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最新高中数学必修15习题经典题优秀名师资料

高中数学必修1-5习题经典题

高二文科数学复习

2014-1-20

第一章集合

第一节集合的含义、表示及基本关系

1（已知A,{1,2}，B,{x|x?

A}，则集合A与B的关系为________（

A}知～B,{1,2}（答案:

A,B解析:

由集合B,{x|x?

22（若?

{x|x?

a，a?

R}，则实数a的取值范围是________（

2解析:

由题意知～x?

a有解～故a?

0.答案:

023（已知集合A,{y|y,x,2x,1，x?

R}，集合B,{x|,2?

x<8}，则集合A与B的关系是________（

22解析:

y,x,2x,1,（x,1）,2?

2～?

A,{y|y?

2}～?

BA.

答案:

BA24（已知全集U,R，则正确表示集合M,{,1,0,1}和N,{x|x，x,0}关系的韦恩（Venn）图是________（

2解析:

由N={x|x+x=0}～得N={-1,0}～则NM.答案:

5（已知集合A,{x|x>5}，集合B,{x|x>a}，若命题“x?

A”是命题“x?

B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________（

解析:

命题“x?

A”是命题“x?

B”的充分不必要条件～?

AB～?

a<5.

答案:

a<5

6（已知m?

A，n?

B，且集合A,{x|x,2a，a?

Z}，B,{x|x,2a，1，a?

Z}，又C,{x|x,4a，1，a?

Z}，判断m，n属于哪一个集合,

解:

A～?

设m,2a～a?

Z～又?

B～?

设n,2a，1～a?

Z～?

m，n,2（a11221，a），1～而a，a?

Z～?

m，n?

B.21227（已知集合A,{,1,3,2m,1}，集合B,{3，m}（若B?

A，则实数m,________.2222解析:

A～显然m?

1且m?

3～故m,2m,1～即（m,1）,0～?

m,1.答案:

128（已知集合M,{x|x,1}，集合N,{x|ax,1}，若NM，那么a的值是________（

1解析:

M,{x|x,1或x,,1}～NM～所以N,?

时～a,0,当a?

0时～x,,1或,1～a?

a,1或,1.答案:

0,1，,1

9（满足{1}A?

{1,2,3}的集合A的个数是________个（

解析:

A中一定有元素1～所以A有{1,2}～{1,3}～{1,2,3}（答案:

1b1c110（已知集合A,{x|x,a，，a?

Z}，B,{x|x,,，b?

Z}，C,{x|x,，，c?

Z}，则62326A、B、C之间的关系是________（

解析:

用列举法寻找规律（答案:

AB,C

11（集合A,{x||x|?

4，x?

R}，B,{x|x

B”是“a>5”的________（

解析:

结合数轴若A?

4～故“A?

B”是“a>5”的必要但不充分条件（答案:

必要不充分条件2212（已知集合A,{x|x,3x，2?

0}，B,{x|x,（a，1）x，a?

0}（

（1）若A是B的真子集，求a的取值范围;

（2）若B是A的子集，求a的取值范围;

（3）若A,B，求a的取值范围（

2解:

由x,3x，2?

0～即（x,1）（x,2）?

0～得1?

2～故A,{x|1?

2}～

而集合B,{x|（x,1）（x,a）?

0}～

（1）若A是B的真子集～即AB～则此时B,{x|1?

a}～故a>2.

（2）若B是A的子集～即B?

A～由数轴可知1?

（3）若A=B～则必有a=2

第二节集合的基本运算

1（设U,R，A,{x|x>0}，B,{x|x>1}，则A?

B,____.U

解析:

B,{x|x?

1}～?

B,{x|0

1}（答案:

{x|0

1}UU

2（设集合A,{4,5,7,9}，B,{3,4,7,8,9}，全集U,A?

B，则集合?

（A?

B）中的元素共有U________个（

解析:

B,{4,7,9}～A?

B,{3,4,5,7,8,9}～?

（A?

B）,{3,5,8}（答案:

3（已知集合M,{0,1,2}，N,{x|x,2a，a?

M}，则集合M?

N,________.

解析:

由题意知～N,{0,2,4}～故M?

N,{0,2}（答案:

{0,2}4（设A，B是非空集合，定义A?

B,{x|x?

B且x?

B}，已知A,{x|0?

2}，B,{y|y?

0}，则A?

B,________.

解析:

B,[0～，?

）～A?

B,[0,2]～所以A?

B,（2～，?

）（

答案:

（2，，?

）

5（某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________（

解析:

设两项运动都喜欢的人数为x～画出韦恩图得到方程

15-x+x+10-x+8=30x=3～?

喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的

人数为15-3=12（人）（答案:

6（已知集合A,{x|x>1}，集合B,{x|m?

m，3}（

（1）当m,,1时，求A?

B，A?

（2）若B?

A，求m的取值范围（

解:

（1）当m,,1时，B,{x|,1?

2}，?

B,{x|1

2}，A?

B,{x|x?

1}（

（2）若B?

A，则m>1，即m的取值范围为（1，，?

）

6（若集合M,{x?

R|,3

Z|,1?

2}，则M?

N,________.

解析:

因为集合N,{,1,0,1,2}～所以M?

N,{,1,0}（答案:

{,1,0}7（已知全集U,{,1,0,1,2}，集合A,{,1,2}，B,{0,2}，则（?

A）?

B,________.U

解析:

A,{0,1}～故（?

A）?

B,{0}（答案:

{0}UU28（若全集U,R，集合M,{x|,2?

2}，N,{x|x,3x?

0}，则M?

（?

N）,________.U

解析:

根据已知得M?

（?

N）,{x|,2?

2}?

{x|x<0或x>3},{x|,2?

x<0}（答案:

{x|,2?

x<0}

9（集合A,{3，loga}，B,{a，b}，若A?

B,{2}，则A?

B,________.2

解析:

由A?

B,{2}得loga,2～?

a,4～从而b,2～?

B,{2,3,4}（2

答案:

{2,3,4}

10（（高考重庆卷）设U,{n|n是小于9的正整数}，A,{n?

U|n是奇数}，B,{n?

U|n是3的倍数}，则?

（A?

B）,________.U

解析:

U,{1,2,3,4,5,6,7,8}～A,{1,3,5,7}～B,{3,6}～?

B,{1,3,5,6,7}～

得?

（A?

B）,{2,4,8}（答案:

{2,4,8}U

11（若集合{（x，y）|x，y,2,0且x,2y，4,0}{（x，y）|y,3x，b}，则b,________.

,x，y,2,0～x,0～,,,,解析:

由?

点（0,2）在y,3x，b上～?

b,2.x,2y，4,0.y,2.,,,,

212（设全集I,{2,3，a，2a,3}，A,{2，|a，1|}，?

A,{5}，M,{x|x,log|a|}，则集合MI2

的所有子集是________（22解析:

（?

A）,I～?

{2,3～a，2a,3},{2,5～|a，1|}～?

|a，1|,3～且a，2a,3,5～I

解得a,,4或a,2～?

M,{log2～log|,4|},{1,2}（22

答案:

，{1}，{2}，{1,2}

6213（已知函数f（x）,,1的定义域为集合A，函数g（x）,lg（,x，2x，m）的定义域为x，1

集合B.

（1）当m,3时，求A?

（?

B）;R

（2）若A?

B,{x|,1

解:

A,{x|,1

5}（

（1）当m,3时～B,{x|,1

B,{x|x?

1或x?

3}～R

（?

B）,{x|3?

5}（R

（2）?

A,{x|,1

5}～A?

B,{x|,1

有,4，2×4，m,0～解得m,8～此时B,{x|,2

第二章函数

第一节对函数的进一步认识A组

2,x,3x，41（函数y,的定义域为________（x2,,x,3x，4?

0～,,解析:

[,4,0）?

（0,1]x?

0～,

答案:

[,4,0）?

（0,1]

2（如图，函数f（x）的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标

1分别为（0,0），（1,2），（3,1），则f（）的值等于________（f（3）

1解析:

由图象知f（3）,1～f（）,f

（1）,2.答案:

2f（3）x,3，x?

1，,,3（已知函数f（x）,若f（x）,2，则x,________.,x，x>1.,,

x解析:

依题意得x?

1时～3,2～?

x,log2,3

当x>1时～,x,2～x,,2（舍去）（故x,log2.答案:

log2334（函数f:

{1，2}?

{1，2}满足f[f（x）]>1的这样的函数个数有________个（

解析:

如图（答案:

132325（由等式x，ax，ax，a,（x，1），b（x，1），b（x，1），b定义一个映射123123f（a，a，a）,（b，b，b），则f（2,1，,1）,________.1231233232解析:

由题意知x，2x，x,1,（x，1），b（x，1），b（x，1），b～123

令x,,1得:

1,b,3

,1,1，b，b，b,123,再令x,0与x,1得～3,8，4b，2b，b,,123

解得b,,1～b,0.12

答案:

（,1,0，,1）

11，（x>1），,x,16（已知函数f（x）,

（1）求f（1,），f{f[f（,2）]}的值;

（2）求f（3x2,x，1（,1?

1），2,1,,2x，3（x<,1）.

3,1）;（3）若f（a）,，求a.2

解:

f（x）为分段函数～应分段求解（

（1）?

1,,1,（2，1）,,2<,1～?

f（,2）,,22，3～2,1

13又?

f（,2）,,1～f[f（,2）],f（,1）,2～?

f{f[f（,2）]},1，,.22

213x

（2）若3x,1>1～即x>～f（3x,1）,1，,,33x,13x,1

322若,1?

3x,1?

1～即0?

～f（3x,1）,（3x,1），1,9x,6x，2,2

若3x,1<,1～即x<0～f（3x,1）,2（3x,1），3,6x，1.

3x2（x>）～3x,13,

f（3x,1）,22,9x,6x，2（0?

）～3,6x，1（x<0）.

3（3）?

f（a）,～?

a>1或,1?

1.2

13当a>1时～有1，,～?

a,2,a2

322当,1?

1时～a，1,～?

a,?

.22

a,2或?

B组

11（函数y,，lg（2x,1）的定义域是________（

3x,2

22解析:

由3x,2>0,2x,1>0～得x>.答案:

{x|x>}33

2x，1，（x<,1），,,3,3，（,1?

2），2（函数f（x）,），5））,_.则f（f（f（,2,2x,1，（x>2），,

33解析:

2～?

f（），5,,3，5,2～?

2～?

（2）,,3～22

f（,3）,（,2）×（,3），1,7.答案:

3（定义在区间（,1,1）上的函数f（x）满足2f（x）,f（,x）,lg（x，1），则f（x）的解析式为________（

解析:

对任意的x?

（,1,1）～有,x?

（,1,1）～

由2f（x）,f（,x）,lg（x，1）～?

由2f（,x）,f（x）,lg（,x，1）～?

×2，?

消去f（,x）～得3f（x）,2lg（x，1），lg（,x，1）～

21?

f（x）,lg（x，1），lg（1,x）～（,1

21答案:

f（x）,lg（x，1），lg（1,x），（,1

4（设函数y,f（x）满足f（x，1）,f（x），1，则函数y,f（x）与y,x图象交点的个数可能是________

个（

解析:

由f（x，1）,f（x），1可得f

（1）,f（0），1～f

（2）,f（0），2～f（3）,f（0），3～„本题中如

果f（0）,0～那么y,f（x）和y,x有无数个交点,若f（0）?

0～则y,f（x）和y,x有零个交点（答

案:

0或无数

2（x,0）,,5（设函数f（x）,，若f（,4）,f（0），f（,2）,,2，则f（x）的解析式为2x,，bx，c（x?

0）,

f（x）,________，关于x的方程f（x）,x的解的个数为________个（

解析:

由题意得

,16,4b，c,cb,4,,,,～,4,2b，c,,2c,2,,,

2（x,0）,,?

f（x）,.2x，4x，2（x?

0）,,

由数形结合得f（x）,x的解的个数有3个（

2（x,0）,,答案:

32x，4x，2（x?

0）,,

126（设函数f（x）,logx（a,0，a?

1），函数g（x）,,x，bx，c，若f（2，2）,f（2，1）,，g（x）a2的图象过点A（4，,5）及B（,2，,5），则a,__________，函数f[g（x）]的定义域为__________（

答案:

2（,1,3）2,x,4x，6，x?

0,,7（设函数f（x）,，则不等式f（x）>f

（1）的解集是________（x，6，x<0,,

解析:

由已知～函数先增后减再增～当x?

0～f（x）>f

（1）,3时～令f（x）,3～

解得x,1～x,3.故f（x）>f

（1）的解集为0?

x<1或x>3.

当x<0～x，6,3时～x,,3～故f（x）>f

（1）,3～解得,33.

综上～f（x）>f

（1）的解集为{x|,33}（答案:

{x|,33}

log（4,x），x?

0，,2,8（定义在R上的函数f（x）满足f（x）,则f（3）的值为________（,f（x,1）,f（x,2），x,0，,

解析:

f（3）,f

（2）,f

（1）～又f

（2）,f

（1）,f（0）～?

f（3）,,f（0）～?

f（0）,log4,2～?

f（3）2,,2.答案:

9（有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间关系如图（再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内（即x?

20），y与x之间函数的函数关系是________（

解析:

设进水速度为a升/分钟～出水速度为a升/分钟～则由题意得12

,5a,20a,411,,,,～得～则y,35,3（x,20）～得y,,3x，95～又因为水放完5a，15（a,a）,35a,3,,,,1122

9595为止～所以时间为x?

～又知x?

20～故解析式为y,,3x，95（20?

）（答案:

y,,33

953x，95（20?

）3

2210（函数f（x）,（1,a）x，3（1,a）x，6.

（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围;

（2）若f（x）的定义域为[,2,1]，求实数a的值（2解:

（1）?

若1,a,0～即a,?

1～

（?

）若a,1时～f（x）,6～定义域为R～符合题意,

（?

）当a,,1时～f（x）,6x，6～定义域为[,1～，?

）～不合题意（222?

若1,a?

0～则g（x）,（1,a）x，3（1,a）x，6为二次函数（

由题意知g（x）?

0对x?

R恒成立～2,,1,a>0～,1

Δ?

0～,（a,1）（11a，5）?

0～,,

55?

a<1.由?

可得,?

1.1111222

（2）由题意知～不等式（1,a）x，3（1,a）x，6?

0的解集为[,2,1]～显然1,a?

0且,2,122是方程（1,a）x，3（1,a）x，6,0的两个根（

21,a<0～a<,1或a>1～,3（1,a）,2，1,2～,～a,2,a,1?

a,2.a,?

2.,,6,2,～251,aa<,或a>1,,1122,Δ,[3（1,a）],24（1,a）>0

2R），并且当x?

[,1,1]时，f（x）,,x11（已知f（x，2）,f（x）（x?

，1，求当x?

[2k,1,2k，1]（k?

Z）时、f（x）的解析式（

解:

由f（x，2）,f（x）～可推知f（x）是以2为周期的周期函数（当x?

[2k,1,2k，1]时～2k2,1?

2k，1～,1?

x,2k?

1.?

f（x,2k）,,（x,2k），1.

又f（x）,f（x,2）,f（x,4）,„,f（x,2k）～2?

f（x）,,（x,2k），1～x?

[2k,1,2k，1]～k?

12（在11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单（某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置（现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（（单位:

h，时间可不为整数）

（1）写出g（x），h（x）的解析式;

（2）写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式;

（3）应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少,

20001000**解:

（1）g（x）,（0

N）～h（x）,（0

N）（3x216,x

2000*（0

86～x?

N）.,3x

（2）f（x）,（3）分别为86、130或87、129.,1000*（87?

x<216～x?

N）.,216,x

第二节函数的单调性

A组

1（（高考福建卷改编下列函数f（x）中，满足“对任意x，x?

（0，，?

），当xf（x）”的是________（12

12x?

f（x）,?

f（x）,（x,1）?

f（x）,e?

f（x）,ln（x，1）x

解析:

对任意的x～x?

（0～，?

）～当x

f（x）>f（x）～?

f（x）在（0～，?

）上为减函数（答案:

2（函数f（x）（x?

R）的图象如右图所示，则函数g（x）

f（logx）（0

1解析:

logx?

[0～]时～g（x）aa2为减函数（

1由0?

logx?

1.答案:

[a，1]（或（a，1））a2

3（函数y,x,4，15,3x的值域是________（

ππ2解析:

令x,4，sinα～α?

[0～]～y,sinα，3cosα,2sin（α，）～?

2.23

答案:

[1,2]

ax4（已知函数f（x）,|e，|（a?

R）在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围__（xe

aax0解析:

当a<0～且e，?

0时～只需满足e，?

0即可～则,1?

a<0,当a,0时～x0ee

aaxxxxf（x）,|e|,e符合题意,当a>0时～f（x）,e，～则满足f′（x）,e,?

0在x?

[0,1]上恒成xxee

2x立（只需满足a?

（e）成立即可～故a?

1～综上,1?

1.min

答案:

5（（原创题）如果对于函数f（x）定义域内任意的x，都有f（x）?

M（M为常数），称M为f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________（

1（x>0）,,x0（x,0）?

f（x）,sinx;?

f（x）,lgx;?

f（x）,e;?

f（x）,,

,1（x<,1）,

解析:

sinx?

1～?

f（x）,sinx的下确界为,1～即f（x）,sinx是有下确界的函数,?

f（x）x,lgx的值域为（,?

～，?

）～?

f（x）,lgx没有下确界,?

f（x）,e的值域为（0～，?

）～?

f（x）xx,e的下确界为0～即f（x）,e是有下确界的函数,

1（x>0）1（x>0）,,,,0（x,0）0（x,0）?

f（x）,的下确界为,1.?

f（x）,是有下确界的函数（答案:

,,,1（x<,1）,,1（x<,1）

26（已知函数f（x）,x，g（x）,x,1.

（1）若存在x?

R使f（x）

g（x），求实数b的取值范围;2

（2）设F（x）,f（x）,mg（x），1,m,m，且|F（x）|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围.

22解:

（1）x?

R～f（x）

g（x）x?

R～x,bx，b<0Δ,（,b）,4b>0b<0或b>4.

（2）F（x）

22222,x,mx，1,m～Δ,m,4（1,m）,5m,4～

2525?

当Δ?

0即,?

时～则必需55

0,225,?

0.,52525,?

2525m?

当Δ>0即m<,或m>时～设方程F（x）,0的根为x～x（x

1～则1212552x?

0.1

m,?

1,2,m?

2.2,,F（0）,1,m?

m若?

0～则x?

0～22

m,,?

0252,,1?

m<,.综上所述:

0或m?

2.52,,F（0）,1,m?

B组

1（下列函数中，单调增区间是（,?

，0]的是________（

12?

y,,?

y,,（x,1）?

y,x,2?

y,,|x|x

解析:

由函数y,,|x|的图象可知其增区间为（,?

～0]（答案:

22（若函数f（x）,log（x,ax，3a）在区间[2，，?

）上是增函数，则实数a的取值范围是2

________（

2解析:

令g（x）,x,ax，3a～由题知g（x）在[2～，?

）上是增函数～且g

（2）>0.

a,?

2～,2?

4.答案:

4,,,4,2a，3a>0～

a33（若函数f（x）,x，（a>0）在（，，?

）上是单调增函数，则实数a的取值范围__（x4

a39解析:

f（x）,x，（a>0）在（a～，?

）上为增函数～?

～0

.x416

9答案:

（0，]16

f（x）,f（x）214（定义在R上的偶函数f（x），对任意x，x?

[0，，?

）（x?

x），有<0，则下列1212x,x21结论正确的是________（

f（3）

（1）?

（1）

f（,2）

（1）

f（3）

（1）

）,f（x）f（x21解析:

由已知<0～得f（x）在x?

[0～，?

）上单调递减～由偶函数性质得f

（2）,x,x21

f（,2）～即f（3）

（1）（答案:

x,a（x<0），）,f（x）,f（x12,5（已知函数f（x）,满足对任意x?

x，都有<0成立，则a12x,x（a,3）x，4a（x?

0）12,,

的取值范围是________（

由题意知～f（x）为减函数～所以解得0

.,40,a?

（a,3）×0，4a～

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