统计概率知识点梳理总结.docx

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统计概率知识点梳理总结

第一章随机事件与概率

一、教学要求

1•理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与

运算.

2•了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算.

3.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算.

4•理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算

5•掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率

计算有关事件的概率.

本章重点：

随机事件的概率计算.

二、知识要点

1•随机试验与样本空间

具有下列三个特性的试验称为随机试验：

（1）试验可以在相同的条件下重复地进行；

（2）每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；

（3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现.

试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用门表示，其中的每一个结果用e

表示，e称为样本空间中的样本点，记作门二{e}.

2•随机事件

在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现

某种规律性的事情称为随机事件（简称事件）•通常把必然事件（记作】）与不可能事件

（记作）

看作特殊的随机事件.

3.**事件的关系及运算

（1）包含：

若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件

B包含事件A,

记作AB（或B二A）.

⑵相等：

若两事件A与B相互包含，即A二B且B二A,那么,

称事件A与B相

等，记作A二B.

（3）和事件：

“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为

A与B的和事件,

记作A_•Bn个事件AA2,山，A中至少有一事件发生”这一事件称为

IJA

A,A2，III，An的和，记作AlA211（An（简记为宫）.

（4）积事件：

“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作

A^B（简记为AB）;“n个事件A，A川，An同时发生”这一事件称为

A,A2，川，An的积事件，记作Ai「A2-山-人（简记为AAJHAn或L）.

（5）互不相容：

若事件A和B不能同时发生，即AB=••，那么称事件A与B互不相容（或互斥），若n个事件A1，A2，山，An中任意两个事件不能同时发生，即

AAj=（1

（6）对立事件：

若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB=•且

A一B—，那么，称A与B是对立的•事件A的对立事件（或逆事件）记作A.

（7）差事件：

若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A与B的差

事件，记作A-B（或AB）

（8）交换律：

对任意两个事件A和B有

A.B=B1.A,AB=BA.

（9）结合律：

对任意事件A,B,C有

Au（BuC）=（AuB）.CAc（BcC）=（AcB）cC

>•

（10）分配律：

对任意事件A,B,C有

Au（BcC）=（AuB）c（AuC）Ac（B.C）=（AcB）u（A^C）

（11）德U摩根（DeMorgan）法则：

对任意事件A和B有

A一B二A一B,A一B二A一B.

4.频率与概率的定义

（1）频率的定义

的频率，记作fn（A），即

fn（A）£

设随机事件A在n次重复试验中发生了nA次，则比值nA/n称为随机事件A发生

（ii）

P（{e}）=P（{e»）=ill=P（g}）

在古典概型中，规定事件A的概率为

A中所含样本点的个数

P（A=I■■中所含样本点的个数

（4）几何概率的定义

如果随机试验的样本空间是一个区域（可以是直线上的区间、平面或空间中的区

域），且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件A的概率为

aA的长度（或面积、体积）

P（A）=样本空间的的长度（或面积、体积）•

（5）概率的公理化定义

设随机试验的样本空间为,随机事件A是门的子集，P（A）是实值函数，若满足下列三条公理：

公理1（非负性）对于任一随机事件A,有P（A）>0；

公理2（规范性）对于必然事件门，有PC）二1；

公理3（可列可加性）对于两两互不相容的事件A'AzjlbAnNl，有

cdoO

P（Ua）八P（A）

i1id

则称P（A）为随机事件A的概率.

5.**概率的性质

由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质

（1）P（）".

⑵（有限可加性）设n个事件AA，川人两两互不相容，则有

P（A_•A?

—代）八P（A）

i4.

（3）对于任意一个事件A:

P（A）=1_P（A）

⑷若事件A,B满足AB，则有

P（B-A）=P（B）-P（A）

P（A）乞P（B）.

（5）对于任意一个事件A,有P（A）叮.

（6）（加法公式）对于任意两个事件A,B,有

P（AB）=P（A）P（B）-P（AB）

对于任意

n个事件An，有

P（A

\）八P（AJ-、P（AAj）'p（AAjAQ-|l|（-1）n」P（A"IAn）

i壬1巴直1知

6.**条件概率与乘法公式

设A与B是两个事件.在事件B发生的条件下事件A发生的概率称为条件概率，记

作P（A|B）•当P（B）0，规定

在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质.

乘法公式：

对于任意两个事件A与B,当P（A）0,P（B）0时，有

P（AB）=P（A）P（B|A）=P（B）P（A|B）

7.*随机事件的相互独立性

如果事件A与B满足

P（AB）二P（A）P（B）

那么，称事件A与B相互独立.

关于事件A,月的独立性有下列两条性质：

（1）如果P（A）0，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是P（B|A）二P（B）；如果P（B）0，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是P（A|B）rP（A）.

这条性质的直观意义是“事件A与B发生与否互不影响”.

（2）下列四个命题是等价的：

（i）事件A与B相互独立；

（ii）事件A与B相互独立；

（iii）事件A与B相互独立；

（iv）事件A与B相互独立.

对于任意n个事件A，A2,川,An相互独立性定义如下：

对任意一个k=2」|l,n，任意的

1斗汕（：

：

ik“，若事件AAIHA总满足

P（r|l（Ak）二P（AJ川P（AJ

则称事件AA，山，An相互独立•这里实际上包含了2n-n-1个等式.

8.*贝努里概型与二项概率

设在每次试验中，随机事件A发生的概率P（A）二P（°”：

：

1），则在n次重复独立

试验中.，事件A恰发生k次的概率为

m）knk

Pn（k）=hp（1—p）,k=o,1,|||,nlk丿

称这组概率为二项概率.

.**全概率公式与贝叶斯公式

、P（A）P（B|A）

第二章离散型随机变量及其分布

一、教学要求

1.理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握0-1分布、二项分

布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、几何分布及其应用.

2•理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计算有关事件的概率.

3.理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布.

4.掌握离散型随机变量独立的条件.

5.会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布.

本章重点：

离散型随机变量的分布及其概率计算.

、知识要点

1.一维随机变量

若对于随机试验的样本空间门中的每个试验结果e，变量X都有一个确定的实数值

与e相对应，即X=X（e），则称X是一个一维随机变量.

概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布.

2.**离散型随机变量及其概率函数

如果随机变量X仅可能取有限个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量.

设离散型随机变量X的可能取值为a（i“2m,n,HI）,

Pi=P（X=3i）,i=1,2,|l（,n,l|l.

£Pi=1

若y，则称Pi（i"2川，n,M）离散型随机变量X的概率函数，概率函数也可用下列表格形式表示：

aia?

川anIII

PiP2川PnHI

3.*概率函数的性质

无Pi=1

⑵心.

由已知的概率函数可以算得概率

P（XS）八Pi

aiWs

其中，s是实数轴上的一个集合.

4.*常用离散型随机变量的分布

⑴0—1分布B（1，P），它的概率函数为

P（X=i）*'（1一卩）1」

其中，i=0或1,QP:

（2）二项分布B（n,p），它的概率函数为

⑴in

P（X=i）=.p'（1—p）n

U丿

其中，i=0,1,2川|,n,0cpc1.

（4）泊松分布P（'），它的概率函数为

P（X=i）e_，

其中，i=0,1,2川I,n,|||，人>0.

（5）均匀分布，它的概率函数为

P（X二a）二

其中i=0,1,2,111,n

丿、I?

♦

5.二维随机变量

若对于试验的样本空间11中的每个试验结果e,有序变量（X，丫）都有确定的一对实数值与e相对应，即X=X（e）,丫二丫（e）,则称（X,Y）为二维随机变量或二维随机向量.

6.*二维离散型随机变量及联合概率函数

如果二维随机变量（X，Y）仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称（X，Y）为二维

离散型随机变量.

二维离散型随机变量（X,Y）的分布可用下列联合概率函数来表示：

P（X=ai,Y=bj）=p,i,j=1,2,川，

Pj-0,i,j=1,2,Hl,二Pj=1

其中，ij•

7•二维离散型随机变量的边缘概率函数

设（X,Y）为二维离散型随机变量，Pij为其联合概率函数（i,j=12HI），称概率

P（X二ai）（i=1,2JIO为随机变量X的边缘概率函数，记为pL并有

p.=P（X=印）=瓦p「i=1,2川

称概率P（Y=bj）（j二1,2,川）为随机变量Y的边缘概率函数，记为P.j，并有

pP（丫=bj）Pj,j=1,2」11

P.j=i

8•随机变量的相互独立性

设（X,Y）为二维离散型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件为

Pj二PiLP_j,对一切i,j=1,2,|l|.

多维随机变量的相互独立性可类似定义•即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论.

9.随机变量函数的分布

设x是一个随机变量，g（x）是一个已知函数，丫二g（x）是随机变量x的函数，它也是一个随机变量.对离散型随机变量X，下面来求这个新的随机变量Y的分布.

（2）概率的统计定义

在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大

时，频率fn（A）在一个稳定的值P（0

（3）**古典概率的定义

具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：

（i）试验的样本空间门是个有限集，不妨记作门二｛乳佥,川，弓｝；

在每次试验中，每个样本点e（i=1,23^l，n）出现的概率相同，即

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