《架空输电线路设计讲座》第4章.pptx

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架空输电线路设计第四章均布荷载下架空线的计算原因原因：

弧垂和应力直接影响着线路的正常安全运行，线长的微小变化和误差都会引起弧垂和应力相当大的改变。

因此设计合适的弧垂是十分重要的。

f振动加剧，断股；杆塔荷载塔重；对地安全距离杆塔高度塔重；风摆、舞动和跳跃塔头尺寸塔重。

线路力学研究的主要内容：

架空线的弧垂、应力和线长弧垂、应力和线长。

第一节架空线悬链线方程的积分普遍形式一、二点假设1.柔性线柔性线假设：

架空线只能承受拉力而不能承受弯矩。

2.荷载沿架空线线长荷载沿架空线线长在某一平面内均布。

根据这二个假设，悬挂在两基杆塔间的架空线呈悬链线形状。

（1）档距比架空线的截面尺寸大得多，线长要远远大于其直径）档距比架空线的截面尺寸大得多，线长要远远大于其直径

（2）多采用多股细金属线构成的绞合线）多采用多股细金属线构成的绞合线原因二、二、悬链线微分方程悬链线微分方程如图，在架空线上任取一点如图，在架空线上任取一点C，取长为，取长为LOC的一段架空线的一段架空线作为研究对象，根据力的平衡方程式，有作为研究对象，根据力的平衡方程式，有结结论论架空线上轴向应力的水平分量处处相等架空线上轴向应力的水平分量处处相等架空线上任一点轴向应力的垂向分量等于该架空线上任一点轴向应力的垂向分量等于该点到弧垂最低点间线长点到弧垂最低点间线长LOC与比载与比载之积之积以上二式相除可得或（4-3）结论：

/0一定时，架空线上任一点处的斜率与该点至弧垂一定时，架空线上任一点处的斜率与该点至弧垂最低点间的线长成正比。

在弧垂最低点最低点间的线长成正比。

在弧垂最低点O处处=0。

00cosxXsqs=、0sinxOCYLsqg=、0tgOCLgqs=0ddOCyLxgs=三、悬链线方程的积分普遍形式将式（43）写成两边微分分离变量后两端积分式中C1、C2为积分常数，其值取决于坐标系的原点位置。

或写成（44）上式两端积分，得（45）0OCyLgs=222000dd（）（d）（d）1dOCyLxyyxgggsss=+=+20dd1yxygs=+蝌10arcsh（）（）yxCgs=+10dsh（）dyxCxgs=+0120ch（）yxCCsggs=+第二节等高悬点架空线的弧垂、线长和应力等高悬点：

是指架空线的两个悬挂点高度相同。

等高悬点：

是指架空线的两个悬挂点高度相同。

一、等高悬点架空线的悬链线方程1、将坐标原点取在弧垂最低点；2、定C1、C2：

3、悬链线方程：

将C1、C2的值代回式（45），并加以整理得（46）（3）适用于不等高悬点）适用于不等高悬点.注意：

注意：

（1）等高悬点架空线的悬链线具体形状完全由比值）等高悬点架空线的悬链线具体形状完全由比值0/决定决定

（2）比载）比载一定的情况下，架空线的水平轴向应力一定的情况下，架空线的水平轴向应力0是决是决定悬链线形状的唯一因素定悬链线形状的唯一因素.当x=0时，可解得C1=0；当当x=0时，时，y=0，利用利用C1=0，解得解得.00（ch1）yxsggs=-d0dyx=02Csg=-0120ch（）yxCCsggs=+10dsh（）dyxCxgs=+二、等高悬点架空线的弧垂二、等高悬点架空线的弧垂1、定义：

架空线上任一点的弧垂是指该点距两悬点连线的垂向距离、定义：

架空线上任一点的弧垂是指该点距两悬点连线的垂向距离。

2、计算式：

、计算式：

（1）架空线任一点）架空线任一点x处的弧垂处的弧垂fx：

而所以（48）xBfyy=-00（ch1）2Blysggs=-0010000

（2）chchchch222xlxlxlfssgggggssgss轾轾-=-=-犏犏臌臌利用恒等式利用恒等式对上式进行变换，可以得到对上式进行变换，可以得到

（2）在档距中央（最大弧垂）在档距中央（最大弧垂）fm，此时，此时x=0或或x1=l/2，所以，所以（48）除非特别说明，架空线的弧垂一般指的是最大弧垂。

除非特别说明，架空线的弧垂一般指的是最大弧垂。

最大弧垂在线路的设计、施工中占有十分重要的位置。

最大弧垂在线路的设计、施工中占有十分重要的位置。

（49）chch2shsh22ababab+-=011002（）shsh22xxlxfsgggss-=200002（ch1）sh24mBllfyssgggsgs=-=三、等高悬点架空线的线长或记为整档架空线的线长L（410）结论：

在档距结论：

在档距l一定时，架空线的线长仅为比值的一定时，架空线的线长仅为比值的函数。

函数。

00shxxLsggs=0/2022sh2xllLLsggs=00shOCxLsggs=00dshdOCyxLxggss=0gs四、等高悬点架空线的应力1、轴向应力：

架空线上任一点、轴向应力：

架空线上任一点C处的应力指的是该点的轴向应力，处的应力指的是该点的轴向应力，其方向同该点线轴方向。

轴向应力其方向同该点线轴方向。

轴向应力x可视为水平应力可视为水平应力0和垂向应力和垂向应力=LOC的合成。

任一点的应力的合成。

任一点的应力:

根据恒等变换，可得（411）2、悬悬挂点挂点A、B处应力处应力（412）如果用弧垂表示，则为结论：

结论：

等高悬点处架空线的应力等于其水平应力和作用在其上的比载等高悬点处架空线的应力等于其水平应力和作用在其上的比载与中央弧垂的乘积的和。

与中央弧垂的乘积的和。

22222000000（）（sh）1shxOCxxLggssgsssss=+=+=+2ch1shaa=+00chxxgsss=00ch2ABlgssss=0ABfsssg=+【例【例4-1】某档等高悬点架空线，档距】某档等高悬点架空线，档距l=500m，导线为，导线为LGJ15025。

在某气象条件下导线的使用应力（最低点应。

在某气象条件下导线的使用应力（最低点应力）力）0=63.504MPa，比载，比载=34.047103MPa/m，试求该气，试求该气象条件下导线的弧垂、线长和悬挂点应力及垂向分量。

象条件下导线的弧垂、线长和悬挂点应力及垂向分量。

【解】双曲函数可采用下面公式：

【解】双曲函数可采用下面公式：

（1）公用项计算：

公用项计算：

（m）（1/m）shch22xxxxeeeexx-+=30363.5041.86521034.04710sg-=33010.5361101.865210gs-=305000.536110shshsh0.134030.1344322lgs-骣创=琪桫从上例可以看出，线长仅仅比档距相差从上例可以看出，线长仅仅比档距相差1.48m，增，增大约大约3.0，但弧垂却达到了，但弧垂却达到了16.787m，说明线长的微小，说明线长的微小变化会引起弧垂的很大变化，对此应给予足够的重视。

变化会引起弧垂的很大变化，对此应给予足够的重视。

（2）架空线的弧垂、线长和应力）架空线的弧垂、线长和应力（m）（m）（MPa）（MPa）305000.536110chchch0.134031.00922lgs-骣创=琪桫300（ch1）1.865210（1.0091）16.7872lfsggs=-=-=创3002sh21.8652100.13443501.482lLsggs=创00ch63.5041.00964.082ABlgssss=3/234.04710501.48/28.537ABLggssg-=创第三节不等高悬点架空线的弧垂、线长和应力不等高悬点：

不等高悬点：

高差：

同一档距两悬挂点间的高度差。

高差：

同一档距两悬挂点间的高度差。

高差角：

两悬挂点连线与水平面的夹角。

高差角：

两悬挂点连线与水平面的夹角。

一、不等高悬点架空线的悬链线方程一、不等高悬点架空线的悬链线方程原点位于左侧悬挂点处原点位于左侧悬挂点处1、定、定C1、C2：

当当x=a时，时，求得求得C1=a；当x=0时，y=0，求得d0dyx=020chaCsggs=-0120ch（）yxCCsggs=+10dsh（）dyxCxgs=+再将C1、C2之值代回到式（45），有（413）将将x=l时时y=h的边界条件代入式（的边界条件代入式（413），可以得到），可以得到上式中反双曲函数一项的分母，实际上就是式上式中反双曲函数一项的分母，实际上就是式（410）表示的等高悬点架空线的档内悬链线长度，记为表示的等高悬点架空线的档内悬链线长度，记为Lh=0，即即（410）所以所以（414）（415）0000002（）

（2）chchshsh22xaaxxayssgggggssgss轾-=-=犏臌000arcsh22sh2lhalssgggs=-0002sh2hlLsggs=00arcsh2hlhaLsg=-00arcsh2hlhbLsg=+由于由于上式代入上式代入式（式（413），便），便可得到坐标原点位于左可得到坐标原点位于左悬点时的不等高悬点架空线的悬链线方程为悬点时的不等高悬点架空线的悬链线方程为:

00000

（2）（）shshsharcsh222hxaxaxlhLggggssss=轾轾-=-=+犏犏臌臌20000（）（）sh1ch22hhxlhxlhLLggss=骣-=+琪桫20000（）（）ch1sh22hhhlxhlxLLggss=骣-=+琪桫当当h=0时，即得到坐标原点位于左悬挂点时的等时，即得到坐标原点位于左悬挂点时的等高悬点的架空线悬链线方程高悬点的架空线悬链线方程（416）（417）0002

（2）shsh22xxaysgggss-=20000000022（）（）shch1shsh2222hhhxlxhxlxLLssgggggssgss=轾骣轾-=-+琪犏犏臌桫臌0002（）shsh22xlxysgggss-=-1、不等高悬点架空线任一点处的弧垂为不等高悬点架空线任一点处的弧垂为等高等高悬点悬点h=0时时，有，有这与这与式（式（48）是一致的。

是一致的。

（418）二、不等高悬点架空线的弧垂0（0）002（）shsh22xhxlxfsgggss=-=0002

（2）shsh22xhhxxafxyxllsgggss-=-=-20000000022（）（）shch1shsh2222hhhhxlxhxlxxlLLssgggggssgss=轾骣轾-=-+琪犏犏臌桫臌2、档距中央弧垂：

在档距中央、档距中央弧垂：

在档距中央x=l/2，代入式（，代入式（418）并化简后得到档距中央弧垂的计算式并化简后得到档距中央弧垂的计算式（419）3、最、最低点弧垂：

出低点弧垂：

出现在现在x=a处，代入任一点弧垂公处，代入任一点弧垂公式（式（418）并注意到式（）并注意到式（414），适当整理后得），适当整理后得（420）同同式（式（419）相比较，上式可写成）相比较，上式可写成（420）220001（ch1）2lhhlfLsggs=骣=+琪桫2000001charcsh12hhhlhhfLlLsggs=轾骣犏=+琪犏桫臌2200001arcsh1lhhhhhfflLLsg=轾骣犏=-+琪犏桫臌4、最、最大弧垂大弧垂:

出现在出现在处，即处，即解得出现最大弧垂的位置解得出现最大弧垂的位置（421）Lh=0l，所以xml/2结论不等高悬点架空线的最大弧垂不在档距中央。

不等高悬点架空线的最大弧垂不在档距中央。

最大弧垂位于档距中央稍偏向高悬点一侧的位置。

最大弧垂位于档距中央稍偏向高悬点一侧的位置。

将式将式（421）代入任一点弧代入任一点弧垂公式（垂公式（418），），可求得不可求得不等高悬点的最大弧垂为等高悬点的最大弧垂为（422）d0dxfx=0000ddd（）（）chchsh0dddxfhhxaahxaxyxxxlxllsggggsss轾骣-骣=-=-=-=犏琪琪桫桫臌000arcsharcsharcsh2mhhlhhxallLssgg=骣=+=+-琪桫220000arcsharcsh1ch12mhhhhhhlhfllLLlsggs=轾骣骣骣犏=-+琪琪琪犏桫桫桫臌与式（419）比较，上式可表示为（422）上式两个小括号内的值均为正值且均小，前者略大于后者，上式两个小括号内的值均为正值且均小，前者略大于后者，所以最大弧垂大于档距中央弧垂，但二者非常接近。

所以最大弧垂大于档距中央弧垂，但二者非常接近。

对于等高悬点架空线，有对于等高悬点架空线，有上式表明，等高悬点时的最大弧垂、档距中央弧垂和最低点上式表明，等高悬点时的最大弧垂、档距中央弧垂和最低点弧垂三者重合，位于档距中央。

弧垂三者重合，位于档距中央。

222000arcsharcsh11lmhhhhhhhffllLlLsg=轾骣骣骣骣犏琪=+-+-+琪琪琪犏琪桫桫桫犏桫臌2000ch12lmlfffsggs骣=-琪桫三、不等高悬点架空线的线长不等高悬点架空线的线长可利用弧长微分公式通过积分求得。

根据式（44）有（423）所以架空线上任一点至左悬挂点间的线长为（424）当x=l时，即得到整档线长（425）100dsh（）sh（）dyxCxaxggss=+=-2200d（）（）d1d1shdchddyxaxaLxxxxggss-骣=+=+=琪桫000000002（）（）

（2）chdshshshch22xxxaxaaxxaLxssgggggsgssgss轾-=+=犏臌0002

（2）shch22llaLsgggss-=将x=l代入式（413），有（426）将式（425）的平方减去上式的平方由上式可以看出，高差由上式可以看出，高差h的存在，使得不等高悬点架空线的存在，使得不等高悬点架空线的线长大于等高悬点时的线长。

的线长大于等高悬点时的线长。

（427）所以0002

（2）shsh22llahsgggss-=222220002sh2hlLhLsggs=骣-=琪桫220hLLh=+四、不等高悬点架空线的应力1任一点处的应力任一点处的应力已知架空线的水平应力0时，任一点的应力可表示为（428）在档距中央x=l/2，则（429）22200000d（）1tg11shcosdxyxaxsgssqssqs-骣=+=+=+琪桫00000（）

（2）chcharcsh2hxalxhLggssss=轾-=-犏臌22001lhhLss=骣=+琪桫22架空线上任两点应力之间的关系架空线上任两点应力之间的关系架空线最低点0处的纵坐标值为从中解得由式（413）可以解得将上式代入式（428），求得架空线上任一点的应力与最低点的应力和二点间的高差之间的关系。

（430）000000（）chch1chaaaayssggggssgs轾骣-=-=-琪犏臌桫000ch1yaggss=-00000（）chch1（）xayayyggggssss-=+=+-00（）xyyssg=+-如果已知档距内架空线上的任意两点x1、y1和x2、y2，则相应的应力1和2为两式相减可得（431）结论：

结论：

档内架空线上任意两点的应力差等于该两点间的档内架空线上任意两点的应力差等于该两点间的高度差与高度差与比载之乘积。

显然，档内相对高度越高，该点架空比载之乘积。

显然，档内相对高度越高，该点架空线的应力就越大。

在同一档内，最大应力发生在较高悬挂点线的应力就越大。

在同一档内，最大应力发生在较高悬挂点处。

处。

1010（）yyssg=+-2020（）yyssg=+-2121（）yyssg-=-3架空线悬挂点处的应力架空线悬挂点处的应力悬挂点A、B的横坐标分别为x=0、x=l，代入式（428）求得悬挂点应力A、B为（432）0000000000chcharcsh2chcharcsh2AhBhalhLblhLggsssssggsssss=轾=-犏臌轾=+犏臌4悬挂悬挂点架空线的倾斜角和垂向应力点架空线的倾斜角和垂向应力悬挂点处架空线的倾斜角是指该点架空线的切线与x轴间的夹角，如图43中的A和B。

倾斜角的正切即为该点架空线的斜率。

将x=0和x=l分别代入式（423）得到（433）注意：

低悬挂点处架空线的倾斜角注意：

低悬挂点处架空线的倾斜角A可正可负，为正值表示该点架空线向上可正可负，为正值表示该点架空线向上倾斜（上扬），为负值表示向下倾斜。

高悬点处的倾斜角倾斜（上扬），为负值表示向下倾斜。

高悬点处的倾斜角B则始终为正则始终为正值。

值。

在架空线的水平在架空线的水平应力应力0和倾斜角和倾斜角A和和B已知时，悬挂点应已知时，悬挂点应力的垂直分量为力的垂直分量为（434）000000tgshsharcsh2tgshsharcsh2AhBhalhLblhLggqssggqss=轾=-=-犏臌轾=+犏臌000000000000tgshsharcsh2tgshsharcsh2AAhBBhalhLblhLggggssqssssggssqssss=轾=-=-犏臌轾=+犏臌说明悬挂点处正好是架空线的最低点，架空线不承受垂向力的作用。

A0A0A=0注意：

上式的第一式中的负号，是为保证悬挂点垂注意：

上式的第一式中的负号，是为保证悬挂点垂向应力向上时为正值而加的。

悬挂点的垂向应力正值时，说向应力向上时为正值而加的。

悬挂点的垂向应力正值时，说明该悬点承受下压力。

明该悬点承受下压力。

悬挂点处架空线的垂向应力也可根据其比载与该悬点悬挂点处架空线的垂向应力也可根据其比载与该悬点至弧垂最低点间线长的乘积来求得。

至弧垂最低点间线长的乘积来求得。

高悬点的垂向应力总为正值，所以高悬点总是承受下压力。

高悬点的垂向应力总为正值，所以高悬点总是承受下压力。

说明架空线的弧垂最低点位于档内。

说明该悬挂点承受上拔力，架空线的弧垂最低点落在档距之外低悬点垂向应力低悬点垂向应力【例4-2】某档架空线，档距l=400m，高差h=100m，最大使用应力0=98.1MPa，相应的比载=61.34103MPa/m。

试计算架空线的三种弧垂、线长和档距中央应力、悬挂点应力及其垂向分量。

【解】

（1）先计算公用项的值（m）；（1/m）（m）0398.11599.2861.3410sg-=33061.34100.625281098.1gs-=30400shsh（0.6252810）0.12538222lgs-=创30400chch（0.6252810）1.0078222lgs-=创0002sh21599.280.125382401.0432hlLsggs=创（m）（m）a为负值，说明弧垂最低点落在档距之外。

（2）计算各种弧垂中央弧垂（m）22100arcshln1（）ln1（100400）0.247466400hhhlll轾轾=+=+=犏犏臌臌20100arcshln1（100401.043）0.246836401.043hhL=轾=+=犏臌00400arcsh1599.280.246836194.7622hlhaLsg=-=-00400arcsh1599.260.246836594.7622hlhbLsg=+=+220001（ch1）2lhhlfLsggs=骣=+琪桫210011599.26（1.007821）12.8894401.043骣=+-=状琪桫由于架空线弧垂最低点位于档距以外，最低点弧垂无实际意义，不再予以计算。

最大弧垂（m）最大弧垂发生在xm处（m）222000arcsharcsh11lmhhhhhhhffllLlLsg=轾骣骣骣骣犏琪=+-+-+琪琪琪犏琪桫桫桫犏桫臌221110012.88941599.28（0.2474660.246836）1144401.043轾骣骣骣犏琪=+-+-+琪琪琪犏桫桫桫臌12.8896=00arcsharcsh2mhlhhxlLsg=骣=+-琪桫4001599.28（0.2474660.246836）201.0082=+-=低悬点应力（MPa）（3）计算线长由式（427）求得全档线长（m）（4）计算应力档距中央应力（MPa）高悬点应力（MPa）300ch98.1ch0.6252810（194.76）98.828Aagsss-轾=状臌22220401.043100413.323hLLh=+=+=22200100198.11101.104401.043lhhLss=骣骣=+=琪琪桫桫300ch98.1ch0.6252810594.76104.962Bbgsss-轾=状臌由计算知由计算知:

档距中央弧垂与最大弧垂非常接近，相差很小。

一档距中央弧垂与最大弧垂非常接近，相差很小。

一般情况下，以中央弧垂近似作为最大弧垂具有足够的精度，般情况下，以中央弧垂近似作为最大弧垂具有足够的精度，工程上常这样做以减少计算工作量。

工程上常这样做以减少计算工作量。

通常也可认为最大弧垂位于档距中央。

通常也可认为最大弧垂位于档距中央。

低悬挂点处的垂向应力低悬挂点处的垂向应力A为负值，说明此处架空线为负值，说明此处架空线上扬，悬挂点受上拔力作用，也说明弧垂最低点在档距以外上扬，悬挂点受上拔力作用，也说明弧垂最低点在档距以外。

线长线长413.323m，档距，档距400m，悬点处垂向应力（MPa）（MPa）斜档距？

412.311m。

线长比斜档距长线长比斜档距长1.019m，0.247%。

300sh98.1sh0.6252810（194.76）11.976Aaggsss-轾=-状臌300sh98.1sh0.6252810594.7637.329Bbggsss-轾=状臌第四节架空线弧垂、线长和应力计算公式的简化公式简化的一般途径：

公式简化的一般途径：

1）数学方法：

）数学方法：

将悬链线有关公式中的双曲函数展开成级数和，根据要求的精度取其前若干项作为近似值，加以整理而得到。

2）从假设入手：

）从假设入手：

对架空线的荷载分布给出简化假设，导出一套简化公式斜抛物线和平抛物线的有关公式。

一、斜抛物线法假定架空线的比载沿斜档距斜档距均匀分布。

1斜抛物线悬挂曲线方程（斜抛物线悬挂曲线方程（不等高悬点架空线）坐标系：

选取坐标原点位于较低悬点A处，x轴垂直于比载，y轴平行于比载，如图所示。

对AC段架空线列A点的力矩平衡方程式，有（435）对BC段架空线列B点的力矩平衡方程式，有（436）上两式联立消去未知量x，解得架空线斜抛物线悬挂曲线方程式为（437）上式是在假定比载沿“斜档距”均布的条件下推出的上式是在假定比载沿“斜档距”均布的条件下推出的，且为，且为x的的二次函数，图象呈抛物线形状，工程上顾名思义地二次函数，图象呈抛物线形状，工程上顾名思义地称为斜抛物线方程，以便与后面将要讲到的平抛物线方程相区称为斜抛物线方程，以便与后面将要讲到的平抛物线方程相区别，而并非表示该抛物线是歪斜的。

别，而并非表示该抛物线是歪斜的。

2002cosxxxyggssb-=20（）（）（）02cosxlxlxhyggssb-+=00（）（）tg2cos2coshxlxxlxyxxlggbsbsb-=-=-2斜抛物线弧垂公式斜抛物线弧垂公式

（1）任一点处的弧垂为：

（438）

（2）档距中央弧垂为：

（439）（3）最大弧垂：

令式（438）对x的导数等于零，可得最大弧垂发生在x=l/2处即档距中央，其最大弧垂与档距中央弧垂重合，即（439）（4）任一点的弧垂可档距中央弧垂表示为：

（440）0（）2cosxhxlxfxylgsb-=-=2208cosllfgsb=2208coslmlffgsb=24xmxxffll轾骣=-犏琪桫犏臌对称性：

令x=lx代入上式仍可得到相同的形式，说明斜抛物线弧垂是关于档距中央对称的。

与高差的无关性：

任一点处的弧垂与高差h没有直接关系。

对于同一档距，在档距中央弧垂相等的情况下，等高悬点和不等高悬点架空线对应点的弧垂相等，如图示。

（5）任一点处弧垂的特点：

（6）最低点弧垂：

架空线上任一点的斜率为（441）令dy/dx=0，解得架空线最低点距悬点A、B的距离在x轴上的投影（水平距离）分别为（442）（443）0d

（2）tgtgd2cosy