高中数学之空间向量的数量积含解析.docx
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3．1.5 空间向量的数量积
空间向量的夹角
在帮助日本地震灾区重建家园的过程中，中国某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为5000kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°，（其中g＝10N/kg）．
问题1：
向量F1和－F2夹角为多少？
提示：
120°.
问题2：
每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？
提示：
设每个力大小为|F0|，合力为|F|，
则|F|2＝（F1＋F2＋F3）·（F1＋F2＋F3）
＝（F1＋F2＋F3）2
＝6|F0|2.
∴|F|＝|F0|.
∴|F0|＝×10＝×10＝（N）．
1．空间两个向量的夹角：
定义
图示
表示
范围
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角
〈a，b〉
[0，π]
2.如果〈a，b〉＝0，那么向量a与b同向；
如果〈a，b〉＝π，那么向量a与b反向；
如果〈a，b〉＝，那么向量a与b互相垂直，记作a⊥b.
向量的数量积
两个向量的数量积
（1）定义：
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
①零向量与任何向量的数量积为0.
②两非零向量a，b的夹角〈a，b〉可以由下面的公式求得cos〈a，b〉＝.
③a⊥b⇔a·b＝0（a，b是两个非零向量）．
④|a|2＝a·a＝a2.
（2）运算律：
①a·b＝b·a；
②（λa）·b＝λ（a·b）（λ∈R）；
③a·（b＋c）＝a·b＋a·c.
数量积的坐标运算
在平面向量中，a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），我们知道a·b＝a1a2＋b1b2，那么在空间向量中，a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）．则a·b为多少？
提示：
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
设空间两个非零向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则
（1）a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
（2）|a|＝；
（3）cos〈a，b〉＝.
特别地，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
1．数量积是数量（数值），可以为正，可以为负，也可以为零．
2．数量积的运算不满足消去律和结合律，即a·b＝b·c推不出a＝c；（a·b）c≠a（b·c）．
3．空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，可以用来求解线段的长度和夹角问题．
求空间向量的数量积
[例1] 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：
（1）·；
（2）·.
[思路点拨] 法一：
基向量法：
与，与的夹角不易求，可考虑用向量、、表示向量、、、，再求结论即可．
法二：
坐标法：
建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．
[精解详析] 法一：
（基向量法）如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝
|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
（1）·＝·（＋）＝b·＝|b|2＝42＝16.
（2）·＝（＋）·（＋）＝·（a＋c）＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
法二：
（坐标法）以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B（2,0,0），C（2,4,0），E（1,0,1），D1（0,4,2），F（0,2,2），A（0,0,0），B1（2,0,2），
∴＝（0,4,0），＝（－1,4,1），＝（－2,2,2），＝（2,0,2），
∴
（1）·＝0×（－1）＋4×4＋0×1＝16；
（2）·＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.
[一点通]
解决此类问题的常用方法有两种：
（1）基向量法：
首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：
基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．
（2）坐标法：
对于建系比较方便的题目，采用此法较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．
1.如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱AB，AD，DC的中点，试计算下列各式的值：
（1）·；
（2）·；
（3）·；（4）·.
解：
在棱长为1的正四面体ABCD中，
（1）∵||＝||＝1，〈，〉＝60°，
∴·＝||||cos60°＝1×1×＝；
（2）∵||＝||＝1，〈，〉＝180°－60°＝120°，
∴·＝||||cos120°＝1×1×＝－；
（3）∵||＝，||＝1，
又GF∥AC，∴〈，〉＝180°，
∴·＝||||cos180°＝×1×（－1）＝－；
（4）∵＝－，又〈，〉＝〈，〉＝120°，
∴·＝·（－）＝·－·
＝1×1×－1×1×＝0.
2．已知a＝（－2,0，－5），b＝（3,2，－1），求下列各式的值：
（1）a·a；
（2）|b|；（3）（3a＋2b）·（a－b）．
解：
（1）a·a＝a2＝（－2）2＋02＋（－5）2＝29；
（2）|b|＝＝＝；
（3）法一：
因为3a＋2b＝3（－2,0，－5）＋2（3,2，－1）＝（0,4，－17），a－b＝（－2,0，－5）－（3,2，－1）＝（－5，－2，－4），
所以（3a＋2b）·（a－b）＝（0,4，－17）·（－5，－2，－4）＝0×（－5）＋4×（－2）＋（－17）×（－4）＝60；
法二：
因为a·b＝（－2,0，－5）·（3,2，－1）＝（－2）×3＋0×2＋（－5）×（－1）＝－1，
所以（3a＋2b）·（a－b）＝3a2－a·b－2b2＝3×29－（－1）－2×14＝60.
利用数量积解决夹角和距离问题
[例2] 如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
（1）求AC′的长；
（2）求与的夹角的余弦值．
[思路点拨] 求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用．
[精解详析]
（1）∵＝＋＋，
∴||2＝（＋＋）2
＝||2＋||2＋||2＋2（·＋·＋·）
＝42＋32＋52＋2（0＋10＋7.5）＝85.
∴||＝.
（2）法一：
设与的夹角为θ，
∵ABCD是矩形，∴||＝＝5.
∴由余弦定理可得
cosθ＝＝＝.
法二：
设＝a，＝b，＝c，
依题意得·＝（a＋b＋c）·（a＋b）
＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c
＝16＋0＋9＋4×5×cos60°＋3×5×cos60°
＝16＋9＋10＋＝，
∴cosθ＝＝＝.
[一点通]
1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a，即|a|＝通过向量运算求|a|.
2．对于空间向量a、b，有cos〈a，b〉＝.
利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为，故〈a，b〉∈时，它们相等；而当〈a，b〉∈时，它们互补．
3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．
解：
∵＝＋＝＋，＝－，且·＝·＝·＝0，∴·＝－＝－1.
又||＝，||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.
4.如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求的模．
解：
∵＝＋＋，
∴||2＝·＝（＋＋）·（＋＋）＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·.①
∵AB＝BC＝CD＝2，∴||＝||＝||＝2.②
又∵AB⊥α，BC⊂α，∴AB⊥BC.∴·＝0.③
∵CD⊥BC，∴·＝0.④
把②③④代入①可得||2＝4＋4＋4＋2·
＝12＋2||||cos〈，〉
＝12＋8cos〈，〉．⑤
∵∠DCF＝30°，∴∠CDF＝60°.
又∵AB⊥α，DF⊥α，
∴AB∥DF.
∴〈，〉＝〈，〉＝60°.
∴〈，〉＝120°.代入⑤式得到＝12＋8cos120°＝8，∴||＝2.
利用数量积解决平行和垂直问题
[例3] 已知空间三点A（－2,0,2）、B（－1,1,2）、C（－3，0,4）．设a＝，b＝.
（1）设|c|＝3，c∥，求c；
（2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[思路点拨]
（1）根据c与共线，设c＝λ→→；
（2）→→.
[精解详析]
（1）∵＝（－2，－1,2）且c∥，
∴设c＝λ＝（－2λ，－λ，2λ）．
∴|c|＝＝3|λ|＝3.
解得λ＝±1.
∴c＝（－2，－1,2）或c＝（2,1，－2）．
（2）∵a＝＝（1,1,0），b＝＝（－1,0,2），
∴ka＋b＝（k－1，k,2），ka－2b＝（k＋2，k，－4）．
∵（ka＋b）⊥（ka－2b），
∴（ka＋b）·（ka－2b）＝0.
即（k－1，k,2）·（k＋2，k，－4）＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
[一点通]
向量平行与垂直问题主要有两种题型：
（1）平行与垂直的判断；
（2）利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．
5．将本例中条件“若向量ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若向量ka＋b与a＋kb互相平行”，其他条件不变，求k的值．
解：
a＝（1,1,0），b＝（－1,0,2），
∴ka＋b＝（k－1，k,2），
a＋kb＝（1,1,0）＋（－k,0,2k）＝（1－k,1,2k），
∵ka＋b与a＋kb平行，
∴ka＋b＝λ（a＋kb），即（k－1，k,2）＝λ（1－k,1,2k）．
∴∴或
∴k的值为±1.
6．已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：
AD⊥BC.
证明：
∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴·＝0，·＝0，
∴·＝（＋）·（－）
＝·＋·－－·
＝·－－·
＝·（－－）＝·＝0.
∴⊥，从而AD⊥BC.
7．已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：
PM⊥QN.
证明：
如图，设＝a，＝b，＝c，又P、M分别为OA、BC的中点．
∴＝－
＝（b＋c）－a
＝[（b－a）＋c]．
同理，＝－＝（a＋c）－b
＝－[（b－a）－c]．
∴·＝[（b－a）＋c]·
＝－（|b－a|2－|c|2）．
又AB＝OC，即|b－a|＝|c|.
∴·＝0，
∴⊥，∴PM⊥QN.
1．若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），
则a∥b（b≠0）⇔
但不等价于＝＝.
2．在处理两向量夹角为锐角或钝角时，一定要注意两向量共线的情况．
[对应课时跟踪训练（二十二）]
1．已知A（2，－5,1），B（2，－2,4），C（1，－4,1），则向量与的夹角为________．
解析：
＝（0,3,3），＝（－1,1,0），∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝60°.
答案：
60°
2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.
解析：
a·b＝2×3×cos60°＝3.∴|2a－3b|＝＝＝.
答案：
3．若＝（－4,6，－1），＝（4,3，－2），|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝
________________________________________________________________________.
解析：
设a＝（x，y，z），由题意有代入坐标可解得：
或
答案：
或
4．已知a＝（1,1,0），b＝（0,1,1），c＝（1,0,1），p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.
解析：
∵p＝（1,1,0）－（0,1,1）＝（1,0，－1），
q＝（1,1,0）＋2（0,1,1）－（1,0,1）＝（0,3,1），
∴p·q＝1×0＋0×3＋（－1）×1＝－1.
答案：
－1
5．如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．
解析：
∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0.
又∵二面角为120°，∴〈，〉＝60°，
∴2＝||2＝（＋＋）2
＝2＋2＋2＋2（·＋·＋·）＝164，
∴||＝2.
答案：
2
6．已知a＝（1,5，－1），b＝（－2,3,5）．
（1）若（ka＋b）∥（a－3b），求k的值；
（2）若（ka＋b）⊥（a－3b），求k的值．
解：
ka＋b＝（k－2,5k＋3，－k＋5），
a－3b＝（1＋3×2,5－3×3，－1－3×5）
＝（7，－4，－16）．
（1）∵（ka＋b）∥（a－3b），
∴＝＝，解得k＝－.
（2）∵（ka＋b）⊥（a－3b），
∴（k－2）×7＋（5k＋3）×（－4）＋（－k＋5）×（－16）＝0.
解得k＝.
7．已知A（1,1,1），B（2,2,2），C（3,2,4），求△ABC的面积．
解：
∵＝（1,1,1），＝（2,1,3），
∴||＝，||＝，·＝6，
∴cos∠BAC＝cos〈，〉＝
＝＝，
∴sin∠BAC＝＝＝，
∴S△ABC＝||||sin∠BAC
＝×××＝.
8．在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题．
（1）求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；
（2）作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
解：
建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）由题意得A（2,0,0），O1（0,0,2），B1（2,3,2），E（1,3,0），
∴＝（－2,0,2），＝（－1,0，－2），
∴cos〈，〉＝＝－.
故AO1与B1E所成的角的余弦值为.
（2）由题意得⊥，∥，
∵C（0,3,0），设D（x，y,0），
∴＝（x，y，－2），＝（x－2，y,0），＝（－2,3,0），
∴解得
∴D.
O1D＝||＝
＝＝.
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