解排列组合问题的十七种常用策略.docx
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解排列组合问题的十七种常用策略
解排列组合问题的十七种常用策略
解排列组合问题的十七种常用策略
一、特殊元素和特殊位置优先策略
1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
2.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二、相邻元素捆绑策略
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
1.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.
2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为________
三、不相邻问题插空策略
1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种？
2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为________
四、定序问题倍缩空位插入策略
1.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
2.10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
5、重排问题求幂策略
1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为_______
3.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法为_______
六、环排问题线排策略
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有（n-1）!
种排法.
1.5人围桌而坐,共有多少种坐法?
2.6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈______
七、多排问题直排策略
1.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法
2.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
八、排列组合混合问题先选后排策略
1.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？
2.一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人
完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________种
九、小集团问题先整体局部策略
1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一
品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_______
3.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_______种
十、元素相同问题隔板策略
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
1.有10个运动员名额，要分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
2.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
3.求方程组x+y+z+w=104的正整数解的组数。
十一、正难则反总体淘汰策略
1.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
2.我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
十二、平均分组问题除法策略
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
（n为均分的组数）避免重复计数。
1.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
2.将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？
3.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人，但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法？
4.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______
十三、合理分类与分步策略
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分
步，做到标准明确。
分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的
始终。
1.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?
2.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_______
3.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选
2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.
十四、构造模型策略
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决。
1.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
2.某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
十五、实际操作穷举策略
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状
图会收到意想不到的结果。
1.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2，3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？
2.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张
贺年卡不同的分配方式有多少种？
3.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的
着色方法有____种。
十六、分解与合成策略
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略
1.30030能被多少个不同的偶数整除？
2.正方体的8个顶点可连成多少对异面直线？
十七、化归策略
1.25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
2.某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？
A
解排列组合问题的十七种常用策略
一、特殊元素和特殊位置优先策略
1.解:
由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置
先排末位共有
，然后排首位共有
，最后排其它位置共有
，由分步计数原理得
=288
2.
二、相邻元素捆绑策略
1.
=4802.20
三、不相邻问题插空策略
1.
2.30
四、定序问题倍缩空位插入策略
1.（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起
进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：
（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
种方法，其余的三个
位置甲乙丙共有1种坐法，则共有
种方法
（插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有4
5
6
7方法
2.
6、重排问题求幂策略
1.
2.423.
六、环排问题线排策略
1.围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线其余4人共有
种排法即（5-1）！
2.60
七、多排问题直排策略
1.8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两
个特殊元素有
种,再排后4个位置上的特殊元素有
种,其余的5人在5个位置上任意排列有
种,则共有
种.
2.346
八、排列组合混合问题先选后排策略
1.2.192
九、小集团问题先整体局部策略
1.把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有
种排法，再排小集团内部共有
种排法，由分步计数原理共有
种排法.
2.
3.
十、元素相同问题隔板策略
1.因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
种分法。
2.
3.
十一、正难则反总体淘汰策略
1.这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有
只含有1个偶数的取法有
和为偶数的取法共有
+
，再淘汰和小于10的偶数共9，符合条件的取法共有
+
-9
2.
十二、平均分组问题除法策略
1.分三步取书得
种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF，该分法记为（AB,CD,EF）,则
中还有
（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB），（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）共有
种取法,而这些分法仅是（AB,CD,EF）一种分法,故共有种分法。
2.
3.15404.
十三、合理分类与分步策略
1.199本题有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准；*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准；
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准；*以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准。
2.343.27
十四、构造模型策略
1.把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
种
2.因为题要求每人左右两边都有空位,应认为不存在有人的坐在第一个或最后一个座位;先安排4个人并排坐下,一共有4!
种方法;在已经坐好的4人中插入6个空位,也就是5个位置插入6个空位,因为空位是一样的,因此认为只要并列的两个空位确定了,其他就确定了,因此一共有5取1,即5种方法.根据乘法原理,一共有
种方法,即120种。
十五、实际操作穷举策略
1.从5个球中取出2个与盒子对号有
种，还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,
同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2
种。
2.93.72
十六、分解与合成策略
1.先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5×7×11×13依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：
2.方法一：
先从8个顶点中任取4个顶点构成四面体，共有四面体共
，每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线3×58=174对异面直线。
方法二：
正方体中共有
=28条直线,共有
=378对,其中六个表面、六个对角面、8个正方体的角截面内的直线共面，有
（6+6）+8×3=204对.所以，异面直线共378-204=174对.
十七、化归策略
1.将这个问题退化成9人排成3×3方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有
种。
再从5×5方队选出3×3方队便可解决问题。
从5×5方队中选取3行3列有
选法。
所以从5×5方队选不在同一行也不在同一列的3人有
选法。
2.从A到B无非是走七步,向上和向右,只要确定好向上是哪几步就行了,剩下的肯定是向右走,所以就是从七步里确定是哪三步向上,
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