初中数学建模类型浅析数学与统计学院.docx

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初中数学建模类型浅析数学与统计学院

初中数学建模类型浅析

　　　　　　　　　　　江苏省邳州市陆井中学

　　　　　　　　　　　　　　　　　　袁银宗

　　解决简单的实际问题是大纲规定的教学目的之一，数学建模就是将具有实际意义的应用题，通过数学抽象转化为数学模型，以求得问题的解决．选取若干范例，对其建模类型略陈管见，供参考．

　　一、建立几何模型诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复破残轮片、跑道的设计与计算等应用问题，涉及一定图形的性质常需建立几何模型，转化为几何问题求解．

　　例1　如图1，足球赛中，一球员带球沿直线l逼近球门AB，他应在什么地方起脚射门最为有利？

　　分析　这是几何定位问题，根据常识，起脚射门的最佳位置P应该是直线l上对AB张角最大的点，此时进球的可能性最大，问题转化为在直线l上求点P．使∠APB最大．为此，过AB两点作圆与直线l相切，切点P即为所求．当直线l垂直线段AB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利．可见“临门一脚”的功夫理应包括选取起脚射门的最佳位置。

　　二、建立三角模型对测高、测距、航海，燕尾槽、拦水坝、人字架的计算等应用问题，则可建立三角模型，转化为解三角形问题．

例2海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°．如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？

　　简析　根据题意作出如图2的示意图，继续航行能否触礁，就是比较AC与8的大小。

问题转化为解直角三角形，求AC的长。

　　AC

　　对这类问题中涉及到的测量专用名词的含义及测量仪器的使用，教学中应予以重视。

　　三、建立方程模型对现实生活中广泛存在的等量关系，如增长率、储蓄利息、浓度配比、工程施工及人员调配、行程等问题，则可列出方程转化为方程求解问题．

　　例3　某家俱的标价为132元，若降价为9折出售即优惠10％），仍可获利10％（相对于进资价）。

求该家俱的进货价。

　　简析　设该家惧的进货价为x元．则问题转化为求方程

　　例4　如图3

（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向一条横向且横向与纵向互相垂直）．把耕地分成大小相等的六块作实验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？

（1997年安徽省中考题）

　　简析　如图3

（2）．作整体思考，设道路的宽为xm，则问题转化为求方程（20－x）（32－2x）＝570的解，解得x1＝1，x2＝35（不合题意，舍去）。

　上述三种建模类型是初中教材中涉及最多的，也是学生感知最为丰富的现实原型。

　　四、建立直角坐标系模型当变量的变化具有（近似）函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图象问题求解。

　　例5　在如图4所示的自动喷灌设备中，喷出的水流呈现抛物线状．设水管AB高出地面1．5米．水流最高点C比喷头B高2米，且与B点连线夹角与水平面成45°，求水流落地点到A点的距离。

　　简析　因水流路线是抛物线，可建立如图4所示的平面直角坐标系，问题转化为求抛物线与x轴交点的横坐标．由已知条件可求得抛物

　　对于飞机投物、打炮射击、投篮、平抛等问题，其物体运动的轨迹都是抛物线，往往可转化为二次函数图象问题去解决．当变量之间具有线性关系时，则可转化为直线或平面区域问题去解决．五、建立目标函数模型对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用料最少，利润产出最大等，可透过实际背景、建立变量之间的目标函数，转化为函数极值问题．

　　例6　某商店如将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润．

　　简析　设每件售价提高x元，则每件得利润（2＋x）元，每天销售量变为（200－20x）件，所获利润y＝（2＋x）（200－20x）＝－20（x－4）2＋720．故当x＝4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润720元．

　　函数关系是普遍存在的，所呈现的函数关系也并非都是二次的．因此建立目标函数模型的应用十分广泛。

　　六、建立不等式模型　在市场经营、生产决策和社会生活中，如估计生产数量，核定价格范围，盈亏平衡分析，投资决策等，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，转化为不等式（组）的求解或目标函数在闭区间的最值问题。

　　例7　某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其它总开支是50000元．如果该工厂计划每月至少要获得200000元利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的生产量应是多少？

　　简析　设每月生产x件产品，则总收入为80x，直接生产成本为60x，每月利润为80x－60x－50000＝20x－50000．问题转化为求不等式20x－50000≥200000的解．解得x≥12500（件）。

透视数学中考中应用建模题

山东省东营市广饶县稻庄镇实验中学　张良鹏

著名数学家华罗庚先生曾这样论述数学的应用：

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用到数学。

”伴随着素质教育的实施，联系实际，贴近生活的数学中考题已经走入各省市的中考试卷。

它引导学生从已有的知识和生活经验出发，使其在解决问题的过程中体会数学与自然以及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心。

这类问题在解决时，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象为数学问题，即将实际问题经过抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型。

再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，从而得出结论。

然后再把解得的数学结论返回到实际问题中。

下面分类予以说明：

一、建立数式模型

数与式是最基本的数学语言，由于它能有效、简捷、准确地揭示由低级到高级、由具体到抽象、有特殊到一般的数学思维过程，富有通用性和启发性，数与式模型通常成为学生抽象和概括数学问题的重要方法。

例1　（2004年安徽芜湖市中考题）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：

（单位：

元）

星期

一

二

三

四

五

每股涨跌（元）

＋2

－0.5

＋1.5

－1.8

＋0.8

根据上表回答问题：

①星期二收盘时，该股票每股多少元？

②周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？

③已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。

若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？

解：

（1）星期二收盘价为25＋2－0.5＝26.5（元/股）

（2）收盘最高价为25＋2－0.5＋1.5＝28（元/股）

收盘最低价为25＋2－0.5＋1.5－1.8＝26.2（元/股）

（3）小王的收益为：

27×1000（1－5‰）－25×1000（1＋5‰）

＝27000－135－25000－125

＝1740（元）

∴小王的本次收益为1740元。

二、建立方程（组）模型

方程（组）是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，求解此类问题的关键是：

针对给出的实际问题，设定合适的未知数，找出相等关系，但要注意验证结果是否适合实际问题。

例2　（2004年山东省枣庄市中考题）某家庭新购住房需要装修，如果甲、乙两个装饰公司合做，12天可以完成，需付装修费1.04万元；如果甲公司先做9天，剩下的由乙公司来做，还需16天完成，共需付装修费1.06万元。

若只选一个装饰公司来完成装修任务，应选择哪个装饰公司？

试说明理由

解：

设甲公司单独做x天完成，乙公司单独做y天完成。

根据题意，得

解之，得

。

经检验，

是原方程组的解，且符合题意。

设甲公司单独完成装修工程需装修费a万元，乙公司单独完成装修工程需装修费b万元。

则

解之，得

所以，甲公司完成装修工程需21天，装修费0.98万元；乙公司完成装修工程需28天，装修费1.12万元。

从节约时间、节省开支的角度考虑，应选择甲公司来完成此项装修任务。

三、建立不等式模型

现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值。

但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围，从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识。

例3　（2004年河北省中考题）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台。

先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区。

两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：

每台甲型收割机的租金

每台乙形收割机的租金

A地区

1800元

1600元

B地区

1600元

1200元

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议。

解：

（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为（30－x）台；派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）台。

∴y＝1600x＋1800（30－x）＋1200（30－x）＋1600（x－10）＝200x＋74000

x的取值范围是：

10≤x≤30（x是正整数）

（2）由题意得200x＋74000≥79600

解不等式得x≥28由于10≤x≤30（x是正整数）

∴x取28，29，30这三个值。

∴有3种不同的分配方案。

①当x＝28时，即派往A地区的甲型收割机为2台，乙型收割机为28台；派往B地区的甲型收割机为18台，乙型收割机为2台。

②当x＝29时，即派往A地区的甲型收割机为1台，乙型收割机为29台；派往B地区的甲型收割机为19台，乙型收割机为1台。

③当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区。

（3）由于一次函数y＝200x＋74000的值y是随着x的增大而增大的，所以当x＝30时，y取得最大值。

如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x＝30，此时，y＝6000＋74000＝80000。

建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区，可使公司获得的租金最高。

四、建立函数模型

函数应用问题涉及的知识层面丰富，解法灵活多变，是考试命题的热点问题。

解答此类问题，一般都是从建立函数关系入手，将实际问题模型化或结合函数图象来挖掘解题思路。

例4　（2004年安徽南山区中考题）如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线

运行，然后准确落入篮框内。

已知篮框的中心离地面的距离为3.05米。

（1）球在空中运行的最大高度为多少米？

（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？

解：

（1）∵抛物线

的顶点坐标为（0，3.5）

∴球在空中运行的最大高度为3.5米

（2）在

中

当y＝3.05时x＝±1.5又∵x＞0∴x＝1.5

当y＝2.25时x＝±2.5又∵x＜0∴x＝－2.5

故运动员距离篮球中心水平距离为｜1.5｜＋｜－2.5｜＝4米

五、建立统计模型

统计知识在现实生活中有着广泛的应用，作为学生要学会深刻理解基本统计思想，要善于提出问题，考虑抽样，收集数据，分析数据，做出决策，并能进行有效的交流、评价与改进。

例5　（2004年福建省南平市中考题）下图反映了被调查用户对甲、乙两种品牌空调售后服务的满意程度（以下称：

用户满意程度），分为很不满意、不满意、较满意、很满意四个等级，并依次记为1分、2分、3分、4分。

（1）求甲、乙两品牌用户满意程度分数的平均值；（计算结果保留到小数点后第2位）

（2）根据条形统计图及上述计算结果说明哪个品牌用户满意程度较高？

该品牌用户满意程度分数的众数是多少？

（1）甲品牌被调查用户数为50+100+200+100＝450（户）

乙品牌被调查用户数为：

10+90+220+130＝450（户）

甲品牌满意程度分数的平均值＝

（分）

乙品牌满意程度分数的平均值＝

（分）

答：

甲、乙两品牌用户满意程度分数的平均值分别为2.78（分），3.04（分）

（2）用户满意程度较高的品牌是乙品牌

因为乙品牌满意程度分数的平均值较大，且由统计图，乙品牌“较满意”、“很满意”的用户较多。

该品牌用户满意程度分数的众数是3。

六、建立几何模型

几何应用题内容丰富，诸如测量、取料、剪裁、方案设计、美化设计等等。

解答此类问题的一般方法是认真分析题意，把实际问题进行抽象转化为几何问题，进而运用数学知识求解。

例6　（2004年淄博市中考题）在日常生活中，我们经常看到一些窗户上安装着遮阳蓬，如图

（1）。

现在要为一个面向正南的窗户设计安装一个遮阳蓬，已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为34°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为76°。

把图①画成图②，其中AB表示窗户的高，BCD表示直角形遮阳蓬。

（1）遮阳蓬BCD怎样设计，才能正好在冬天正午太阳最低时光线最大限度地射入室内而夏天正午太阳最高时光线刚好不射入室内？

请在图③中画图表示；

（2）已知AB＝150cm，在

（1）的条件下，求出BC，CD的长度（精确到1cm）。

解：

（1）如图。

（2）如图，设BC＝x，CD＝y。

在Rt△ADC和Rt△DBC中，

由题意，得把②代入①，得

，

（cm），

（cm）。

答：

BC、CD的长度分别约为30cm、45cm。

七、建立线性规划模型

近年来，中考试题中开始出现线性规划问题。

所谓线性规划，是指求线性函数在线性（不等式或等式）约束下达最（小或大）值的问题。

线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。

例7　（2004年山东省烟台市）先阅读下面的材料，然后解答问题：

在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床在工作，我们要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先退到比较简单的情形：

如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙走的距离之和等于A1到A2的距离。

如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲乙和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放到别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，在是多出来的，一次P放在A2处是最佳选择。

不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台的位置。

问题

（1）：

有n台机床时，P应设置在何处？

问题

（2）：

根据问题⑴的结论,求︱x－1︱+︱x－2︱+︱x－3︱+…+︱x－617︱的最小值。

解：

（1）当n为偶数时，P应设在第

台和（

＋1）台之间的任何地方，

当n为奇数时，p应设在第

台的位置。

（2）根据绝对值的几何意义，求︱x－1︱+︱x－2︱+︱x－3︱+…+︱x－617︱的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，…，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x＝309时，原式的值最小。

最小值是：

︱309－1︱+︱309－2︱+︱309－3︱+…+︱309－308︱+0+︱309－310︱+︱309－311︱+…+︱309－311︱＋+︱309－616︱+︱309－617︱＝308＋307＋306＋…＋1＋1＋2＋…＋308＝308×309＝95172。

总之，这类问题透视热点，力求创新，将是今后中考命题的趋势。

希望同学们在日常的学习过程中，掌握建模的方法、规律，切实提高自己解决实际问题的能力。

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