高二数学复习考点知识精讲与练习15-导数应用的经典题型突破.doc
《高二数学复习考点知识精讲与练习15-导数应用的经典题型突破.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学复习考点知识精讲与练习15-导数应用的经典题型突破.doc（57页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高二数学复习考点知识精讲与练习
专题15导数应用的经典题型突破（单调性、不等式、零点、恒成立）
题型一、利用导数研究函数的单调性问题
1．（2022·北京八十中高二期中）已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.
2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中（理））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题
3．（2022·北京一七一中高二月考）已知.
（1）讨论的单调性；
（2）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.
4．（2019·福建三明·高二期末）已知函数f（x）＝xlnxx2﹣ax+1．
（1）设g（x）＝f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：
x1+x2＞2．
题型三、利用导数研究恒成立问题
5．（2020·甘肃省岷县第一中学高二开学考试（理））已知函数，．
Ⅰ讨论函数在定义域上的单调性；
Ⅱ当时，求证：
恒成立．
6．（2019·河北·沧县中学高二期末（文））已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
题型四、利用导数研究不等式问题
7.已知函数满足；
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值.
8．（2020·湖南·长沙县第九中学高二月考）设函数.
（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
专题强化训练
一、单选题
7．（2022·广东·汕头市东方中学高二期中）已知函数满足满足
9．（2019·福建·莆田一中高二期中（文））已知，，若成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
10．（2022·广西河池·高二月考（理））若函数在区间上只有一个零点，则常数的取值范围为（）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间上的最大值是4，则m的值为（）
A．3 B．1 C．2 D．
12．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，若函数在区间上恰有一个最值点，则实数a的取值范围是（）．
A． B．
C． D．
13．（2022·全国·高二课时练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高二单元测试）函数的大致图象为（）
A． B．
C． D．
15．（2022·全国·高二）已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
16．（2022·江苏·高二课时练习）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
17．（2022·广东实验中学高二月考）“”是“函数在上单调递增”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．（2022·全国·高二课时练习）函数是上的单调函数，则的范围是（）
A． B． C． D．
19．（2020·全国·高二课时练习）已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
20．（2020·黑龙江·牡丹江一中高二月考（文））定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
21．（2022·江苏·涟水县第一中学高二月考）对于函数，下列说法正确的有（）
A．在处取得极大值
B．有两不同零点
C．
D．若在上恒成立，则
22．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（）
A． B． C． D．
23．（2022·全国·高二课时练习）关于函数，下列说法正确的是（）
A．是的极小值点；
B．函数有且只有1个零点；
C．存在正整数，使得恒成立；
D．对任意两个正实数，，且，若，则.
24．（2022·江苏·南京市宁海中学高二期中）关于函数，下列说法正确的是（）
A．当时，在处的切线方程为
B．若函数在上恰有一个极值，则
C．对任意，恒成立
D．当时，在上恰有2个零点
25．（2022·江苏省外国语学校高二期中）已知函数，下述结论正确的是（）
A．存在唯一极值点，且
B．存在实数，使得
C．方程有且仅有两个实数根，且两根互为倒数
D．当时，函数与的图象有两个交点
26．（2022·河北·迁安三中（高中）高二期中）已知函数，，则（）
A．1是函数的极值点 B．当时，函数取得最小值
C．当时，函数存在2个零点 D．当时，函数存在2个零点
27．（2022·江苏省苏州第一中学校高二期中）已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（）
A． B． C．0 D．2
28．（2020·广东东莞·高二期末）已知函数，若，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．当时，
三、填空题
29．（2022·全国·高二单元测试）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
30．（2022·重庆市江津第五中学校高二期中）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围______.
31．（2022·福建省泉州第一中学高二期末）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.
32．（2022·全国·高二单元测试）已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，则不等式的解集为__________.
33．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二月考）已知函数．若函数在上单调递减，则实数的最小值为________．
34．（2022·河北·辛集中学高二月考）已知在单调递减，则的取值范围为______．
35．（2020·全国·高二课时练习）若函数有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
36．（2022·江西·贵溪市实验中学高二月考（文））已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：
只有一个零点．
37．（2022·湖北·武汉市实验学校高二月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：
．
38．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
39．（2022·宁夏·青铜峡市高级中学高二月考（文））已知函数．
当时，求的单调增区间；
若在上是增函数，求得取值范围．
40．（2022·全国·高二课时练习）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:
．
41．（2020·浙江·瑞安市上海新纪元高级中学高二期末）已知函数.
（1）当时，证明：
有唯一零点；
（2）若函数有两个极值点，（），求证：
.
42．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：
；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
57/57
参考答案
1．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【详解】
试题分析：
（Ⅰ）先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；（Ⅱ）借助第（Ⅰ）问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为.
试题解析：
（Ⅰ）
（Ⅰ）设，则当时，；当时，.
所以f（x）在单调递减，在单调递增.
（Ⅱ）设，由得x=1或x=ln（-2a）.
①若，则，所以在单调递增.
②若，则ln（-2a）＜1,故当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.
（Ⅱ）（Ⅰ）设，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.
又，取b满足b＜0且，
则，所以有两个零点.
（Ⅱ）设a=0，则，所以只有一个零点.
（iii）设a＜0，若，则由（Ⅰ）知，在单调递增.
又当时，＜0，故不存在两个零点；若，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.又当时＜0，故不存在两个零点.
综上，a的取值范围为.
【考点】函数单调性，导数应用
【名师点睛】本题第（Ⅰ）问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：
互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
2．
（1）见解析；
（2）见解析.
【分析】
（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：
当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1，利用导数易得，即得证.
【详解】
（1）的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）由
（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.
所以等价于，即.
设g（x）=lnx-x+1，则.
当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g
（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.
【点睛】
利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：
（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
3．
（1）时,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.
（2）.
【详解】
试题分析：
（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.
试题解析：
（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.
考点：
本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.
4．
（1）g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
（2）见解析
【分析】
（1）先得到解析式，然后对求导，分别解和，得到其单调增区间和单调减区间；
（2）由题可知x1，x2是g（x）的两零点，要证x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1＞1，只需证g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，设h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2，利用导数证明在（0，1）上单调递减，从而证明，即g（2﹣x1）＞g（x2），从而证明x1+x2＞2.
【详解】
（1）∵f（x）＝xlnxx2﹣ax+1，
∴g（x）＝f'（x）＝lnx﹣x+1﹣a（x＞0），
∴g'（x）
令g'（x）＝0，则x＝1，
∴当x＞1时，g'（x）＜0；当0＜x＜1时，g'（x）＞0，
∴g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
（2）∵f（x）有两个极值点x1，x2，
∴x1，x2是g（x）的两零点，
则g（x1）＝g（x2）＝0，
不妨设0＜x1＜1＜x2，
∴由g（x1）＝0可得a＝lnx1﹣x1+1，
∵g（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴要证x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1＞1，
只需证g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，
∵g（2﹣x1）＝ln（2﹣x1）﹣2+x1+1﹣（lnx1﹣x1+1）＝ln（2﹣x1）﹣lnx1+2x1﹣2，
令h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），
则，
∴h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（x）＞h
（1）＝0，g（2﹣x1）＞0成立，
即g（2﹣x1）＞g（x2）
∴x1+x2＞2．
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间，构造函数证明极值点偏移问题，属于难题.
5．Ⅰ见解析；（Ⅱ）见解析.
【分析】
Ⅰ求出函数导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ代入a的值，令，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，，从而证明结论．
【详解】
Ⅰ，
当时，，在递减，
当时，时，，
时，，
故在递减，在递增.
Ⅱ当时，，
令，
则，
令，解得：
，
令，解得：
，
故在递减，在递增，
故，显然成立，
故恒成立．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
6．
（1）单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）.
【分析】
（1）根据切线的斜率可求出,得，求导后解不等式即可求出单调区间.
（2）原不等式可化为恒成立，令，求导后可得函数的最小值，即可求解.
【详解】
（1）函数的定义域为，，
又曲线在点处的切线与直线平行
所以，即
，
由且，得，即的单调递减区间是
由得，即的单调递增区间是.
（2）由
（1）知不等式恒成立可化为恒成立
即恒成立
令
当时，，在上单调递减.
当时，，在上单调递增.
所以时，函数有最小值
由恒成立
得，即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，最值，恒成立问题，属于中档题.
7．
（1）的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为
（2）时，的最大值为
【详解】
（1）
令得：
得：
在上单调递增
得：
的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为
（2）得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
得：
当时，
令；则
当时，
当时，的最大值为
8．
（1）2；
（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）.
【详解】
试题分析：
（1）当m=e时，＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值；
（2）由，得，令，x＞0，m∈R，则h
（1）=，
h′（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）-零点的个数；（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围
试题解析：
（1）由题设，当时，
易得函数的定义域为
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
当时，取得极小值
的极小值为2
（2）函数
令，得
设
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，
的最大值为
又，结合y=的图像（如图），可知
①当时，函数无零点；
②当时，函数有且仅有一个零点；
③当时，函数有两个零点；
④时，函数有且只有一个零点；
综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.
（3）对任意恒成立，等价于恒成立
设，在上单调递减
在恒成立
恒成立
（对，仅在时成立），的取值范围是
考点：
导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值
9．B
【分析】
由奇偶性的定义得出函数为偶函数，利用导数知函数在区间上为增函数，由偶函数的性质将不等式变形为，利用单调性得出，从而可解出实数的取值范围.
【详解】
函数的定义域为，关于原点对称，
，函数为偶函数，
当时，，，
则函数在上为增函数，
由得，
由偶函数的性质得，
由于函数在上为增函数，则，即，
整理得，解得，因此，实数的取值范围是，故选B.
【点睛】
本题考查函数不等式的求解，解题的关键在于考查函数的奇偶性与单调性，充分利用偶函数的性质来求解，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．C
【分析】
将问题转化为函数与函数的图像只有一个交点，利用导数研究的极值或最值即可得到答案.
【详解】
令，则，
因为函数在区间上只有一个零点
则函数与函数的图像只有一个交点
又，
在上单调递增，
则
故选：
C.
11．B
【分析】
利用导函数求出在上的单调性，然后结合已知条件即可求解.
【详解】
，令，解得或，
当时，；当时，或，
故在和上单调递增，在上单调递减，
从而在上单调递减，在上单调递增，
又，，则，
所以在区间上的最大值为，解得．
故选：
B．
12．A
【分析】
令，结合已知条件可知，数在区间上恰有一个最值点可转化为在区间上存在唯一的变号零点，然后利用零点存在的基本定理求解实数a的取值范围，然后通过a的取值范围检验在区间上最值点的唯一性即可.
【详解】
令，
若函数在区间上恰有一个最值点，则函数在区间上恰有一个极值点，
从而在区间上存在唯一一个变号零点，
故，即，解得，
此时在区间上恒成立，则在区间上单调递减，
即在区间上存在唯一一个零点，即在上恰有一个最值点．
从而实数a的取值范围是．
故选：
A.
13．C
【分析】
根据题意，当时，通过分离参数得，换元，令，则，则，构造函数并通过导数研究函数的单调性和最值，从而得出；同理当时，得出；当时，可知恒成立；综合三种情况即可求出实数的取值范围.
【详解】
解：
由题可知，时，不等式恒成立，
当时，得，
令，则，，
令，，
则，显然在上，，
所以单调递减，，因此；
当时，得，
令，则，，
令，，
则，显然在上，，
所以单调递减，，因此；
由以上两种情况得：
.
显然当时，得恒成立，
综上得：
实数的取值范围为.
故选：
C.
14．C
【分析】
根据导函数的正负，得出函数的单调性，再由特殊点的函数值的正负，运用排除法，可得选项.
【详解】
当时，则．
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，所以在区间上单调递减，排除A，B．
又，排除D．
故选：
C．
15．B
【分析】
求出导函数，将问题转化为在上恒成立，进而得出，分析不具有单调性，从而可得.
【详解】
由题意，得，又在上恒成立，所以.
而当时，恒为0，此时（），不具有单调性，
所以，即实数a的取值范围为.
故选：
B
16．D
【分析】
由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，根据函数的单调性建立不等式可得选项.
【详解】
由题可设，因为，
则，
所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
∴，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：
D.
17．A
【分析】
由函数在上单调递增有恒成立，进而转化为不等式恒成立问题，求的范围，即可判断条件间的充分、必要性.
【详解】
若在上单调递增，则对任意的恒成立，
∴有对任意的恒成立，即，而当且仅当时等号成立，则.
∴“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：
A．
18．D
【分析】
函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可．
【详解】
函数是上的单调函数，即或（舍）在上恒成立
，解得
故选：
D
【点睛】
本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题．
19．C
【分析】
求得函数的导数，根据函数在上有两个极值点，转化为在上有不等于的解，令，利用奥数求得函数的单调性，得到且，又由在上单调递增，得到在上恒成立，进而得到在上恒成立，借助函数在为单调递增函数，求得，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数，
可得，
又由函数在上有两个极值点，
则，即在上有两解，
即在在上有不等于2的解，
令，则，
所以函数在为单调递增函数，
所以且，
又由在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
又由函数在为单调递增函数，所以，
综上所述，可得实数的取值范围是，即，故选C.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
20．B
【分析】
结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.
【详解】
结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故
可以转换为
对应于恒成立,即
即对恒成立
即对恒成立
令,则上递增,在上递减,
所以
令,在上递减
所以.故,故选B.
【点睛】
本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.
21．ACD
【分析】
A､根据极值的定义求解判断；B､令，结合函数的图象判断；C､利用函数的图象，结合判断；D､根据在上恒成立，由求解判断.
【详解】
A､函数的导数，
令，得，则当时，，函数为增函数；
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，故A正确；
B､当时，，时，，则的图象如图：
由，得，得，
即函数只有一个零点，故B错误；
C､由图象知，，
故成立，故C正确；
D､若在上恒成立，则，
设，则，
当时，，当时，，
即当时，函数取得极大值同时也是最大值，为，
∴，故D正确.
故选：
ACD
【点睛】
关键点点睛：
本题关键是利用导数法，得到函数的图象而得解.
22．AD
【分析】
求导数,利用零点存在定理,可判断A,B;
可判断C，D.
【详解】
函数,,
∵是函数的极值点，∴，即，
当时，,,即A选项正确,B选项不正确;
即D正确,C不正确.
故答案为:
AD.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题.
23．ABD
【分析】
利用导数求函数的极值可判断A选项；求出函数的单调性利用特殊值可判断B；转化为构造函数并求函数的单调性可判断C；利用已知得出，构造函数证明不等式可判断D.
【详解】
对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数，
∴时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
∴是的极小值点，故A正确；
对于B选项，，
∴，
∴函数在上单调递减，
又∵，，
∴函数有且只有1个零点，故B正确；
对于C选项，若，可得，
令，则，
令，则，
∴在上，，函数单调递增，
上，，函数单调递减，
∴，
∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数，使得成立，故C错误；
对于D选项，由，结合A选项可知，
要证，即证，且，
由函数在是单调递增函数，
所以有，
由于，所以，
即证明，
令，
则，所以在是单调递减函数，
所以，即成立，
故成立，所以D正确.
故选：
ABD.
【点睛】
函数中涉及极值、零点，不等式
升级会员 