南京理工大学概率与统计(A)期末试卷及答案汇编.docx
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南京理工大学概率与统计（A）期末试卷及答案汇编
期末考试必备
南京理工大学课程考试试卷（学生考试用）
课程名称：
概率与统计（A）学分：
3教学大纲编号：
11022601
试卷编号：
考试方式：
闭卷满分分值：
100考试时间：
120分钟
组卷日期：
2015年5月28日组卷教师（签字）：
审定人（签字）：
5.（15分）设总体的概率密度函数为
其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，样本均值记为。
（1）求参数的矩估计量；
（2）判断是否是的无偏估计量，并说明理由。
6.（15分）设单位有200台分机，每台使用外线通话的概率为15%，若每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位至少需要装多少条外线，才能以95%的概率保证每台分机能随时接通外线电话。
7．（15分）已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试验件做横纹抗压力的实验数据如下：
482,493,457,471,510,446,435,418,394,496（单位：
公斤/平方厘米），
（1）试以95%的置信度估计该木材的横纹抗压力的置信区间；
（2）设，在显著性水平为0.05的条件下是否可以认为平均横纹抗压力为445？
，，，，，
1.（15分）某人从南京到北京出差，他乘火车，汽车，飞机的概率分别是0.5,0.3,0.2,如果乘火车去正点到达的概率是0.95，乘汽车去正点的概率是0.9，乘飞机去肯定正点到达，则：
（1）求他正点到达北京的概率；
（2）如果他正点到北京，乘火车去的概率是多少？
2.（10分）设为标准正态分布的概率密度函数，为上的均匀分布的概率密度函数，若为概率密度函数，求应该满足的等价条件。
3.（15分）设随机变量的概率密度函数为，令，是随机变量的分布函数。
（1）求;
（2）求的协方差；（3）求
4.（15分）随机变量的概率密度为
求：
（1）;
（2）判断X与Y是否相互独立？
并说明理由
南京理工大学课程考试试卷答案（学生考试用）
课程名称：
概率与统计（A）答案学分：
3教学大纲编号：
11022601
试卷编号：
考试方式：
闭卷满分分值：
100考试时间：
120分钟
组卷日期：
2015年5月28日组卷教师（签字）：
审定人（签字）：
………………………………….3分
（2）
………………………………….2分
…………………………………3分
所以………………………………….1分
（3）……………….2分
…………………………….2分
4.（15分）随机变量的概率密度为
求：
（1）;
（2）判断X与Y是否相互独立？
并说明理由
解
（1）…………………………….3分
…………………………….3分
（2）当时，
当时或时，，
故……………………………….3分
当；
当，时
……………………………….3分
因为，所以X与Y不独立。
……………………….3分
6.（15分）设单位有200台分机，每台使用外线通话的概率为15%，若每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位至少需要装多少条外线，才能以95%的概率保证每台分机能随时接通外线电话。
解：
设表示在时刻t使用的外线数，则…………………………….3分
此时有…………………………….3分
设表示安装的外线数，则分机数应该满足，由中心极限定理得
…………………………….3分
查表得，…………………………….3分
即：
所以可取N=39,可以有95%的把握保证分机可以使用外线。
…………………………….3分
7．（15分）已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试验件做横纹抗压力的实验数据如下：
482,493,457,471,510,446,435,418,394,496（单位：
公斤/平方厘米），
（1）试以95%的置信度估计该木材的横纹抗压力的置信区间；
（2）设，在显著性水平为0.05的条件下是否可以认为平均横纹抗压力为445？
解
（1）样本均值
标准差
查表……………….2分
95%的平均横纹抗压力……………………3分
即，…………………….1分
故置信区间为（433.6042,486.7958）…………………….1分
（2）……………………2分
检验的拒绝域为
，……………………2分
由题意，
…………………….2分
可以认为平均横纹抗压力为445…………………….2分
1.（15分）某人从南京到北京出差，他乘火车，汽车，飞机的概率分别是0.5,0.3,0.2,如果乘火车去正点到达的概率是0.95，乘汽车去正点的概率是0.9，乘飞机去肯定正点到达，则：
（1）求他正点到达北京的概率；
（2）如果他正点到北京，乘火车去的概率是多少？
解：
（1）设分别表示该人乘火车，乘汽车，和乘飞机，表示他正点到达北京。
…………………………….2分
…………………………….3分
（2）…………………………….2分
…………………………….3分
2.（10分）设为标准正态分布的概率密度函数，为上的均匀分布的概率密度函数，若为概率密度函数，求应该满足的等价条件。
解：
（1）为概率密度函数，应该满足非负性，所以….3分
（2），….3分
概率密度应该满足归一性….…………………………2分
所以有：
1=………………………………….2分
即
3.（15分）设随机变量的概率密度函数为，令，是随机变量的分布函数。
（2）求;
（2）求的协方差；（3）求
解：
（1）…………………………….2分
5.（15分）设总体的概率密度函数为
其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，样本均值记为。
（3）求参数的矩估计量；
（4）判断是否是的无偏估计量，并说明理由。
解：
（1）总体期望：
…………………………….3分
……………………….3分
令=，解得。
………………………………………….2分
参数的矩估计量。
（2）
……………………………….2分
……….2分
因为
……………………………….2分
所以，不是的无偏估计量…………………………….1分
南京理工大学课程考试试卷（学生考试用）
课程名称：
概率与统计（B）学分：
3教学大纲编号：
11022601
试卷编号：
考试方式：
闭卷满分分值：
100考试时间：
120分钟
组卷日期：
2015年5月28日组卷教师（签字）：
审定人（签字）：
6.（15分）某电视节目的收视率在M市的收视率为0.15，在一次收视的调查中，从该市居民中随机抽取5000户，并以收视频率作为收视率，试求两者之差小于0.01的概率。
7.（15分）某校进行教学改革，设一学科学生成绩服从正态分布，均未知，现抽测19人的成绩如下：
70,80,67,86,61,96,92,87,62,51,81,99,76,86,93,79,81,62,47
问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70？
（）
，，，，，，，，
1.（10分）有两批相同的产品，第一批12件，第二批10件，在每批中各有一件次品，任意从第一件中抽取一件混入第二批中，然后，再从第二批中抽取一件产品。
（1）求第二件产品中抽取次品的概率；
（2）若从第二批产品中抽取的是次品，求从第一批中也抽到的是次品的概率。
2.（15分）设随机变量的概率密度
（1）求的分布函数；
（2）求
3.（15分）设随机变量的概率密度为
已知，，求
（1）的值；
（2）
4.（15分）设随机变量与独立同分布，且的概率分布为
X
1
2
P
1/3
2/3
记
（1）求的分布律；
（2）求与的协方差
5.（15分）总体X的分布函数为
，其中未知参数为，为来自总体的简单随机样本。
求
（1）的矩估计；
（2）的极大似然估计。
南京理工大学课程考试试卷答案（学生考试用）
课程名称：
概率与统计（B）答案学分：
3教学大纲编号：
11022601
试卷编号：
考试方式：
闭卷满分分值：
100考试时间：
120分钟
组卷日期：
2015年5月28日组卷教师（签字）：
审定人（签字）：
（3）…………………4分
3.（15分）设随机变量的概率密度为
已知，，求
（1）的值；
（2）
解：
（1）…………………2分
…………………2分
…………………4分
…………………4分
解以上的方程组得
（2）
…………………3分
4.（15分）设随机变量与独立同分布，且的概率分布为
X
1
2
P
1/3
2/3
记
（3）求的分布律；
（4）求与的协方差
（1）解：
与的联合分布为
UV
1
2
1
1/9
0
1/9
2
4/9
4/9
8/9
5/9
4/9
6.（15分）某电视节目的收视率在M市的收视率为0.15，在一次收视的调查中，从该市居民中随机抽取5000户，并以收视频率作为收视率，试求两者之差小于0.01的概率。
解设为5000户中收看该节目的户数，则，………………………………4分
由中心极限定理
，从而………………………………4分
………………………………4分
==0.9523………………………………3分
7.（15分）某校进行教学改革，设一学科学生成绩服从正态分布，均未知，现抽测19人的成绩如下：
70,80,67,86,61,96,92,87,62,51,81,99,76,86,93,79,81,62,47
问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70？
解：
检验………………………………4分
统计量………………………………4分
由题意：
从而………………………………4分
故拒绝，认为平均成绩大于对照组的平均成绩70.………………………………3分
3.（10分）有两批相同的产品，第一批12件，第二批10件，在每批中各有一件次品，任意从第一件中抽取一件混入第二批中，然后，再从第二批中抽取一件产品。
（1）求第二件产品中抽取次品的概率；
（2）若从第二批产品中抽取的是次品，求从第一批中也抽到的是次品的概率。
解：
设分别表示任第一批产品和第二批产品中抽到次品，则
（1）…………………3分
…………………2分
（2）…………………3分
…………………2分
4.（15分）设随机变量的概率密度
（1）确定常数；
（2）求的分布函数；（3）求
解：
（1）由归一性，，则：
…………………3分
（2）…………………5分
所以…………………3分
…………………每空1分
（1）的概率分布律为
Z=UV
1
2
4
P
1/9
4/9
4/9
…………………7分
所以
5.（15分）总体X的分布函数为
，其中未知参数为，为来自总体的简单随机样本。
求
（1）的矩估计；
（2）的极大似然估计。
解：
（1）首先可以求出X的概率密度为
，…………………2分
…………………3分
令，解得，所以参数的矩估计为…………………2分
（2）似然函数为
…………………2分
…………………2分
两边对求导，得出…………………2分
…………………2分
得参数的极大似然估计，从而参数的极大似然估计为
南京理工大学课程考试标准答案
课程名称：
概率与统计（A）学分：
3教学大纲编号：
11022601
试卷编号：
A卷考试方式：
笔试，闭卷满分分值：
100考试时间：
120分钟
1、（15分）老板有一个不很负责的秘书.当要秘书通知张经理5h后见面时，秘书马上办理，但是只用某种方式通知一次.设秘书用传真通知的概率是0.3，用短信通知的概率是0.2，用电子邮件通知的概率是0.5，而张经理在5h内能收到传真的概率是0.8，能看到短信的概率是0.9，能看到电子邮件的概率是0.4.
（1）计算张经理收到通知的概率；
（2）如果收到通知的张经理也有5%的概率不能前来见老板，计算老板不能按时见到张经理的概率.
解设A表示张经理收到通知，A1表示秘书用传真通知，A2表示用短信通知，A3表示用电子邮件通知；B表示老板不能按时见到张经理。
……（3分）
（1）由全概率公式可得
……（6分）
（2）由全概率公式可知
……（6分）
注：
基本题，考察全概率公式。
2、（15分））设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，她就离开.她一个月要到银行5次.以Y表示一个月内她未等到服务而离开窗口的次数.写出Y的分布律，并求.
解该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为
……（3分）
因此，即
……（6分）
……（6分）
注：
基础题，考察重要分布和分布函数求解。
3、（15分）设随机变量（X,Y）具有密度函数，
求
（1）求X与Y的相关系数；
（2）问X与Y是否不相关；
（3）X与Y是否独立，为什么？
解
（1）
……（3分）
所以.……（3分）
（2）X与Y不相关；……（2分）
（3）X的边缘概率密度为
……（3分）
Y的边缘概率密度为
……（3分）
由此可见所以X与Y不独立.……（1分）
注：
综合题，考察随机变量函数的数字特征与独立性。
4、（15分）设随机变量X的概率密度为，令随机变量
（1）求Y的分布函数；
（2）求概率
解
（1）由题设条件知,.
记Y的分布函数为，则
当时，……（3分）
当时，
……（4分）
当时，……（3分）
所以Y的分布函数为
（2）……（5分）
注：
提高题，考察随机变量函数的分布。
5、（10分）一位职工每天乘公交车上班.如果每天用于等车的时间服从均值为5min的指数分布，估算他在303个工作日中用于上班的等车时间之和大于24h的概率.
解设表第i个工作日用于等车的时间（单位：
分钟），
由题意知，且相互独立同分布，……（2分）
……（2分）
由独立同分布的中心极限定理可得
……（6分）
注：
基本题，考察中心极限定理。
6、（15分）设总体X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
其中q（03,1,3,0,3,1,2,3,求q的矩估计值与极大似然估计值.
解，
……（3分）
令即，解得的矩估计值为.……（4分）
对于给定的样本值，似然函数为……（2分）
……（1分）
……（2分）
令解得……（2分）
因不合题意，则的最大似然估计值为.……（1分）
注：
提高题，考察矩估计与极大似然估计.
7、（15分）某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620（kg/mm2）今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度（kg/mm2）为:
10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.认为抗拉强度服从正态分布,取a=0.05,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否与过去生产的合金线抗拉强度有明显不同?
解：
，：
……（3分）
检验统计量为，的拒绝域为……（3分）
计算得，，……（3分）
对自由度-1=9，查t-分布表，得因为……（3分）
所以接受H0，新生产与过去生产的抗拉强度无明显不同.
……（3分）
注：
基本题，考察假设检验的基本内容。
南京理工大学课程考试标准答案
课程名称：
概率与统计（B）学分：
3教学大纲编号：
11022601
试卷编号：
B卷考试方式：
笔试，闭卷满分分值：
100考试时间：
120分钟
1、（10分）有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，
（1）问此球是红球的概率？
（2）若从乙袋中取到一个红球,则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少?
解设A——从甲袋放入乙袋的是白球；
B——从乙袋中任取一球是红球；……（2分）
（1）由全概率公式可得
……（4分）
（2）由贝叶斯公式可知
……（4分）
注：
基本题，考察全概率公式和贝叶斯公式。
2、（15分）设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2）设含有的二次方程为求有实根的概率.
解
（1）X的概率密度为……（2分）
Y的概率密度为
且知X,Y相互独立，
于是（X，Y）的联合密度为
……（4分）
（2）由于a有实根，从而判别式……（3分）
即：
记
……（6分）
注：
基础题，考察重要分布和联合概率密度。
3、（10）随机变量X与Y的联合概率密度为，
（1）求
（2）判断X与Y是否独立.
解
（1）;
……（6分）
（2）X的边缘概率密度为
……（2分）
Y的边缘概率密度为
由此可见所以X与Y不独立.……（2分）
注：
基础题，考察二维随机变量的概率求解与独立性。
4、（15分）设总体X的
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