高中数学选修21 第三章 空间向量B卷.docx
《高中数学选修21 第三章 空间向量B卷.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学选修21 第三章 空间向量B卷.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高中数学选修21第三章空间向量B卷
高中数学选修2-1第三章空间向量（B卷）试卷
一、选择题（共16题；共50分）
1.下列说法正确的是（ ）
A.向量与的长度相等
B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【考点】空间向量的概念
【解析】与互为相反向量，模相等，故A正确；B中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，故B错误；有向线段只是空间向量的一种表示形式，二者并不相同，故C错误；不相等的向量可以长度相等而方向不同，故D错误．
2.在中，已知D是AB边上一点，若，则λ＝（ ）
A.
B.
C.－
D.－
【答案】A
【考点】空间向量的线性运算,空间向量中的共线与共面问题
【解析】如下图，.
∴λ＝.
3.若向量的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量成为空间一组基底的关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【考点】基底的概念
【解析】对于选项A，由结论（x＋y＋z＝1）⇒M，A，B，C四点共面知，共面；对于B，D选项，易知共面，故只有选项C中，不共面．
4.已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【考点】空间向量坐标运算
【解析】∵a、b、c三向量共面，所以存在实数m、n，使得c＝ma＋nb.即
∴λ＝.
5.已知A（3，4，5），B（0，2，1），O（0，0，0），若＝，则C的坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【考点】空间向量坐标运算
【解析】＝（－3，－2，－4），＝，∴C.
6.如下图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则的值为（ ）
A.0
B.
C.
D.
【答案】A
【考点】数量积的概念,数量积运算律
【解析】设，，，由已知条件==，且|b|＝|c|，∴.
7.若O是所在平面内一点，且满足则一定是（ ）
A.等边三角形B.斜三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
【答案】C
【考点】数量积的概念,数量积的应用
【解析】
∴BC⊥AC.
∴一定是直角三角形．
8.两平面α、β的法向量分别为u＝（3，－1，z），v＝（－2，－y，1），若α⊥β，则y＋z的值是（ ）．
A.－3
B.6
C.－6
D.－12
【答案】B
【考点】平面法向量的求法
【解析】α⊥β⇒u·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.
9.如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则（ ）
A.EF至多与A1D、AC之一垂直
B.EF与A1D、AC都垂直
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
【答案】B
【考点】直线方向向量的求法,直线方向向量与平面法向量证证明位置关系
【解析】设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），
E，F，B（1，1，0），D1（0，0，1），＝（－1，0，－1），＝（－1，1，0），
＝，＝（－1，－1，1），＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.
10.如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】空间向量求线面角
【解析】建立坐标系如下图所示
则A（2，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，1），B1（2，2，1），连接B1D1交A1C1于O，则是平面BB1D1D的一个法向量，由A1（2，0，1），C1（0，2，1）知O（1，1，1），
∴＝（－1，1，0），＝（－2，0，1）．∴cos〈，〉＝
设BC1与平面BB1D1D成的角为θ，则sinθ＝cos〈，〉＝.
11.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于（ ）
A.30°
B.150°
C.30°或150°
D.以上均错
【答案】A
【考点】空间向量求线线角
【解析】直线的方向向量的夹角与直线所称的角为相等或者互补关系，注意范围.
12.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【考点】空间向量求距离
【解析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1（0，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）．
因O为A1C1的中点，所以O（，，1），＝（，－，0），设平面ABC1D1的法向量为n＝（x，y，z），则有即取n＝（1，0，1）
∴O到平面ABC1D1的距离为：
d＝＝＝.
13.已知向量a＝（1，1，,0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是（ ）
A.1
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】空间向量坐标运算
【解析】∵ka＋b=（k－1，k，2），2a－b=（3，2，－2），若（ka＋b）⊥（2a－b），则（ka＋b）·（2a－b）=0，
∴3（k－1）＋2k－4＝0，∴k＝，故选D.
14.已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于（ ）
A.
B.97
C.
D.61
【答案】C
【考点】数量积的概念
【解析】|2a－3b|2＝4a2＋9b2－12a·b＝4×4＋9×9－12×|a||b|cos60°
＝97－12×2×3×＝61.∴|2a－3b|=，故选C.
15.从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B—PA—C的余弦值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【考点】空间向量求二面角
【解析】在射线PA上取一点O，分别在面PAB，PAC内作OE⊥PA，OF⊥PA交PB，PB于EF，连接E、F，则∠EOF即为所求二面角的平面角．在△EOF中可求得cos∠EOF＝.
16.如下图所示，在几何体A－BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为（ ）
A.
B.
C.2
D.
【答案】B
【考点】空间向量求距离
【解析】＝＋＋，∵||＝||＝1＝||，且·＝·＝·＝0.
又∵2＝（＋＋）2，∴2＝3，∴AE的长为.故选B.
二、解答题（共6题；共50分）
17.已知空间三点A（0，2，3）、B（－2，1，6）、C（1，－1，5）．
（1）.以、为邻边的平行四边形面积（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【考点】空间向量求线线角,空间向量求距离
【解析】由题中条件可知
＝（－2，－1，3），＝（1，－3，2），
∴，∴sin〈，〉＝，
∴以，为邻边的平行四边形面积S＝||·||·sin〈，〉＝7.
（2）.若|a|＝，且a分别与、垂直，则向量a的坐标（）
A.a＝（1，1，1）
B.a＝（－1，－1，－1）
C.a＝（1，1，1）或a＝（－1，－1，－1）
D.a＝（1，－1，－1）或a＝（－1，－1，－1）
【答案】C
【考点】空间向量求线线角
【解析】设a＝（x，y，z），由题意得解得或
∴a＝（1，1，1）或a＝（－1，－1，－1）.
18.直三棱柱ABC－A1B1C1，底面中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
（1）.则的长为（）
A.1
B.2
C.
D.
【答案】C
【考点】空间向量求距离
【解析】如下图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz.
依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴.
（2）.则cos〈，〉的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【考点】空间向量求线线角
【解析】依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴＝（1，－1，2），＝（0，1，2），∴.
19.如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．则BD与平面ADMN所成的角θ（）
A.45°
B.30°
C.60°
D.90°
【答案】B
【考点】空间向量求线线角
【解析】如下图所示，建立空间直角坐标系，
设BC＝1，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）则N（1，0，1），
∴＝（－2，2，0），＝（0，2，0），＝（1，0，1），
设平面ADMN的一个法向量为n＝（x，y，z），则由得取x＝1，
则z＝－1，∴n＝（1，0，－1），∵＝＝－，
∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
20.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝1，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
（1）.直线AC与PB所成角的余弦值（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【考点】空间向量求线线角
【解析】建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2），E（0，，1），
∴＝（1，1，0），＝（1，0，－2）设与的夹角为θ，则∴AC与PB所成角的余弦值为.
（2）.在侧面PAB内找一点N坐标（），使NE⊥平面PAC.
A.（，0，-1）
B.（，0，2）
C.（，0，-2）
D.（，0，1）
【答案】D
【考点】直线方向向量与平面法向量证证明位置关系
【解析】由于N点在侧面PAB内，故可设N（x，0，z），则＝（－x，，1－z），由NE⊥平面PAC可得，即
化简得∴，即N点的坐标为（，0，1）．
21.如下图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB.
（1）.则PA的长为（）
A.
B.
C.
D.3
【答案】A
【考点】直线方向向量与平面法向量证证明位置关系,空间向量求距离
【解析】如下图，连接BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CDcos＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3，又OD＝CDsin＝，故A（0，－3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0）．
因PA⊥底面ABCD，可设P（0，－3，z），由F为PC边中点，又，＝（，3，－z），因AF⊥PB，故·＝0，即6－＝0，z＝2（舍去－2），所以||＝2.∴PA的长为2.
（2）.则二面角B－AF－D的正弦值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【考点】空间向量求二面角
【解析】由
（1）知＝（－，3，0），＝（，3，0），＝（0，2，）．
设平面FAD的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
平面FAB的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
由n1·＝0，n1·，得
因此可取n1＝（3，，－2）．
由n2·＝0，n2·＝0，得
故可取n2＝（3，－，2）．
从而法向量n2，n2的夹角的余弦值为cos＝＝.
故二面角B－AF－D的正弦值为.
22.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
若二面角P-CD-A的大小为45°，则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【考点】空间向量求线线角,空间向量求线面角,空间向量求二面角
【解析】由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
于是CD⊥PD.
从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.
由∠PAB＝90°，且PA与CD所成的角为90°，可得PA⊥平面ABCD.
设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.
作Ay⊥AD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A（0，0，0），P（0，0，2），C（2，1，0），E（1，0，0）．
所以＝（1，0，－2），＝（1，1，0），＝（0，0，2）．
设平面PCE的法向量为n＝（x，y，z）．
由得设x＝2，解得n＝（2，－2，1）．
设直线PA与平面PCE所成角为α，
则sinα＝＝＝.
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.
升级会员 