1)如图1,当EF与AB相交时,若∠EAB=60°,求证:
EG=AG+BG;
(2)如图2,当EF与CD相交时,且∠EAB=90°,探究EG,AG,BG之间的数量关系,并证明你的结论.
图1图2
【板块四】平行图边形中勾股定理的运用
◇方法技巧◇
平行四边形中有直角三角形,可综合“对边相等,对角线互相平分”,利用勾股定理探究边的关系或求边长.
题型六平方关系线段运用勾股定理探求
【例1】已知ABCD为平行四边形,∠ABC和∠DCB的角平分线分别交AD于点H和点G,且它们交于O点,若AB=5,AD=6,求OG2+OH2的值.
【例2】
(1)如图1,已知AB=,BC=5,∠ABC<90°,口ABCD的面积为15.
①求AC,BD的长;
②探究AC2+BD2和AB2+BC2之间有什么数量关系;
(2)如图2,如果把
(1)中的关系推广到任意口ABCD中去,并证明你的推广.
图1图2
针对练习4
1.如图1,在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,0B=8,以OB为边,在△OAB外作等边△OBC,点D是OB的中点,连接AD并延长交OC于点E.
(1)求证:
四边形ABCE是平行四边形;
(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.
图1图2
2.如图1,在口ABCD中,AB=a,BC=b.
(1)若∠BCD=120°,则对角线BD的长是.(用含a,b的式子表示);
(2)求证:
AC2+BD2=2a2+2b2;
(3)如图2,在
(1)的条件下,若四边形BCEF也是平行四边形,连接AF并延长交BE于点P,恰有∠APB=120°,设BE=m,AF=n,若a=3,b=2,求m,n之间的数量关系式.
图1图2
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=CD,点E,F分别在边BC,CD上,且BF=DF=AD,AF与DE交于点G.
(1)求证:
AB=BF;
(2)当AB=5,AD=2,求DG的长.
【板块五】平行四边形中的多解问题
◇方法技巧◇
平行四边形的高可以在四边形内部,也可以在外部,从而产生多解.
题型七高在平行四边形内部或外部产生的多解问题
【例1】口ABCD的周长为52,过D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=5,DF=8,求BE+BF的长.
题型八重叠方式不同产生多解
【例2】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是AB边上一点,点E是BC的中点,将△CDF沿DE翻折,得到△FDE,使△FDE与△BDE重叠部分的面积是△BDC的面积的,若AB=4,AC=2,求BD的长.
图1图2
针对练习5
1.在面积为6的口ABCD中,过A作AE⊥直线BC于点E,作AF⊥直线CD于F,若AB=3,BC=2,则CE+CF的长为()
A.10+5B.2+C.10+5或2+D.10+5或5-10
2.在面积为15的口ABCD中,过点A作AE⊥直线BC于点E,作AF⊥直线CD于点F,若AB=5,BC=6,求CE+CF的长.
3.口ABCD周长为44,过A作AE⊥直线BC于点E,作AF⊥直线CD于点F,若AE=5,AF=6,则CE+CF的长为.
【板块六】平行四边形中的动点与最值
◇方法技巧◇
平行四边形中匀速运动的点,可以设运动时间为t,然后用t表示各个变量求解;线段的最值常用两边之和大于第三边或垂线段最短求解.
题型九平行四边形中的动点问题
【例1】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点P从点A向点D以1cm/s的速度运动,到点D即停止,同时点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动,到点B即停止,直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形,分别为四边形ABQP和四边形PQCD,则当P,Q两点同时出发几秒时所截得两个四边形中,其中一个四边形为平行四边形?
题型十平行四边形中的最值问题
【例2】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为BC边上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,点M为EF的中点,则线段AM的最小值为.
针对练习6
1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BCA=30°,AC=20,点D在BC上,以AC为对角线的所有口ADCE中,线段DE的最小值是.
2.如图,矩形ABCD中,点O是BD中点,点P是线段AD上一动点(不与点D重合),PO的延长线交BC于点Q.
(1)求证:
四边形PBQD为平行四边形;
(2)若AB=3cm,AD=4cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度向点D匀速运动.设点P的运动时间为ts,问四边形PBQD能够成为菱形吗?
如果能,求出相应的t值;若不能,说明理由.
【板块七】构造平行四边形
方法技巧
将线段进行平移,可构造平行四边形,借助构造的平行四边形可以得到相等的边、平行线,从而得到全等三角形.
题型十一构造平行四边形同时构造等腰直角三角形
【例1】已知点A,C分别是∠B的两条边上的点,点D、E分别是直线BA,BC上的点,直线AE,CD相交于点P.
(1)点D,E分别在线段BA,线段BC上.
①如图1,若∠B=60°,且AD=BE,BD=CE,则∠APD的度数是;
②如图2,若∠B=90°,且AD=BC,BD=CE,求∠APD的度数.
(2)如图3,点D,E分别在线段AB,BC的延长线上,若∠ABC=90°,AD=BC,∠APD=45°,
求证:
BD=CE.
题型十二构造平行四边形同时构造全等三角形
【例2】如图,在等腰△ABC中,AB=AC,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连接DE,若AD=BC=CE=DE
求证:
∠BAC=100°.
针对练习7
1.如图,在□ABCD中,分别以AB,AD为边向外作等边△ABE,△ADF,延长CB交AE于点G,点G在
点A,E之间,连接CE,CF,EF,有以下四个结论:
①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠EAF;
③△ECF是等边三角形;④CG⊥AE.其中结论一定正确的是()
A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE分别为BC,AC边上的点,且BD=CE,AE=BC
(1)求∠AFE的度数;
(2)求的值.