抛物线及其标准方程-课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册.pptx

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第三章圆锥曲线的方程3.3.1抛物线及其标准方程CONTENTS04课堂总结02抛物线及其标准方程03典型例题目录01知识回顾01知识回顾知识回顾1.椭圆的定义是什么?

平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.2.双曲线的定义是什么?

今天我们类比椭圆、双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线抛物线平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹引入如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫做抛物线抛物线动画示意图02抛物线及其标准方程抛物线的定义lFMdH|MF|=d1定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹2焦点：

点F叫做抛物线的焦点3准线：

直线l叫做抛物线的准线注意：

抛物线的定义可归结为“一动三定”：

“一动”即一个动点，设为M；“三定”即一个定点F、一条定直线l、一个定值（即动点M与定点F和定直线l的距离的比值为常数1）.思考比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？

-1yxO-21xy=x2-2x-1y=x2-2y=x2lFMdHyO抛物线的标准方程xlFyOM（x,y）KHp两边平方两边平方,整理整理得得|MF|=d（,）02p=-2px22（）|22ppxyx-+=+-+=+22（0）ypxp=取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy设|KF|p（p0），焦点F为（p2，0），准线l的方程为xp2抛物线的标准方程lFyxO（,）02p=-2px方程y22px（p0）叫做抛物线的标准方程.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,其中焦点Fp2，0，准线方程l：

xp2，其中p为正常数，p的几何意义：

焦点F到准线l的距离,称为焦准距.抛物线的标准方程yxo探究：

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置（即：

开口方向）不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有哪些形式？

抛物线的标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y22px（p0）y2-2px（p0）p2，0xp2p2，0xp2抛物线的标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程x22py（p0）x2-2py（p0）yp2yp20，p20，p2注意：

焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向抛物线的标准方程典例：

求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.

（1）y2=20x;

（2）x2=4y;（3）2y2+16x=0;（4）x2+8y=0.焦点F（5,0）,准线方程为x=-5焦点F（0,1）,准线方程为y=-1焦点F（2,0）,准线方程为x=-2焦点F（0,-2）,准线方程为y=2抛物线的焦半径公式思考：

M是抛物线y2=2px（p0）上一点，若点M的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是这就是抛物线的焦半径公式!

xlFMdHyX0+p2抛物线的焦半径公式图形标准方程焦半径公式lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）四种抛物线的焦半径公式|PF|=x0+p2|PF|=p2-y0|PF|=p2-x0|PF|=y0+p2|PF|=|x0|+p2|PF|=|y0|+p2抛物线的焦半径公式典例:

（1）抛物线x2=4y上一点M的纵坐标为4,则点M与抛物线焦点的距离为.5

（2）抛物线y2=8x上一点到y轴的距离为4，则点M到抛物线焦点的距离为.6xlFMHyxyOFMHl抛物线的焦半径公式（3）若抛物线y22px（p0）上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为_解：

由y22px（p0），焦点为F（p2，0），准线方程为xp2设点M到准线的距离为d=|MF|10，即p2（9）10，得p2，故抛物线方程为y24x由点M（9，y）在抛物线上，得y6，故点M的坐标为（9，6）或（9，6）03典型例题抛物线的标准方程例1：

求适合下列条件的抛物线的标准方程

（1）过点M（6，6）；

（2）焦点F在直线l：

3x2y60上解：

（1）由于点M（6，6）在第二象限，过M的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y22px（p0），将点M（6，6）代入，可得362p（6），p3.抛物线的方程为y26x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x22py（p0），抛物线的标准方程解：

将点M（6，6）代入可得，362p6，p3，抛物线的方程为x26y.综上所述，抛物线的标准方程为y26x或x26y.

（2）直线l与x轴的交点为（2，0），抛物线的焦点是F（2，0），p22，p4，抛物线的标准方程是y28x.直线l与y轴的交点为（0，3），即抛物线的焦点是F（0，3），p23，p6，抛物线的标准方程是x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y28x或x212y.抛物线的标准方程例2：

（1）抛物线2y25x0的焦点坐标为_，准线方程为_

（2）焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_58，0x58x210y和x210y例3：

抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5，求抛物线的标准方程解：

设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y22ax（a0），点A（m，3）.由抛物线的定义得|AF|ma2|5，又（3）22am，a1或a9.所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.抛物线的定义的应用例4：

（1）已知动点P到定点（0，2）的距离和它到直线l：

y2的距离相等，则点P的轨迹方程为_

（2）设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离为_（3）一动圆过点（0，1）且与定直线l相切，圆心在抛物线x24y上，则l的方程为_x28y8y=-1抛物线的定义的应用例5：

若动圆M与圆C：

（x2）2y21外切，又与直线x10相切，求动圆圆心的轨迹方程解：

（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R.由已知可得定圆圆心为C（2，0），半径r1.因为两圆外切，所以|MC|R1.又动圆M与已知直线x10相切，所以圆心M到直线x10的距离dR.所以|MC|d1.即动点M到定点C（2，0）的距离等于它到定直线x20的距离由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x20为准线的抛物线，且p22，故其方程为y28x.抛物线的定义的应用例6：

（1）已知点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值解：

由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，点P，点（0，2）和抛物线的焦点F12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d0122（20）2172.抛物线的定义的应用例6：

（2）已知点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到点（3，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值解：

将x3代入y22x，得y6.所以点A在抛物线内部设点P为其上一点，点P到准线（设为l）x12的距离为d.则|PA|PF|PA|d.由图可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值是72.即|PA|PF|的最小值为72.04课堂总结课堂总结1.抛物线的定义；2.抛物线的标准方程；3.抛物线的定义的应用。

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