福建省2020年中考数学复习专题二：实际应用题.docx

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专题二　实际应用题

类型一几何类最值问题

（2018·福建B卷）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．

（1）已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米，如图1.求所利用旧墙AD的长；

（2）已知0＜a＜50，且空地足够大，如图2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．

【分析】

（1）按题意设出AD的长，表示出AB的长进而构成方程求解即可；

（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论S与菜园边长之间的数量关系．

【自主解答】

1．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．

（1）求证：

AE＝2BE；

（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）x为何值时，y有最大值？

最大值是多少？

2．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：

m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.

（1）求y与x的函数解析式；

（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；

（3）若要求≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．

类型二费用、利润最值问题

（2018·陕西）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国．小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：

商品

红枣

小米

规格

1kg/袋

2kg/袋

成本（元/袋）

40

38

售价（元/袋）

60

54

根据上表提供的信息，解答下列问题：

（1）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；

（2）根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg.假设这后五个月，销售这种规格的红枣为xkg，销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式，并求出这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．

【分析】

（1）分别算出红枣和小米的利润，由利润共4.2万元列方程得解；

（2）列出总利润y与红枣的重量x之间的函数关系式，再根据函数性质求最值即可．

【自主解答】

3．（2019·三明质检）某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件利润40元，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件童装降价1元，日销售量将增加2件．

（1）若想要这种童装销售利润平均每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？

（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？

最多利润是多少？

4．（2019·福建模拟）某商店销售10件A商品和5件B商品的利润为1750元，销售5件A商品和10件B商品的利润为2000元．

（1）求A商品和B商品每件的销售利润；

（2）若该商店计划一次购进A，B商品共100件，其中B商品的进货量不超过A商品进货量的2倍，求该商店购进A，B商品各多少件时，全部商品销售完，总利润最大？

5．某销售商准备采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．

（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？

（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．

①求m的取值范围；

②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元/件）的函数关系式（每件销售利润＝售价－进价－销售成本）．

6．（2018·随州）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如下表：

天数（x）

1

3

6

10

每件成本p（元）

7.5

8.5

10

12

任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：

y＝

设李师傅第x天创造的产品利润为W元．

（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）求李师傅第几天创造的利润最大？

最大利润是多少元？

（3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：

如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？

类型三方案问题

某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．

（1）求y与x的函数解析式，其中0≤x≤21；

（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

【分析】

（1）根据购买两种树苗所需费用＝A种树苗费用＋B种树苗费用，即可解答；

（2）根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，列出不等式，确定x的取值范围，再根据

（1）得出的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值范围，即可得出费用最省的方案．

【自主解答】

7．（2019·鸡西）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生，已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．

（1）求购买1个甲种文具、1个乙种文具各需多少元？

（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？

（3）设学校投入资金W元，在

（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？

最少资金是多少元？

8．某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．

（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；

（2）若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于10台，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？

（3）在

（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

类型四函数图象型

小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行．小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min.小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示．

（1）家与图书馆之间的路程为m，小玲步行的速度为m/min；

（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）求两人相遇的时间．

【分析】

（1）根据图象得到路程与速度数据；

（2）根据方程思想列出小东离家路程y与时间x之间的函数关系式；

（3）相遇其实质是求交点坐标．

【自主解答】

9．（2019·福州模拟）某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，又不高于80元/件，试销中销售量y（件）与销售单价x（元/件）的关系可近似地看成一次函数（如图）．

（1）求y与x的关系式；

（2）设商厦获得的毛利润（毛利润＝销售额－成本）为S（元），则销售单价定为多少时，该商厦获利最大，最大利润是多少？

此时的销售量是多少件？

10．（2019·莆田模拟）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米；

（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；

（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？

11．某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与甲车间加工时间x（天）之间的关系如图1所示；未加工大米w（吨）与甲加工时间x（天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：

（1）甲车间每天加工大米吨，a＝；

（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间函数关系式；

（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？

再加工多长时间恰好装满第二节车厢？

12．某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）．

（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？

（收益＝售价－成本）

（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？

简单说明理由；

（3）已知市场部销售该种蔬菜4，5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4，5两个月的销售量分别是多少万千克？

参考答案

类型一

【例1】

（1）设AD＝x米，则AB＝米．

依题意得＝450，

解得x1＝10，x2＝90.

∵a＝20，x≤a，∴x2＝90不合题意，舍去，

∴所利用旧墙AD的长为10米．

（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米．

（ⅰ）如果按图1方案围成矩形菜园，依题意得

S＝＝－（x2－100x）＝－（x－50）2＋1250，0＜x≤a.

∵0＜a＜50，∴x≤a＜50时，S随x的增大而增大，

∴当x＝a时，S最大＝50a－a2.

（ⅱ）如果按图2方案围成矩形菜园，依题意得

S＝＝－[x－（25＋）]2＋（25＋）2，a≤x＜50＋.

当a＜25＋＜50＋，即0＜a＜时，

则x＝25＋时，

S最大＝（25＋）2＝.

当25＋≤a，即≤a＜50时，S随x的增大而减小，

∴当x＝a时，S最大＝＝50a－a2.

综合（ⅰ）（ⅱ），当0＜a＜时，

－（50a－a2）

＝＝＞0，

即＞50a－a2，此时按图2方案围成的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；

当≤a＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积的最大值相等．

综上所述，当0＜a＜时，围成长和宽均为（25＋）米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；

当≤a＜50时，围成长为a米，宽为（50－）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（50a－a2）平方米．

跟踪训练

1．

（1）证明：

∵三块矩形区域的面积相等，

∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍．

又∵EF是公共边，∴AE＝2BE.

（2）解：

设BE＝a，则AE＝2a，

∴8a＋2x＝80，∴a＝，AB＝3a，

∴y＝3a·x＝3×·x＝－x2＋30x.

∵a＝－＋10＞0，∴x＜40，∴0＜x＜40.

（3）解：

∵y＝－x2＋30x＝－（x－20）2＋300（0

∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．

2．解：

（1）由题意可得y＝（8－x）（6－x）＝x2－14x＋48（0＜x＜6）．

（2）由题意可得y＝48－13＝35，

则x2－14x＋48＝35，

即（x－1）（x－13）＝0，解得x1＝1，x2＝13.

经检验，x＝13不合题意，舍去，

∴x的值为1.

（3）y＝x2－14x＋48＝（x－7）2－1.

当≤x≤1时，y随x的增大而减小，

故当x＝时，y最大，此时y＝m2.

类型二

【例2】

（1）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋，则销售这种规格的小米袋．根据题意得

（60－40）m＋（54－38）×＝42000，

解得m＝1500，

∴这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1500袋．

（2）y＝（60－40）x＋（54－38）×

＝12x＋16000.

∵12>0，∴y的值随x值的增大而增大．

∵x≥600，

∴当x＝600时，y＝12×600＋16000＝23200，

∴这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23200元．

跟踪训练

3．解：

（1）设每件童装降价x元，

则（40－x）（2x＋20）＝1200.

解得x1＝20，x2＝10.

为使顾客得到更多实惠，∴x＝20.

答：

每件童装应降价20元．

（2）设每件童装降价x元时，每天盈利为y元，

则y＝（40－x）（2x＋20）

＝－2x2＋60x＋800

＝－2（x－15）2＋1250.

∵－2<0，∴当x＝15时，y有最大值1250元．

答：

当每件童装降价15元时，这种童装一天的销售利润最多，最多利润是1250元．

4．解：

（1）设每件A商品的销售利润为x元，每件B商品的销售利润为y元．

根据题意得解得

答：

每件A商品的销售利润为100元，每件B商品的销售利润为150元．

（2）设购进A商品m件，销售总利润为n元，则购进B商品（100－m）件．根据题意得

n＝100m＋150（100－m）＝－50m＋15000.

∵B商品的进货量不超过A商品进货量的2倍，

∴100－m≤2m，解得m≥33.

∵n＝－50m＋15000，∴n随m的增大而减小．

∵m为正整数，

∴当m＝34时，n取最大值，此时100－m＝66.

答：

该商店购进A商品34件，B商品66件时，全部商品销售完，总利润最大．

5．解：

（1）设一件A型丝绸的进价为x元，则一件B型丝绸的进价为（x－100）元．

根据题意得＝，

解得x＝500.

经检验，x＝500是原方程的解，

∴一件B型丝绸的进价为400元．

答：

一件A型、B型丝绸的进价分别为500元、400元．

（2）①由题意得m≤50－m，解得m≤25，

则m的取值范围是16≤m≤25.

②w＝（800－500－2n）m＋（600－400－n）（50－m）

＝（100－n）m＋10000－50n.

当50≤n＜100时，100－n＞0，w随m的增大而增大，

故当m＝25时，w最大＝12500－75n.

当n＝100时，w最大＝5000.

当100＜n≤150时，100－n＜0，w随m的增大而减小，

故当m＝16时，w最大＝11600－66n.

综上所述，w最大＝

6．解：

（1）p＝0.5x＋7（1≤x≤15，且x为整数）．

W＝

（2）当1≤x＜10时，

W＝－x2＋16x＋260＝－（x－8）2＋324，

∴当x＝8时，W最大＝324（元）．

当10≤x≤15时，W＝－20x＋520，

∴当x＝10时，W最大＝320（元）．

∵324＞320，

∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润为324元．

（3）当1≤x＜10时，令W＝－x2＋16x＋260＝299，

解得x1＝3，x2＝13.

当W＞299时，3＜x＜13.

∵1≤x＜10，∴3＜x＜10.

当10≤x≤15时，令W＝－20x＋520＞299，

解得x＜11.05.

又∵10≤x≤15，∴10≤x≤11.

由上可得李师傅获得奖金的天数是第4天到第11天，李师傅共获得奖金为20×（11－3）＝160（元）．

答：

李师傅共可获得160元的奖金．

类型三

【例3】

（1）根据题意得

y＝90x＋70（21－x）＝20x＋1470，

∴y与x的函数解析式为y＝20x＋1470.

（2）∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，

∴21－x＜x，

解得x＞10.5.

又∵y＝20x＋1470，

∴y随x的增大而增大，且x取整数，

∴当x＝11时，y有最小值，最小值为1690.

答：

使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．

跟踪训练

7．解：

（1）设购买1个甲种文具a元，1个乙种文具b元．由题意得解得

答：

购买1个甲种文具15元，1个乙种文具5元．

（2）根据题意得

955≤15x＋5（120－x）≤1000，

解得35.5≤x≤40.

∵x是整数，

∴x＝36，37，38，39，40，

∴有5种购买方案．

（3）W＝15x＋5（120－x）＝10x＋600.

∵10>0，

∴W随x的增大而增大．

当x＝36时，W最小＝10×36＋600＝960（元），

∴120－36＝84.

答：

购买甲种文具36个，乙种文具84个时，需要的资金最少，最少资金是960元．

8．解：

（1）设A型空调和B型空调每台各需x元，y元．

由题意得解得

答：

A型空调每台需9000元，B型空调每台需6000元．

（2）设采购A型空调a台，则购买B型空调（30－a）台．由题意得

解得10≤a≤12.

∵a为整数，

∴a＝10，11，12，共有三种采购方案．

方案一：

采购A型空调10台，B型空调20台，

方案二：

采购A型空调11台，B型空调19台，

方案三：

采购A型空调12台，B型空调18台．

（3）设总费用为w元，

则w＝9000a＋6000（30－a）

＝3000a＋180000（10≤a≤12，且a为整数），

∴w随a的增大而增大，

∴当a＝10时，w取得最小值，此时w＝210000.

答：

采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．

类型四

【例4】

（1）4000　100

提示：

结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间函数图象，折线O－A－B为小玲离家路程与时间图象，则家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为2000÷20＝100（m/s）．

（2）∵小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家，

则y＝4000－300x（0≤x≤）．

（3）由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，

∴4000－300x＝200x，解得x＝8.

答：

两人出发后8min相遇．

跟踪训练

9．解：

（1）设y＝kx＋b，将（60，40），（70，30）代入得

解得

∴y＝－x＋100.

（2）S＝（－x＋100）（x－50）＝－x2＋150x－5000.

∵a＝－1，b＝150，c＝－5000，

∴当x＝－＝75时，

S最大值＝

＝

＝

＝625.

当x＝75时，y＝－75＋100＝25，

∴当销售价是75元时，最大利润是625元，此时销量为25件．

10．解：

（1）10　30

提示：

甲登山上升的速度是（300－100）÷20＝10（米/分钟），

b＝15÷1×2＝30（米）．

（2）当0≤x＜2时，y＝15x；

当x≥2时，y＝30＋10×3（x－2）＝30x－30.

当y＝30x－30＝300时，x＝11，

∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为

y＝

（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x＋100（0≤x≤20）．

当10x＋100－（30x－30）＝70时，解得x＝3；

当30x－30－（10x＋100）＝70时，解得x＝10；

当300－（10x＋100）＝70时，解得x＝13.

答：

登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．

11．解：

（1）20　15

提示：

由图象可知，第一天甲、乙共加工220－185＝35吨，第二天，乙停止工作，甲单独加工185－165＝20吨，则乙一天加工35－20＝15吨，a＝15.

（2）设y＝kx＋b.

把（2，15），（5，120）代入得

解得

∴y＝35x－55（2≤x≤5）．

（3）①当0＜x≤1时，20＋15＝35＜55，不合理；

②当1＜x≤2时，20x＋15＝55，x＝2；

③当2＜x≤5时，20x＋35x－55＝110，x＝3，

3－2＝1（天）．

答：

加工2天可装满第一节车厢，再加工1天可装满第二节车厢．

12．解：

（1）由图象知，当x＝6时，蔬菜的销售单价y1＝3，蔬菜的成本单价y2＝1，

∴此时出售每千克的收益为3－1＝2（元）．

（2）设y1＝kx＋b.

将（3，5）和（6，3）代入得

解得

∴y1＝－x＋7.

设y2＝a（x－6）2＋1.

将（3，4）代入得a（3－6）2＋1＝4，

解得a＝，

∴y2＝（x－6）2＋1＝x2－4x＋13，

∴出售这种蔬菜每千克的收益W＝y1－y2＝（－x＋7）－（x2－4x＋13）＝－（x－5）2＋.

∵此二次函数的二次项系数为－＜0，

∴当x＝5时，W最大值＝，

∴在5月出售这种蔬菜每千克的收益最大.

（3）设4月份的销售量为n万千克，则5月份的销售量为（n＋2）万千克．根据题意得

[－（4－5）2＋]n＋[－（5－5）2＋]（n＋2）＝22，

解得n＝4，则n＋2＝6.

答：

4，5两个月的销售量分别是4万千克和6万千克．