函数的单调性优质课.docx
《函数的单调性优质课.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的单调性优质课.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
函数的单调性优质课
3.函数的单调性
（1）
一、学习目标
1.结合函数图像理解增函数、减函数的定义，会运用函数单调性定义证明或判断函数的单调性；
2.运用函数单调性的概念或图像求函数单调区间；
3.结合图像了解一次函数、反比例函数的单调性.
二、认知要点
1、函数在定义域内的区间上增加（减少）
（1）定义
在函数y=f（x）定义域内的一个区间A上，如果对于x1，x2∈A，当x1f（x）在区间A上是增加的（递增的）
都有f（x1）>f（x2）
（2）函数的单调区间
如果y＝f（x）在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是的；如果函数是减少的，那么它的图像是的．
2、函数在定义域内的子集上增加（减少）
在函数y=f（x）定义域内的一个子集A上，如果对于x1，x2∈A，当x1f（x）在子集A上是增加的（递增的）
都有f（x1）>f（x2）
3、函数的单调性
（1）如果函数y＝f（x）在定义域的某个子集上是，那么就称函数y＝f（x）在这个子集上具有单调性．
（2）如果函数y＝f（x）在整个内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为
预习检测：
判断下列函数在给定集合或区间上的单调性.
（1）y=-5x,x∈[2,7]
（2）f（x）=3x2-6x+1,x∈（3,4）
（3）
t
1
2
3
4
5
6
7
8
T
-3
-6
-9
-12
-15
-18
-21
-24
t∈{1,2,3,4,5,6,7,8,}
（4）y=
x∈N+
三、题型探究
【题型一】求基本函数的单调区间
1.讨论下列函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性.
（1）一次函数f（x）=kx+b（k≠0）
（3）反比例函数
（k≠0）
2.画出函数
的图像，并指出函数的单调区间.
【思考】：
①求函数单调区间的方法；
②写出函数单调区间的注意事项.
【题型二】判断、证明函数的单调性
3.画出函数f（x）=3x+2的图像，判断它的单调性，并加以证明.
4.证明函数
在x∈[2,4]上是减少的.
【思考】：
①用定义证明函数单调性的步骤；
②判断函数单调性的方法有哪些？
四、反馈练习
1.函
数
的图像分别如下，试分别写出函数
单调增区间和减区间.
2.根据函数的图像，在定义域上是增函数的是（ ）
3.求证：
函数f（x）＝－
－1在区间（－∞，0）上是增加的.
五、本节小结
本节课我学会了什么？
3.已知函数f（x）＝
，x∈[3,5]，判断函数f（x）的单调性，并证明．
4.判断并证明函数
在
上的单调性；
6.判断并证明函数
在
上的单调性；
【证明】 设x1，x2是区间（－∞，0）内的任意两个值，且x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2＞0，
因为f（x1）－f（x2）＝
－
＝
－
＝
，所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故f（x）＝－
－1在区间（－∞，0）上是单调增函数．
【精彩点拨】 只需画出函数的图像，看曲线在哪些区间是上升的，在哪些区间是下降的，即可确定函数的单调区间．
【尝试解答】 y＝－x2＋2|x|＋3
＝
函数图像如图所示．
函数在（－∞，－1]和[0,1]上是增函数；
函数在[－1,0]和[1，＋∞）上是减函数．
所以函数的单调增区间是（－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞）．
【精彩点拨】 在（0,1）上任取x1，x2且x1＜x2，只需证明f（x1）＞f（x2）．
【尝试解答】 证明：
设0＜x1＜x2＜1，则
f（x1）－f（x2）＝
－
＝（x1－x2）＋
＝（x1－x2）
＝
.
已知0＜x1＜x2＜1，
则x1x2－1＜0，x1－x2＜0，
∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）＝x＋
在（0,1）上为减函数．
用定义判断或证明单调性的步骤：
（1）设元：
在指定区间内任取x1，x2且x1＜x2.,
（2）作差变形：
计算f（x1）－f（x2），并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子（几个因式的积或几个完全平方式的和）.,（3）定号：
确定f（x1）－f（x2）的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论.,（4）判断：
根据f（x1）－f（x2）的符号及定义判断函数的单调性.
[再练一题]
1．本例中，“函数f（x）＝x＋
”不变，讨论f（x）在（0，＋∞）上的单调性．
【解】 设0＜x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）＝
－
＝（x1－x2）
.
①当0＜x1＜x2≤1时，x1－x2＜0，
1－
＜0，
所以f（x1）－f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）．
因此f（x）＝x＋
在（0,1]上是减函数．
②当1＜x1＜x2时，x1－x2＜0，
1－
＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
因此f（x）＝x＋
在（1，＋∞）上是增函数．
综上所述，函数f（x）在（0,1]上为减函数，在（1，＋∞）上为增函数.
升级会员 