点与圆的位置关系.doc

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点与圆的位置关系

一、点与圆的位置关系

1.确定圆的条件

（1）圆心（定点），确定圆的位置；

（2）半径（定长），确定圆的大小．

注意：

只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．

2.点与圆的位置关系

（3）点与圆的位置关系有：

点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．

（4）设的半径为，点到圆心的距离为，则有：

点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示：

位置关系

图形

定义

性质及判定

点在圆外

点在圆的外部

点在的外部.

点在圆上

点在圆周上

点在的外部.

点在圆内

点在圆的内部

点在的外部.

二、过已知点的圆

1.过已知点的圆

（1）经过点的圆：

以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．

（2）经过两点的圆：

以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．

（3）过三点的圆：

若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．

（4）过个点的圆：

只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．

2.定理：

不在同一直线上的三点确定一个圆

（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；

（2）“确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．

三、三角形的外接圆及外心

1.三角形的外接圆

（1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

（2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.

2.三角形外心的性质

（1）三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

（2）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.

一、点与圆的位置关系

【例1】已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（）

A．2 B．6 C．12 D．7

【例2】一个已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为______．

【例3】定义：

定点与上的任意一点之间的距离的最小值称为点与之间的距离．现有一矩形如图，，与矩形的边分别相切于点，则点与的距离为______________．

【例4】在平面直角坐标系内，以原点为圆心，为半径作，已知，，三点的坐标分别为，，，试判断，，三点与的位置关系.

【例5】已知中，，，，的中点为，

⑴以为圆心，为半径作，则点，，与的位置关系如何？

⑵若以为圆心作，使，，三点至少有一点在内，且至少有一点在外，求半径的取值范围．

【例6】的两条直角边，，斜边上的高为，若以为圆心，分别以，，为半径作圆，试判断点与这三个圆的位置关系.

【例7】在中，，，，以点为圆心，以为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.

⑴当取何值时，点在上，且点在内部？

⑵当在什么范围内取值时，点在外部，且点在的内部？

⑶是否存在这样的实数，使得点在上，且点在内部？

【例8】已知：

四边形中，，，，，，以为圆心，长为半径作圆．求证：

在上，在内，外都有线段上的点.

二、过三点的圆

【例9】如图，四边形中，，若，则_________，__________．

【例10】如图，在平面直角坐标系中，与两坐标轴分别交于四点，已知：

，，，则点的坐标是（）

A． B． C． D．

【例11】如图，通过原点，并与坐标轴分别交于两点，已知，点的坐标为，则点的坐标分别为；．

【例12】如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，其中点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为．

三、三角形的外接圆及外心

【例13】如图，内接于，，，为的直径，，则.

【例14】等边三角形的外接圆的半径等于边长的（）倍．

A． B． C． D．

【例15】中，，，求其外接圆的半径．

【例16】设的两条直角边长分别为，，则此直角三角形的内切圆半径为，外接圆半径为．

【例17】如图，不等边内接于，是其内心并且．求证：

．

【例18】已知如图，的外角平分线交其外接圆于，连接、，求证：

．

【例19】已知如图，的外角平分线交其外接圆于，连接、，过作于，于，则下列结论中一定正确的有．

①；②；③；④为⊙的切线．

【例20】已知中，，是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至．

⑴求证：

的延长线平分；

⑵若，中边上的高为，求外接圆的面积．

【例21】如图，为外接圆，，为边上高的交点，在上取点，使．求的值．

【例22】在等腰中，，是高，点是边的中点，而经过点，于的圆同的交点是，求证，其中是的外接圆半径．