应用弹塑性力学李同林第四章.docx
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应用弹塑性力学李同林第四章
应用弹塑性力学李同林第四章
这是变形理论。
这个理论首先由亨斯基提出，然后由前苏联的伊留申进一步完善。
问题提出得更清楚了，并且给出了使用条件。
因此，这个理论也被称为亨奇-伊柳辛理论。
伊柳欣的变形理论应该满足几个条件:
（1）外载荷（包括体力）成比例增加，变形体处于主动变形过程中（即应力强度无中间卸载）；
（2）材料所用体积不可压缩，采用泊松比μ=1/2进行计算；（3）材料的应力-应变曲线具有幂强化形式，即
或者
；
在变形过程中
（4）满足小弹塑性变形的各种条件，塑性变形和弹性变形大小相同。
满足上述条件后，变形理论将给出正确的结果。
如果负载没有成比例地增加，则外部负载成比例地增加是简单负载的必要条件。
这样不仅不能保证物体内部的简单加载状态，而且物体表面也不能满足简单加载条件。
体积不可压缩性和泊松比μ=1/2的假设不仅简化了具体计算，而且与实验结果基本一致，因此变形理论的物理关系主要表现为应力挠度和应变挠度之间的关系，这是令人满意的。
法律。
使用幂强化模型可以避免区分弹性区和塑性区，但实际上该模型对不同材料的限制很小，因为各种材料都可以通过选择公式中常数a的指数m来拟合拉伸曲线。
采用小变形条件是因为平衡方程和几何方程是在小变形条件下推导出来的，物理关系也是小变形条件下的关系。
伊柳辛不仅明确规定了亨奇变形理论的适用条件，而且证明了简单加载定理。
他提出，在小的弹塑性变形条件下，总应变与应力挠度成正比，即:
如果使用主应力，有
等效应变的表达式为:
从这里
因此，Hench-Ilyushin理论的应力-应变关系可以写成如下:
展开等式（4-84）:
根据胡克定律（4-33），弹性应变为:
因为塑性应变是总应变和弹性应变之间的差，所以它由方程（4-85）和
（1）获得:
公式（4-86）可以缩写为:
实施例4-3众所周知，具有封闭端的薄壁圆筒的平均半径为R，平均直径为D，壁厚为T，圆筒长度为L，并且承受内压P以产生塑性变形。
材料是各向同性的。
尝试找到:
（1）如果忽略弹性应变，周向、轴向和径向应变之比在圆筒壁上的一点处增加；
（2）如果材料是不可压缩的，即μ=1/2，圆柱壁上一点的周向、轴向和径向应变总量之比。
因为t/r1是解，所以可以近似地考虑圆柱壁中每个点的径向应力ζr=0。
如果圆柱体横截面上的轴向合力为P，横截面面积为A，纵向合力为p1，一侧的纵向横截面面积为A1，则各点的周向应力和轴向应力分别为:
那么ζ1=ζθ，ζ2=ζη，ζ3=ζr。
而球形应力分量是:
应力偏转分量为:
根据增量理论（忽略弹性变形）:
因此:
即
基于总理论公式（4-84）和μ=1/2，
=0，
，获取:
Xi话题
4-1试验证明，下式适用于弹性变形过程中某一点的应力状态。
1
（1）？
8？
？
8；
（2）？
？
k？
（设置μ=1/2）
G4-2试图证明g，e？
他们之间的关系是:
1G？
2（1？
？
）11？
？
g？
E2，然后是3？
？
？
k。
？
，θ=0；同时，4-3试验证明，对于各向同性弹性体，如泊松比
上述弹性常数的物理意义。
4-4如果材料屈服的原因是形状变化比能（异常能）达到某个极值，试着根据单轴拉伸应力状态和纯剪切应力状态来确定屈服极限？
s和？
S.
4-5尝试根据体积应变规则证明泊松比，即物体在单轴拉伸下不会横向膨胀，而在三轴拉伸下体积不会收缩？
在...上
1的下限是:
0？
？
？
。
E24-6试用物体三维等效压缩的应力状态证明:
K？
？
？
并验证它是否与k有关？
与...一致，
3（1？
2v）3K是体积弹性模量。
4-7已知钢的弹性常数E1=210Gpa，μ=0.3；橡胶的弹性常数E=5MPa，μ=0.47。
试着比较它们的体积弹性常数（K1是钢，K2是橡胶的体积弹性模量）。
4-8在双轴拉伸应力下有一个微分体。
1？
0，？
2？
0，？
3？
0），主要的菌株是？
1？
1.7？
10？
4，
？
2？
0.4？
10？
4.知道吗？
=0.3，试着找出主要菌株？
3.
4-9将问题4-9中的图中所示的1厘米×1厘米×1厘米的铝方块嵌入带有无间隙凹槽的钢块中。
假设钢块没有变形，试着找出:
在压力P=6KN的作用下，铝块中某一点应力状态的三个主应力和主应变，弹性常数E=70Gpa？
=0.33.
直径D=40mm毫米，厚度为？
在2mm的钢套筒中，气缸承受轴向压力P=40KN。
如果铝的弹性常数E1是70GPa？
1=0.35，钢E=210GPa，试着找出气缸中某一点的圆周应力。
4-11试验证明各向同性弹性体的主应力方向与相应的主应变方向一致。
4-12将一个小物体放入高压容器中，在静水压力P=0.45N牛顿/平方毫米的作用下，测量体积应变θ=-3.6×10-5。
如果泊松比μ=0.3。
试着找出物体的杨氏弹性模量e。
4-13各向同性物体中某一点在X和Y方向上的法向应力分量分别为=35N/mm2；=25N/mm2，同时Z方向的应变完全受限。
设E=2.11×105N/mm2，μ=0.3，并试着求出ζε和εy，εx的值
4-14如果位移分量为μ=Ayz，υ=Axz，w=AKxy，其中a和k是常数，与物理力无关。
和K≠1。
试着找出应力分量，并验证这组应力分量是否可以作为弹性力学问题的可能解决方案。
4-15物体中点的应力状态为:
单轴拉伸下物体的屈服极限ζb=190兆帕。
特雷斯和米塞斯屈服条件用于判断该点处于何种变形状态。
如果主应力方向都在相反的方向上变化（即相同的值但不同的数值），那么对研究点的变形状态的判断是否改变。
4-16找出d点的流动规律（即
）
用主应力写出了4-17Mises条件，并研究了两种特殊情况:
（1）ζ1=ζ2；
（2）ζ2=ζ3.尝试将列出的米塞斯条件与特雷斯卡条件进行比较。
4-18给定的单轴拉伸曲线如图所示。
“E”和“E”都是已知的。
当B点的应变被称为ε时，试着找出该点的塑性应变。
4-19给定以下主要应力，试着找出:
；
也
。
在4-XXXX，法国工程师特雷·雷斯卡在一系列金属挤压实验的基础上发现，在变形的金属表面上有非常细微的痕迹，这些痕迹的方向非常接近最大剪应力的方向。
因此，他认为金属的塑性变形是由于剪切应力引起的金属晶格滑移而形成的。
Tresca提出，在一个物体中，当最大剪应力ηmax（绝对值）达到某一极限值时，材料进入塑性状态。
当ζ1≥ζ2≥ζ3时，该条件可写成如下:
如果你不知道主应力的大小和顺序，那么特雷斯卡条件应该写成:
在方程（4-44）中，如果有方程，材料已经进入塑性状态。
如果方程（4-44）被改写成一个通式，它是:
在主应力空间中，方程（4-45）的几何轨迹对应于图4-18（a）所示的正六边形圆柱体。
柱面和ζ1ζ2平面
ζ3代[公式（4-45）的截止轨迹为:
这代表六条直线，如图4-18（b）所示，即:
如图4-18（c）所示，圆柱和π平面之间的截距是正六边形。
上面出现的K值只需要通过简单的应力状态试验来确定。
如果采用单轴拉伸试验，ζs是屈服极限，因此存在。
ζ1=ζs，ζ2=ζ3=0，则得到公式（4-43）:
如果使用纯剪切试验，则:
，是剪切屈服极限ηs，因此ζ1=ηs，ζ2=0，ζ3=-ηs
比较方程（4-48）和方程（4-49），如果特雷斯卡屈服条件是正确的，必须有:
最大剪应力的假设被普遍接受，因为它与实验结果一致。
然而，当使用Tresca条件时，主应力的总和和顺序应该是已知的，因为最大剪切应力ηmax可以通过这种方式获得。
如果主应力的顺序是已知的，使用特雷斯卡条件是非常方便的。
因为从数学表达式来看，它是一个简单的线性公式，用它来解决问题非常方便。
此外。
Tresca的最大剪应力屈服条件忽略了中间主应力ζ2对材料屈服的贡献，这是它的不足之处。
米塞斯屈服条件
如上所述，特雷斯卡条件非常方便地用于预测主应力的顺序。
但总的来说，这相当麻烦。
191年，德国力学家R.冯.米塞斯指出:
在等倾平面上，特雷斯卡条件六边形的六个顶点是通过实验得到的，但连接这六个顶点的直线包含着这样的假设（中间主应力不影响屈服）。
这个假设是否合适需要通过实验来证明。
守财奴认为用一个圆连接六个顶点似乎更合理，而且可以避免因曲线不平滑而造成的数学困难。
主应力空间中米塞斯屈服条件的轨迹是一个从外部连接到特雷斯卡六边形圆柱体的圆柱体，如图19（a）所示，它垂直于正八面体斜面或π平面。
所以它在π平面上的截距等于
圆圈，如图4-19所示
如图4-19（b）所示，它在ζ1ζ2平面上的截距是一个由六边形围成的椭圆。
如果用公式表示，英里条件可以写成:
或者写成
上述两个公式中的k是常数，其值可以通过简单的应力状态试验来确定。
如果采用单轴拉伸试验，ζs为屈服极限，则ζ1=ζs，ζ2=ζ3=0，由公式（4-51）得出:
如果采用纯剪切试验，ηs=k是用同样的方法得到的，所以我们知道:
也就是说ηs≈0.577ζs
1924年，赫内基解释了米塞斯条件的物理意义。
他指出，方程（4-51）相当于形状变化应变能量密度等于某一值，即:
①
亨斯基认为，当韧性材料的形状改变，应变能密度Uod达到某一值k’时，材料开始屈服。
如果采用单向拉伸
在拉伸试验中，当材料屈服时，已知公式（4-51）与公式（4-55）一致。
因此，米塞斯经常投降。
这种状态称为畸变能状态。
1937年，戴娜（戴娜）对米塞斯给出了另一种解释，即这种情况的物理意义。
戴娜认为，公式（4-51）相当于八面体剪应力η8等于某一值，即
换句话说，当八面体剪应力达到一定值时，材料开始屈服。
在1952年，诺沃契洛夫（注1）用剪切应力的均方值对米塞斯条件的物理意义给出了另一种解释（略）。
简而言之，尽管上述三种解释以不同的形式表达，但它们实际上是。
他们之间有着内在的联系。
关于验证上述屈服条件，有大量的实验数据。
这里不再详细描述。
实验表明，变形能条件比最大剪应力条件更接近实验结果，主应力的阶次无需事先知道，中间主应力ζ2对屈服的贡献也被考虑在内。
图4-20显示了细管实验和拉扭实验的结果。
图4-20（a）显示了泰勒等人的拉伸和扭转试验结果；图4-20（b）显示了洛达克细管的试验结果。
如图4-21所示，例4-2有一个横截面相等的圆轴，并承受弯曲和扭转应力。
已经
材料的实测屈服极限为ζs=300兆帕，已知弯矩Mw=10kN·m，扭矩Mn=30kN·m。
如果安全系数n=1.2，则尝试根据材料力学和强度理论的相关公式设计轴的直径。
解决方案:
圆轴是在弯曲和扭转的共同作用下，所以轴中危险点横截面上的两个应力分量是:
在上面的公式中
，主应力是:
显然。
圆轴上一点的应力状态是ζ1=ζmax，ζ2=0，ζ3=ζmin。
ζ1和ζ3分别是:
根据特雷斯卡条件，ζ1-ζ3=ζs，公式（3）被取代，安全系数被认为获得:
解决方案如下:
因此，轴向直径可以是d≥10.9厘米。
根据米塞斯条件:
式（3）和安全系数包括在简化中:
根据等式（6）:
因此，轴向直径可以是d≥10.4厘米
第4-5节岩土材料的变形模型和强度准则
4-5-1岩土材料的变形特征及主要假设
岩土材料、煤炭、地质或采矿工程中的土壤、结构工程中的混凝土、石头和工业陶瓷统称为岩土材料。
在一般的常规材料试验机中，进行岩土介质的材料力学实验时，由于试验机头部的位移大于试件的变形，当试件损坏时，试验机中储存的弹性变形会立即释放，这将冲击试件并导致严重的破坏，从而无法得到材料应变软化阶段的规律，即完整的应力-应变曲线。
如果使用刚性试验机，并且可以控制加载速度以适应试样的变形速度，则可以获得完整的应力-应变曲线。
岩石、混凝土和其他材料的典型全应力-应变曲线如图4-22所示。
实验表明，当应力较低时，试件材料的内部裂纹被压实。
在此阶段（OA段），应力值增加很少，但压缩应变较大。
内部裂缝压实后，应力和应变近似线性增加。
在这个阶段（AB部分），有体积变化，而B点的应力值称为屈服强度。
随着压力的增加，材料的
微裂纹也在不断发生和扩展，因此应力和应变之间存在明显的非线性增长，并表现出一定的应变硬化特征（BC截面）。
点C处的应力值称为强度极限（抗压强度极限ζbc或抗拉强度极限ζbt）。
在点C附近，试样的总体积变形从收缩变为膨胀，即材料中出现宏观裂纹。
裂纹的扩展使材料的变形不断增加，而应力不断减小。
这一阶段（光盘部分）称为应变软化阶段。
DE阶段显示材料的剩余强度。
当达到强度极限时，材料中累积的应变能的值是由峰值左侧的曲线OABCF包围的区域，表示为U1，以及从裂纹到失效的整个过程中消耗的能量。
该量是由峰值右侧曲线（FCDE）包围的区域U2。
如果u1>U2，材料破坏后还会有一些能量残留，这部分变形能量的突然释放会伴随着“岩爆”；如果u1总而言之。
岩土材料的应力-应变曲线大致可分为三段。
第一阶段（OABC）是应力和应变的非线性上升，第二阶段（CD）是应变软化阶段，第三阶段（DE）是残余强度阶段，这在一些材料中不发生。
通常，材料在拉伸状态下的应力-应变曲线的变化规律与压缩状态下的相似，但代表各阶段应力和应变的值与压缩状态下的值有很大的不同。
岩土材料的抗压强度远远高于拉伸强度。
至于岩土材料，它们通常处于三向或双向压缩状态。
在岩石力学和土力学中，模拟三向应力状态的试验称为“三轴试验”。
三轴试验中最常见的一种是模拟三向应力状态的特殊情况，即在三个相互垂直的方向上保持两个方向上的压力值相等，而在另一个方向上改变压力值。
这种试验可以在三轴试验机上完成。
图4-23是该三轴试验机的主要结构原理示意图。
在测试过程中，圆柱体样品被流体包围，流体被施加高压以向样品提供围压。
在试验过程中，通常将围压保持在一定的恒定值，通过可推动的活塞头向试件施加轴向压力，不断增加压力，直至试件损坏。
通常，围压和轴向载荷可以相互独立地控制，并且在试验过程中提供特殊的装置来测量轴向载荷、围压和变形。
通常，围压越低，材料的屈服强度越低，应变软化阶段越明显。
随着围压的增加，屈服强度增加，塑性也明显提高。
图4-24是在常规实验机器上对翁碧岩大理石进行三轴试验的结果。
图4-24（a）显示了在翁碧岩大理岩三轴压缩试验中，当围压增加时，翁碧岩大理岩在不同围压下的破裂或流动类型。
另一个三轴试验是模拟压力在三个相互垂直的方向上的独立变化。
为了区别于上述三轴试验，通常称之为“真三轴试验”。
真三轴试验通常在三组正交的立方体岩石试样表面上独立进行。
在试验过程中，应特别注意减少加载岩石样品表面的摩擦，以便获得样品三维应力状态的良好近似值。
可以想象，真三轴试验比三轴试验要复杂和困难得多，在这方面还有许多问题需要解决。
通过以上对大量岩土材料试验数据的讨论和分析，人们认识到由于岩土材料成分的不均匀性，
缺陷和裂纹的分布使细裂纹在加载过程中进一步扩展和移动，导致材料的宏观强度和刚度降低。
因此，材料的非弹性变形主要是由微裂纹和缺陷的产生和扩展引起的。
岩土材料的压缩性（抗剪强度随压应力的增加而增加）、剪胀性（剪切应力下的塑性体积应变）和等压屈服（在所有方向上的等压下的塑性屈服）是岩土塑性理论和金属塑性理论的重要区别。
这些差异主要表现在:
（1）岩土介质在静水压不太大或环境温度不太高的工程环境下表现出应变软化特性。
（2）岩土材料的抗压强度决定了岩土材料的剪切屈服和破坏必须考虑材料的平均应力和内摩擦性能。
（3）金属材料的特点是材料的弹性系数与塑性变形无关，岩土材料应考虑弹塑性耦合。
（4）岩土材料中应考虑单一屈服面。
（5）金属材料中的正交流动法则不再适用于岩土材料。
由于岩土材料与金属材料的变形特性存在显著差异，岩土材料的强度准则（金属塑性理论中称为屈服条件，岩土塑性理论中称为塑性条件）应包括平均应力；并能反映应力应变张量中球形分量和偏转分量的交叉影响。
体积应变的屈服使强度准则曲面的末端闭合等。
材料变形的复杂性和应力-应变模型的多样性是解决岩土材料承载力的首要问题。
合理简化应力-应变曲线和正确选择强度准则对解决这一问题具有重要意义。
由于影响岩土塑性变形的因素很多，有些因素不可忽视，岩土塑性理论中的假设相对较少。
主要假设是:
（1）连续性假设虽然岩土介质在肉眼可见的尺度上表现出不均匀性和不连续性，但在工程问题的力学分析中，它可以作为一个连续介质岩土力学问题，即在较大尺度范围内描述各种力学量时取统计平均值。
（2）在大多数情况下，不管时间和温度的影响，蠕变和松弛效应可以忽略，应变率对变形规律的影响可以忽略。
在一般工程问题中，温度变化不大，温度的影响可以忽略。
4-5-2岩土材料变形模型
根据大量的岩土材料试验数据，可以简化岩土材料的应力-应变曲线，以强度极限为岩土材料变形特性的转折点。
可采用以下基本变形模型:
（1）理想弹塑性模型该模型假定应力在达到最大值后保持不变，而材料的变形仍可继续增长。
如图4-25（a）所示，数学表达式为:
该模型适用于材料应变软化不明显的情况，即在c点附近有一段应力下降不明显的时期。
（2）脆塑性模型如图4-25（b）所示。
在这个模型中，当应力达到最大值时，就会发生“下降”。
下降后的应力值称为
剩余强度，数学表达式是:
其中b称为剩余强度系数，0≤b选择不同的边坡E1可以描述不同的材料软化特性。
考虑到岩土材料应力-应变实验曲线的多样性，上述变形模型也可以不同地组合。
4-5-3
岩土材料的强度标准
在岩土材料实验中，当时材料中出现了宏观裂纹。
在复杂的应力条件下，当材料中出现宏观裂纹时，应力之间满足的条件称为强度准则。
该公式类似于金属塑性理论中的屈服条件，因此强度准则也可称为塑性条件，它表明材料将从弹性状态进入非弹性变形状态。
两者的临界状态意味着材料将进入塑性状态或出现宏观裂纹。
它的应变与变形模型有关，对于理想的弹塑性模型，它意味着进入无约束的塑性变形状态。
另一方面，脆塑性模型和线性软化模型分别表示应力将下降并进入线性软化状态。
点c之后的应力组合（见图4-22）仍然满足强度标准，但是此时表征材料机械性能参数的值根据不同的模型而不同。
例如，对于理想的弹塑性模型，力学性能参数的ζb值不变，而在脆塑性模型中，强度值从ζb减小到Kζb，线性软化模型中强度值的减小与ε和e有关。
因此，岩土材料的承载特性不仅与变形模型有关，还与强度准则有关。
对于一般岩土材料，随着静水压力的增加，屈服应力和破坏应力都大大增加。
即使在初始各向同性的假设下，方程（4-42）也应修正为:
的屈服条件。
岩土力学中的强度准则通常可以表述为:
介质中点元体的任何微截面上的剪应力ηn不能超过某一临界值。
当|ηn|达到这个临界值时，材料将产生剪切滑移。
在最简单的情况下，上述临界值和断裂面上的法向应力ζn之间存在线性关系，即:
这是库仑抗剪强度标准。
在上式中:
C通常是常数，是固体材料在ζn=0微截面上的剪切强度。
在岩石力学中，它通常被称为内聚力。
θ是内摩擦角（在岩石力学中，压应力通常为正，ζn之前的负号应改为加号）。
在更一般的情况下，等式（4-61）中的θ将随着（-ζn）的增加而减小，即:
这是摩尔的强度标准。
莫尔强度准则可以用曲线（如双曲线、抛物线、摆线等）来表示。
）来显示θ值随着ζn的增加而变化，如图4-26（b）所示。
当我们只考虑θ为常数的情况时，它就是库仑剪切断裂准则。
等式（4-61）代表一对光线。
如图4-25（a）所示。
中等应力状态的最大应力圆应在这两条射线或莫尔包络MN和M’N’包围的区域，当材料产生剪切滑移时，极限应力圆应与射线或包络相切。
莫尔强度准则的包络线可以通过材料在不同应力状态下的一系列试验和材料损伤时的极限应力圆来确定。
在库仑抗剪强度准则中，内聚力C和内摩擦θ可用抗拉强度ζbt和单轴抗压强度ζbc表示，它们之间的关系为:
实验表明，使用表达式（4-61）或（4-62）来表示材料中的微裂纹即将开始移动可能更合适，因此它们通常被用作岩土材料的屈服条件。
研究证明，库仑抗剪强度准则实际上可以看作是莫尔强度准则的线性化表示，因此通常称之为莫尔-库仑准则。
为了用主应力ζ1“ζ2”ζ3来表示库仑抗剪强度准则:
替代类型（4-61）:
或者是书面的
方程（4-64）中的两个主应力应分别旋转ζ1、ζ2和ζ3，然后可分别得到六个表达式。
方程（4-64）左端的第二项反映了静水压力对屈服条件的影响。
我们注意到
等式（4-64）也可以写成:
屈服面与由公式（4-54）或公式（4-65）在ζ1、ζ2和ζ3主应力空间中形成的两个平面之间的截距是图4-27所示的六角形ABCDEF，它具有相同的边长但不同的夹角。
当ζ1=ζ2=ζ3=Ccotθ时，图收缩到点O’。
因此，该准则的屈服面是以π平面上的六边形为底部，以O′为顶部的六边形棱锥体的侧面。
在几何学上，库仑准则考虑了材料拉伸和压缩强度极限的明显差异以及静水压力对强度准则的影响。
考虑静水压力影响的另一个强度标准是卡车司机-普雷格（1952）标准，它是米塞斯条件的延伸。
如图4-28所示，它可以写成:
其中I1=和ζ1+ζ2+ζ3；α和K都是正的物质常数，它们与C和θ的关系取决于锥面和六角锥面之间的相互关系。
如果两个锥面的顶点重合，当米塞斯圆的半径等于图4-27中的长度B时，它就是外切圆锥:
当它是内接圆锥体时:
关于材料的屈服条件或强度准则，除了已经介绍的特雷斯卡条件、米塞斯条件、库仑准则、莫尔准则和德鲁克尔-普雷格准则外，还有由材料的单拉伸屈服极限ζs或剪切屈服极限K表示的双剪应力屈服条件（于茂宏等，1988）。
选择了抗拉强度ζbt、单轴抗压强度ζbc和双抗压强度极限描述的强度准则，并根据混凝土破坏包络线的几何特征推荐了用八面体应力表示的强度准则（郭震海等，1991）。
由于篇幅所限，这里不介绍。
4-6装载标准、装载面、装载方法4-6-1
装卸判断标准
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