椭圆定义及性质整合.doc

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椭圆定义及性质的应用

一、椭圆的定义

椭圆第一定义

第一定义：

平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

★过点作的的外角平分线的垂线，垂足为，则的轨迹方程为.

推导过程：

延长交于，连接，

由已知有为的中垂线，则，为中点，==，所以的轨迹方程为.（椭圆的方程与离心率学案第5题）

椭圆第二定义

第二定义：

动点到定点的距离和它到定直线的距离之比等于常数，则动点的轨迹叫做椭圆.

（为点到右准线的距离），右准线对应右焦点，其中称作焦半径，左、右准线公式..椭圆的焦半径公式为：

.

推导过程：

；同理得.

简记为：

左加右减在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数.

（离心率、焦点弦问题）例1：

（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（）

A.1B.C.D.2

B【解析】解法一：

，∵，∴，∵，设，，∴，直线AB方程为.代入消去，∴，∴，则，解得，则，.

解法二：

设直线为椭圆的右准线，为离心率，过别作垂直于，为垂足，过作垂直于与，设，由第二定义得，，由，得,，，则，则，，则，.故选B.

（离心率、焦点弦问题）例2：

倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，且有，求椭圆的离心率.

【解析】解法一：

为左焦点上的焦半径，所以过两点分别作垂直于准线的直线且和准线交于两点，从点作.因为，设，则，，又因为，则,，所以，在中，，所以，解得.

解法二：

如图，设，则，在中，由余弦定理得，化简得①，，化简得②，①＋②×3化简得，，代入①解得.

椭圆第三定义

第三定义：

在椭圆中，两点关于原点对称，是椭圆上异于两点的任意一点，若存在，则.（反之亦成立）.（★焦点在Y轴上时，椭圆满足）

推导过程：

设，，则．所以①，②；由①－②得，所以，所以为定值．

例1:

已知椭圆的长轴长为4，若点是椭圆上任意一点，过原点的直线与椭圆相交与两点，记直线的斜率分别为.若，则椭圆的方程为.

.【解析】解法一：

，，则，因为，则，，则.且，则椭圆方程为.

解法二：

由第三定义知，且，则则椭圆方程为.

例2:

已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线的斜率的取值范围是.

.【解析】设，的斜率分别为，则，又，所以.

二、椭圆的性质

焦点三角形

椭圆焦点三角形的边角关系：

，，周长为.设.

（1）当点处于短轴的顶点处时，顶角最大；

（2），当且仅当时取等号；

（3）；

（4），当且仅当时取等号.

推导过程：

（1），

当时，有最小值，即最大；

（2），

则有，，，（当点为短轴顶点时取得最大值，此时），代入化简得.

（3）由

（2）得.

（离心率问题）例1.已知分别是椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是__________.

【解析】解法一：

在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点位于短轴的交点处，由题意得，

所以,即,解得.

解法二：

设，由题意得椭圆上存在一点，使得，即，化简，得，与联立，消去得，由椭圆范围知，即，化简得，解得.

变式1：

已知分别是椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点，使得为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是__________.

【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点位于短轴的交点处，为钝角，所以，所以,即,解得.

变式2：

已知分别是椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点，使得（变式3：

），则椭圆的离心率的取值范围是__________.

【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点位于短轴的交点处，由题意得，

所以，则.变式3：

.

（离心率问题）例2.已知是椭圆的左右焦点，若在直线上存在点，使得线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是________.

【解析】，，即解得：

.

（焦点三角形面积问题）例3.已知椭圆为焦点，点为椭圆上一点，，求.

【解析】解法一：

设则有，在中由余弦定理得，则，则，则.

解法二：

.

（焦点三角形面积问题）例4.过椭圆中心的直线与椭圆交于两点，右焦点为，则的最大面积为_________.

【解析】由题意得关于原点对称，则有，故当位于短轴的顶点处时，面积最大，为.

（焦点三角形边角问题）例5.已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，

（1）在椭圆上满足的点的个数是？

（2）的最大值是？

（3）为钝角时，点的横坐标的取值范围是？

【解析】

（1）画图知，所求点的个数即为圆与椭圆的交点个数，由于，故有4个点.

（2）解法一：

设则有，，当且仅当时取等号.解法二：

由性质得，（当点为短轴顶点时取得最大值，此时），代入化简得.

（3）如图所示，与椭圆有4个交点，假设在第一象限的交点为，此时，设则有，，解得（或），由等面积法得，则，则由勾股定理得，解得，则由对称性可知，点的横坐标的取值范围是.

（焦点三角形中与距离最值有关的问题）:

注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：

（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值；

（2）两边之差小于第三边.

焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求；

★若点为椭圆内一定点，点在椭圆上，则有：

.（三角形三边关系）

★若点为椭圆内一定点，点在椭圆上，则有：

.

推导过程：

连接，

由三角形三边关系得，

则有（椭圆定义的应用，三角形三边关系）.

焦点弦

经过椭圆焦点的弦是焦点弦.

（1）焦点弦长可用弦长公式求

；

*

（2）设焦点弦所在的直线的倾斜角为，则有.

*（3）（为某一焦点）.

（4）的周长为.

（离心率、焦点弦问题）（同第二定义例1）例1：

（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（）

A.1B.C.D.2

B【解析】解答题解法：

，∵，∴，∵，设，，∴，直线方程为.代入消去，∴，∴，则，解得，则，.

中点弦

是椭圆的任意一弦，是中点，则.

证明：

令，

则，，，

，由于，，则.

例1：

过点作一条直线交椭圆于点，若点恰好是弦的中点，求直线的方程.

【解析】解答题步骤：

解法一（点差法）：

由题意得直线有斜率，设其斜率为，，，代入椭圆方程，有，两式作差得，，即，则.则直线的方程为，即.

解法二（代入法）：

由题意得直线有斜率，设其直线方程为，得，代入得，则，解得，则直线的方程为.

这两种方法都体现了设而不求的思想，这是圆锥曲线解题的常用思想.

切线及切点弦

切线方程：

（1）设为圆上一点，则过该点的切线方程为：

；

（2）设为椭圆上一点，则过该点的切线方程为：

.

切点弦方程：

（1）设是圆外的一点，过点作曲线的两条切线,切点,则切点弦所在直线方程为；

（2）设是椭圆外的一点，过点作曲线的两条切线,切点,则切点弦所在直线方程为.

例1：

以上的点为切点的切线方程为_________.

【解析】解法一：

由题意得切线有斜率，设切线方程为，则，则有，解得，则切线方程为.

解法二：

点为切点，由公式得，切线方程为，即.

例2：

以上的点为切点的切线方程为_________.

【解析】解法一：

由题意得切线有斜率，设切线方程为，代入，化简得

，则有，解得，则切线方程为.

解法二：

点为切点，由公式得，切线方程为，即.

★过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点.

推导过程：

设，则的方程为，

即必过点.

★过椭圆焦点弦的两端点作椭圆的切线，切线交点在准线上.

光学性质

★椭圆的光学性质：

过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点.

★椭圆上一个点的两条焦半径的夹角被椭圆在点处的法线平分.（入射光线、反射光线、镜面、法线）

已知：

如图，椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴于，设，

求证：

.

证明：

在上，，

则过点的切线方程为：

，是通过点

且与切线垂直的法线，

则，

∴法线与轴交于，

∴，∴，又由焦半径公式得：

，∴，∴是的平分线，

∴，∵，故可得.

例1.已知椭圆方程为，若有光束自焦点射出，经二次反射回到点，设二次反射点为，如图所示，则的周长为　　　　　.

20【解析】：

∵椭圆方程为中，，

∴为该椭圆的一个焦点，∴自射出的光线反射后，反射光线定过另一个焦点，故的周长为：

.

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