函数单调性课件.ppt

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函数的单调性函数的单调性xy从左至右图象呈从左至右图象呈_趋势趋势.上升上升xyy=x+1xy观察第一组函数图象，指出其变化趋势观察第一组函数图象，指出其变化趋势.OOO111111y=-x+1xy从左至右图象呈从左至右图象呈_趋势趋势.下降下降xyxy观察第二组函数图象，指出其变化趋势观察第二组函数图象，指出其变化趋势.OOO111111xyy=x2y从左至右图象呈从左至右图象呈_趋势趋势.局部上升或下降局部上升或下降观察第三组函数图象，指出其变化趋势观察第三组函数图象，指出其变化趋势.xxy11-1-1OOO1111图像从左到右逐渐上升图像从左到右逐渐上升图像从左到右逐渐下降图像从左到右逐渐下降自变量自变量x增大增大,自变量自变量x增大增大,在定义域内的某个区间上在定义域内的某个区间上因变量因变量y也增大也增大因变量因变量y反而减小反而减小函数单调性定义函数单调性定义函数，定义域为函数，定义域为A，区间，区间（）yfx=IA如果在区间如果在区间II内内随着自变量的增大，因变随着自变量的增大，因变量也增大量也增大，那么我们称在区间，那么我们称在区间II上上单调增单调增，也称在区间也称在区间II上是上是增函数增函数xy如果在区间如果在区间II内内随着自变量的增大，因变随着自变量的增大，因变量减小量减小，那么我们称在区间，那么我们称在区间II上上单调减单调减，也，也称在区间称在区间II上是上是减函数减函数xy对区间对区间I内内x1，x2，当当x1x2时，有时，有f（x1）f（x2）区间区间I上上图象图象从左到右从左到右逐渐上升逐渐上升？

OxIy区间区间I内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x1x2f（x1）f（x2）MN对区间对区间I内内x1，x2，当当x1x2时，有时，有f（x1）f（x2）xx1x2？

Iyf（x1）f（x2）OMN任意任意区间区间I内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大区间区间I上上图象图象从左到右从左到右逐渐上升逐渐上升对区间对区间I内内x1，x2，当当x1x2时，有时，有f（x1）f（x2）xx1x2都都yf（x1）f（x2）O设函数设函数y=f（x）的定义域为的定义域为A,区间区间IA.如果对于如果对于区间区间I上的上的任意任意当当x1x2时，时，都有都有f（x1）f（x2），定义定义MN任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，I称为称为f（x）的的单调单调增区间增区间.那么就说那么就说f（x）在区间在区间I上上是单调是单调增函数增函数，区间区间I内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大区间区间I上从左到右上从左到右图象逐渐上升图象逐渐上升IxIyOxyx1x2f（x1）f（x2）类比增函数的研究方法定义减函数.xOyx1x2f（x1）f（x2）设函数设函数y=f（x）的定义域为的定义域为A,区间区间IA.如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f（x）的定义域为的定义域为A,区间区间IA.如果对于属于定义域如果对于属于定义域A内内某个区间某个区间I上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，那么就说在那么就说在f（x）这个区间上是这个区间上是函函数数，I称为称为f（x）的的单调区间单调区间.增增增增当当x1x2时，时，都有都有f（x1）f（x2），当当x1x2时，时，都有都有f（x1）f（x2），减减减减那么就说在那么就说在f（x）这个区间上是这个区间上是函函数数，I称为称为f（x）的的单调区间单调区间.增增增增单调区间单调区间判断2：

函数f（x）在区间1，2上满足f

（1）f

（2），则函数f（x）在1，2上是增函数.（）yxO12f

（1）f

（2）判断判断11：

函数函数f（x）=x2在是单调增函数；在是单调增函数；（）（）,-xyo2yx=

（1）函数单调性是针对定义域）函数单调性是针对定义域A内的某个内的某个子区间子区间II而言的而言的，是一个局部性质，是一个局部性质,在整个定义域上不一定具有单调性在整个定义域上不一定具有单调性;

（2）、在区间）、在区间II内取任意值，不能用特殊值来代内取任意值，不能用特殊值来代替替.1x2x（）yfx=例题1：

根据图像指出单调增区间和单调减区间单调增区间是：

单调减区间是：

2,1,3,5-5,2,1,3-例例2.指出下列函数的单调区间：

指出下列函数的单调区间：

（1）72yx=+

（1）72yx=+的单调增区间是

（2）24yx=-+

（2）24yx=-+的单调减区间是解解：

）,（）,（无单调减区间无单调减区间无单调增区间无单调增区间归纳：

函数的单调性归纳：

函数的单调性（0）ykxbk=+单调减区间单调减区间单调增区间单调增区间K0bkxy）,（K0）,（yox2722o4yx归纳：

函数的单调性归纳：

函数的单调性2（0）yaxbxca=+2

（1）2.yx=-+2yx=-+2的单调增区间是_;（,0-2yx=-+2的单调减区间是_.0,）+例例3.指出下列函数的单调区间：

指出下列函数的单调区间：

xyy=-x2+21-1122-1-2-2O2

（2）2.yx=+思考思考2：

函数：

函数的单调区间呢？

的单调区间呢？

223yxx=-+思考思考1：

函数的单调区间呢：

函数的单调区间呢？

2

（1）2yx=+解：

解：

a0单调减区间单调减区间单调增区间单调增区间2yaxbxc=+,2ba轹-+滕,2ba纟-棼2（0）yaxbxca=+的对称轴为2bxa=-,2ba纟-棼,2ba轹-+滕例例4.指出下列函数的单调区间：

指出下列函数的单调区间：

1yx=1yx=的单调减区间是_（,0）-（0,）+,1（,0）（0,）yx=-U能不能说在定义域上是单调减函数?

x1yx=yO思考思考1：

思考思考2：

函数的单调区间是什么函数的单调区间是什么？

1yx-=1yx-=的单调增区间是）,0（）,0,（归纳：

归纳：

在和上在和上的单调性的单调性？

（）0,+（0）kykx=（）,0-解：

没有单调增区间没有单调增区间单调减区间单调减区间单调增区间单调增区间（0）kykx=的单调区间xky0k0k（,0）-（0,）+，（,0）-（0,）+，

（1）（）32fxx=-1.指出下列函数的单调区间？

指出下列函数的单调区间？

（2）2（）231fxxx=-+

（1）单调减区间

（2）单调减区间,43,单调增区间,43（3）单调增区间（,0）-（0,）+，（3）xxf3例5出函画数f（x）=3x+2的像图,判的断它单性调,加以明并证.解作出f（x）=3x+2的图像.由图看出,函数的图在R上是上升的,函数是R上的增函数.所以f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3（x1-x2）,O12x21543yy=3x+2例题讲解任取x1,x2R,设x1x2,取值作差变形定号21xx021xx即f（x1）f（x2）单调函数的定义可知,函数f（x）=3x+2是R上的增函数.证明:

判断下结论例6.判断函数f（x）=-x3+1在（-,0）上是增加的还是减少的，并证明你的结论解：

在上是减少的，证明如下：

在，则由，得，且【点评】【点评】证明函数的单调性关键步骤就是对函数值增量的变形,常用的变形有配方法、分子（母）有理化等。

13xxf0,021xx21122212323132312111xxxxxxxxxxxfxf021xx012xx0211222xxxx0）（21xfxf即21xfxf所以13xxf即在0,上是单调递减的复合函数：

y=fg（x）令令u=g（x）则y=f（u）内函数内函数外函数外函数y=fg（x）原函数原函数以以x为自变量为自变量以以u为自变量为自变量以以x为自变量为自变量（5）复合函数的单调性复合函数单调性结论：

复合函数单调性结论：

当内外函数在各自定义域内同增同减当内外函数在各自定义域内同增同减时时,原函数增原函数增;当内外函数在各自定义域内一增当内外函数在各自定义域内一增一减时一减时,原函数减原函数减.复合函数复合函数fg（x）的单调性与构成它的函的单调性与构成它的函数数u=g（x）,y=f（u）的单调性密切相关的单调性密切相关,其规律如下其规律如下：

增增减减减减减减增增减减减减减减增增增增增增增增单调性单调性y=fg（x）y=f（u）u=g（x）函数函数复合函数的单调性复合函数的单调性利用利用函数单调性函数单调性的判断函数的最大的判断函数的最大（小小）值值如果函数如果函数y=f（x）在区间在区间a,b上单调上单调递递增增,则函数则函数y=f（x）在在x=a处有处有最小值最小值f（a）,在在x=b处有处有最大值最大值f（b）;如果函数如果函数y=f（x）在区间在区间a,b上单调上单调递递减减,在区间在区间b,c上单调递上单调递增增则函数则函数y=f（x）在在x=b处有处有最小值最小值f（b）.例：

已知函数12xxf6,212xxxf，求函数的最大值和最小值解：

设21,xx是区间6,2上的任意两个实数，且21xx则1212）（）（2121xxxfxf111122112xxxx1122112xxxx6221xx012xx01121xx由得，于是021xfxf即21xfxf所以，函数12xxf是区间6,2上的减函数因此，函数是区间6,2的两个端点上分别取得最大值与最小值即x=2时最大值是2，x=6时最小值是0.42.2.判断函数单调性的一般方法及证明方法判断函数单调性的一般方法及证明方法.3.3.一次函数、二次函数、反比例函数的单调性一次函数、二次函数、反比例函数的单调性.1.1.函数单调性的定义函数单调性的定义.