第十章古典概型-概率.docx

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2020-2021学年高一数学必修二第10章《概率》

古典概型概率

1.从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　这个试验的样本空间Ω＝{（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）}，

其中甲被选中包含3个样本点，

故甲被选中的概率为.

2.甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　甲、乙两人参加学习小组，若以（A，B）表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则基本事件有（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P＝.

3.在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　用（A，B，C）表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有（A，B，C），（A，C，B），（B，A，C），（B，C，A），（C，A，B），（C，B，A），共6种，其中B先于A，C通过的有（B，C，A）和（B，A，C），共2种，故所求概率P＝＝.

4.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　D

解析　由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝.

5.从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　直线y＝kx＋b不经过第三象限，即将取出的两个数记为（k，b），则一共有（－1，－2），（－1,1），（－1,2），（1，－2），（1,1），（1,2），（2，－2），（2,1），（2,2）九种情况，符合题意的有（－1,1），（－1,2）两种情况，所以所求概率为.

6.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.则所取的2道题不是同一类题的概率为________.

答案　

解析　将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有（1,5），（1,6），（2,5），（2,6），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），共8个，所以P（B）＝.

7.从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，则两种品牌都齐全的概率为________.

答案　

解析　3台甲型电脑为1,2,3,2台乙型电脑为A，B，则所有的样本点为（1,2），（1,3），（1，A），（1，B），（2,3），（2，A），（2，B），（3，A），（3，B），（A，B），共10个.记事件C为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的样本点有6个，所以P（C）＝＝.

8.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数分别为x，y，则是整数的概率是________.

答案　

解析　先后两次抛掷一枚骰子，得到的点数分别为x，y的情况一共有36种，

其中是整数的情况有（1,1），（2,1），（2,2），（3,1），（3,3），（4,1），（4,2），（4,4），（5,1），（5,5），（6,1），（6,2），（6,3），（6,6），共14种.

故是整数的概率为.

9.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.

（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

解　把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：

（x1，p1），（x1，p2），（x2，p1），（x2，p2），（x3，p1），（x3，p2），共6种；

“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：

（p1，x1），（p1，x2），（p1，x3），（p2，x1），（p2，x2），（p2，x3），共6种；

“甲、乙都抽到选择题”的情况有：

（x1，x2），（x1，x3），（x2，x1），（x2，x3），（x3，x1），（x3，x2），共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：

（p1，p2），（p2，p1），共2种.

因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.

（1）“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.

（2）“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.

10.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n

解　

（1）从袋中随机取两个球，该试验的样本空间Ω1＝{（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）}，共含有6个样本点.记“取出的球的编号之和不大于4”为事件A，A＝{（1,2），（1,3）}，含2个样本点.

故P（A）＝＝.

（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，则样本空间Ω2＝{（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）}，共含16个样本点，记“满足n

11.从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　从5张卡片中任取2张，样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共含有10个样本点，而恰好按字母顺序相邻为事件A，A＝{AB，BC，CD，DE}，含有4个样本点，故此事件的概率P（A）＝＝.

12.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配成1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3.5元的概率是（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　由题意知共有（1.72,1.83），（1.72,2.28），（1.72,1.55），（1.72,0.62），（1.83,1.72），（1.83,2.28），（1.83,1.55），（1.83,0.62），（2.28,1.72），（2.28,1.83），（2.28,1.55），（2.28,0.62），（1.55,1.72），（1.55,1.83），（1.55,2.28），（1.55,0.62），（0.62,1.72），（0.62,1.83），（0.62,2.28），（0.62,1.55），20个基本事件，

而满足条件的有（1.72,1.83），（1.72,2.28），（1.83，1.72），（1.83,2.28），（2.28,1.72），（2.28,1.83），（2.28,1.55），（1.55,2.28），共8个，故所求概率为＝.

13.已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f（x）＝ax2－2bx在区间（1，＋∞）上为增函数的概率是（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，

∴基本事件总数n＝3×4＝12.

函数f（x）＝ax2－2bx在区间（1，＋∞）上为增函数，

①当a＝0时，f（x）＝－2bx，符合条件的只有（0，－1），即a＝0，b＝－1；

②当a≠0时，需要满足≤1，符合条件的有（1，－1），（1,1），（2，－1），（2,1），共4种.

∴函数f（x）＝ax2－2bx在区间（1，＋∞）上为增函数的概率是P＝.

14.设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x＋y＝n上”为事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________.

答案　3或4

解析　点P的所有可能值为（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），

点P（a，b）落在直线x＋y＝n上（2≤n≤5，n∈N），

则当n＝2时，P点是（1,1），

当n＝3时，P点可能是（1,2），（2,1）.

当n＝4时，P点可能为（1,3），（2,2），

当n＝5时，P点是（2,3），

即事件C3，C4的概率最大，故n＝3或4.

15.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　D

解析　设齐王的下等马、中等马、上等马分别记为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别记为b1，b2，b3，

齐王与田忌赛马，其情况有：

（a1，b1），（a2，b2），（a3，b3），齐王获胜；

（a1，b1），（a2，b3），（a3，b2），齐王获胜；

（a2，b1），（a1，b2），（a3，b3），齐王获胜；

（a2，b1），（a1，b3），（a3，b2），齐王获胜；

（a3，b1），（a1，b2），（a2，b3），田忌获胜；

（a3，b1），（a1，b3），（a2，b2），齐王获胜，共6种等可能结果.

其中田忌获胜的只有一种（a3，b1），（a1，b2），（a2，b3），

则田忌获胜的概率为，故选D.

16.有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时.

（1）求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；

（2）求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；

（3）求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率.

解　将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：

如上图所示，本题中的样本点的总数为24.

（1）设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P（A）＝.

（2）设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P（B）＝＝.

（3）设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P（C）＝＝.