高等等离子体物理.docx

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高等等离子体物理

高等等离子体物理

（一）线性理论

（研究生教材）

王晓钢

北京大学 物理学院

2009 年 2 月

等离子体的流体理论

1. 等离子体的流体描述

1.1 等离子体的双流体模型

1.2 Hall 磁流体（Hall-MHD）模型

1.3 电子磁流体（E-MHD）模型

1.4 理想磁流体力学（MHD）方程组

1.5 位力定理

1.6 变分原理

2. 理想磁流体平衡

2.1 磁场与磁面

2.2 Z-箍缩与θ-箍缩

2.3 一维平衡与螺旋箍缩

2.4 Grad-Shafrano 方程

3. 等离子体的理想磁流体稳定性

3.1 能量原理

3.2 扭曲模与交换模

3.3 一维稳定性，直柱托卡马克

4. 磁流体力学波

4.1 线性磁流体（MHD）方程

4.2 非磁化等离子体中的磁流体波

4.3 磁化等离子体中的磁流体波

5. 均匀等离子体中的波（双流体理论）

5.1 双流体模型

5.2 介电张量与色散关系

5.3 静电波简介

5.4 准静电波与准电磁波

5.4 电磁波简介

1. 等离子体的流体描述

1.1 等离子体的双流体模型

等离子体是由大量带电粒子组成的物质状态。

一般意义上的等离子体由带正

电的离子和带负电的电子组成。

由于带电粒子之间的 Coulomb 长程相互作用，

等离子体呈整体电中性，即总的正电荷与负电荷相等。

因此，除特殊的非中性

（一般是强耦合的）等离子体之外，我们可以用带负电的电子流体和带正电的离

子流体组成的“双流体”模型来描述等离子体的宏观行为。

这种近似牵涉到等离

子体时空尺度的讨论，我们在后面将进一步详细论述。

基于流体力学的图像及其近似，或者从统计物理的分布函数及其满足的方程

（如 Vlasov 方程或者 Fokker-Planck 方程等，取决与碰撞项的形式，这里用类

Markov 过程的碰撞项 （ f0 - f ） / τ ≡ν （ f0 - f ） ）出发，我们得到“双流体”方程组：

连续性方程（统计方程的零阶矩）

∂nα

∂t

+ ∇ ⋅ （nα uα ） = 0 ，

（I-01）

动量方程（力平衡方程，统计方程的一阶矩）

⎝ ∂t

⎫

⎭

⎡u ⨯ B ⎤

⎣⎦β

（I-02）

状态方程（对统计方程各阶矩的“不封闭链”（Hierarchy）的一种截断）

∂pα

∂t

+ uα ⋅ ∇pα = -γ pα ∇ ⋅ uα ；

（I-03）

Coulomb 定律（Poisson 方程）

∇ ⋅ E = 4π ∑ nα qα ，

α

Ampere 定律

（I-04）

∇⨯ B =

4π

c

⎝ c ∂t ⎭ c ∂t ⎭

⎛ 1 ∂E ⎫          ⎛ 1 ∂E ⎫

（I-05）

Gaussion 定理

∇⋅ B = 0 ，

Fayraday 定律

（I-06）

∇⨯ E = -

1 ∂B

c ∂t

；                                         （I-07）

这里α = i, e ；对α 类粒子来说：

 nα 是粒子数密度， mα 是粒子质量， qα 是粒子电

荷， uα 是流体速度， pα = nαTα 是理想气体近似下的分压强；而ναβ 是α 类与 β 类

粒子之间的碰撞频率（当α = β 时为自碰撞）。

 E ， B ， J 则分别是电场强度、磁

感应强度、和等离子体电流密度。

关于状态方程，我们以后会进一步讨论。

这里我们只是指出：

参数 γ 的取值

决定等离子体的状态，如等温（isothermal）状态对应

γ = 1；不可压缩状态对

应 γ → ∞ ；其它的 γ 值对应“绝热”状态。

1.2 Hall 磁流体（Hall-MHD）模型

一般来说，双流体模型是描述等离子体宏观（大于粒子回旋半径的尺度）运

动的有力工具；在高频波段也可以应用，甚至在回旋半径的尺度上也可以得到一

些有用的结果。

但是，由于电子与离子质量之间超过三个数量级的差别，在具体

计算双流体模型的时候，会遇到所谓“刚性”问题：

即电子已经完全改变了运动

状态，离子还基本没有动！

这使得我们在计算离子时空尺度下的物理问题时，耗

费大量的计算机时间。

而且由于 code 本身的精度，即使经过长时间运算看到了

离子的运动，其结果或者是看到了很强的数值不稳定性、或者是很难令人相信。

而为了稳定 code 引进的数值耗散，则往往带来人为的非物理的效应。

即使对纯

理论的解析推导，不仅过程繁杂，而且得到的物理图像也不清晰。

所以我们经常

引进进一步的近似。

因为离子运动的时间尺度远远长于电子的时间尺度（通常在 40 倍以上，对

于回旋运动来说则可以大于 1840 倍），所以我们在主要考虑离子运动时，可以认

为电子响应是“瞬时”的（instantaneously or simultaneously）。

这样，我们可

以保持其它方程不变，近似地把（I-02）中电子的质量趋于零，得到：

=-   -η   neeue ，

E +

ue ⨯ B

c

∇pe

nee

（I-02e）

2

这里η ≡ 4πν e / ωpe 是所谓的“Spitzer 电阻”。

利用在“准电中性”近似 ni ≈ ne 下，

ue = ui - J / nee ， J = nieui - neeue ≈ -neeue 是等离子体电流，这个方程可以写为：

E +

c neec nee neec

=

-   +ηJ 。

nee

必须注意到：

这里我们还用到了 ue >> ui 的条件。

明显地， ue >> ui 要求电子运动

与离子运动的分离，即所谓 Hall 效应。

所以我们称这个近似模型为 Hall 磁流体

模型；这个方程则称为 Hall磁流体的广义欧姆定律（HallMHDGeneralized

Ohm’s Law）。

方程中的 J ⨯ B / neec 明显地就是我们在电磁学课程里熟知的 Hall 电

场项。

1.3 电子磁流体（E-MHD）模型

而另一方面，我们在主要考虑电子运动时，可以认为离子响应是“无穷慢”

的，或者说离子可以看成是保持总体电中性的“背景”。

或者说，把离子看成是

“稳态”的（ ∂ / ∂t = 0 ，但是可以有 ui ≠ 0 ）。

将 ∂ / ∂t = 0 的近似带入离子的方程，

得到的是所谓电子磁流体（Electron MHD）模型。

这个模型也是在电子和离子的

运动分离的情况下得到的，适用于比 HallMHD 模型更小的空间尺度和更快的时

间尺度的问题。

1.4 理想磁流体（MHD）方程组

如果不仅整体等离子体呈电中性，而且在非常小的局部也呈电中性，我们可

以把这个局部取做流体元，则有 ne = ni = n 。

上面（I-04）的右边等于零，而（I-

02）的不同电荷粒子方程相加可以消去小尺度下（即流体元）的电场。

这样可以

在很多情况下使问题得到简化。

这个图像，我们称为磁流体

（magnetohydrodynamics, MHD）近似（或称“磁流体力学”近似）。

在这个近似下，宏观的“大尺度”电场满足的方程可以由（I-02）两式之差

（得到的 Ohm 定律）来计算。

这一节里，我们详细讨论这一近似。

等离子体过程的时空尺度

研究物理问题时首要的是讨论时空尺度。

经典的宏观（大空间尺度）、低速

（慢时间尺度）下的牛顿力学与相对论（快时间尺度）、量子力学（小空间尺度）

的适用范围就是典型例子。

在等离子体中存在着很多的运动模式，我们无法、也没有必要同时考虑所有

这些运动模式。

那么哪一种（或者几种）运动模式是主导的、起着决定作用的？

要回答这个问题，就要进行时空尺度分析：

我们关心的是哪个时空尺度下的物理

问题，在这个时空尺度下存在哪几种运动模式？

所以，对于等离子体这样的存在

里，这显然是声速 cs = （γ  p /ρm ）   ，这里ρm 是质量密度。

但是在磁化等离子体中，

对于大尺度的 MHD 问题来说，这一特征速度是所谓 Alfvén 速度VA ≡ B / （4πρm ）   。

大量运动模式的连续介质来说，时空尺度分析尤其重要。

磁流体（MHD）理论的基本假设

磁流体理论本质上来说是一种与流体力学相类似的连续介质的理论。

因为考

虑宏观的大尺度问题，其特征长度 LH （或 L0 ）一般可以看成是所研究等离子体

区域的大小，比如柱形等离子体的横截面（的半径）。

而特征时间尺度τ H （或者

特征频率 ωH ~ 1/ τ H ）则可以用一个特征信号穿越这一尺度的时间来表征。

这等

于特征尺度 LH 与特征信号在等离子体这一介质中传播的速度之比。

在流体理论

1/ 2

1/ 2

当然，如果所研究的等离子体可以看成是一个驱动（driven）系统，那么其

特征时间尺度应该由驱动频率给出。

磁流体（MHD）理论基于下列假设：

* 非相对论假设：

ω / k ~ LH /τ H ~ Vtypical << c ⇒

1 ∂E

c ∂t

→ 0

* 流体假设：

1）局域热力学平衡（局域 Maxwellian 分布）假设：

τ ii << ωH ~ τ H （要求较高碰撞频率：

压强是标量， Π → 0 ）；

2）忽略有限 Larmor 半径（FLR）效应：

ωH << Ωci << Ωce ， ρe / LH << ρi / LH << 1;

3）单流体（准电中性）假设（即 Debye 球内有大量粒子，也称等离子体假

设）：

n-1/3 << λD << LH ， ωH << ωpe ， ⇒ ∑ nα qα → 0 。

α

我们会发现，局域 Maxwellian 分布的假设对于“无碰撞”理想（ideal）等离

子体（其平均自由时间τ ee , τ ii , τ ei >> τ H ）来说的不是一个好的假设。

我们需要进

一步讨论：

1）粒子间“碰撞”（collision）和关联（correlation）之间的关系，以及长

程碰撞的“集体”（collective）效应和短程碰撞之间的关系；

2）以及导向中心理论的回旋动理学（gyrokinetic）和漂移动理学（drift-

kinetic）近似。

磁流体（MHD）方程组

如果我们利用 ne = ni = n ，定义小的等离子体元的“单流体”物理量：

质量密

度：

 ρm ≡ n （mi + me ） ≈ nmi ，流体速度 u =

nimiui + nemeue

nimi + neme

m

mi

体压强 p = n （Te + Ti ），等离子体电流 J = ne（ui - ue ） ，将（I-01）、（I-02）分别对

不同电荷分量求和得到

连续性方程

∂n

∂t

+ ∇ ⋅ （nu） = 0 ，

（I-08）

动量方程（并利用 Ampere 定律）

⎛ ∂u

⎝ ∂t

⎫

⎭

J ⨯ B

c

= -∇p +

（∇ ⨯ B） ⨯ B

4π

。

           （I-09）

而电子的动量方程（I-02）（α = e 时）可以写成

E +

ue ⨯ B

c

= -

∇pα ν m m ⎛ ∂ue

ne   e     e ⎝ ∂t

⎫

⎭

这里ν e 包括了电子自碰撞ν ee 及电子—离子碰撞ν ei ；或者

E +

u ⨯ B

c

=

J ⨯ B

nec

∇pe me ⎛ ∂ ⎫

ne ⎭

-

ν eme

e

u -

me ⎛ ∂

ç

⎫

⎭

这个方程我们一般称为广义 Ohm 定律，其中η ≡ν eme / ne2 为经典的等离子体

Spitzer 电阻率。

一般来说电流主要是电子携带的，可以忽略最后两项得到常用

的广义 Ohm 定律

E +

u ⨯ B

c

=

J ⨯ B

nec

∇pe me ⎛ ∂ ⎫

ne ⎭

（I-10）

所谓理想磁流体近似，在“无碰撞”近似下忽略方程右边的电阻项，在大尺度磁

流体近似下忽略方程右边其它各项（Hall 电场项由离子惯性尺度、电子压强梯度

项由“离子声回旋半径”尺度、电子惯性项由电子惯性尺度表征），得到理想磁

流体的 Ohm 定律

E +

u ⨯ B

c

= 0 。

（I-11）

带入 Fayraday 定律（I-07）得到

∂B

∂t

= ∇ ⨯ （u ⨯ B） ；

（I-12）

加上状态方程

∂p

∂t

+ u ⋅ ∇p = -γ p∇ ⋅ u ，

（I-13）

我们得到完整的理想磁流体（idealMHD）方程组（I-08-09），（I-12-13）：

共

10 个方程确定 10 个未知函数 n ， u ， p ， B 。

这 10 个变量是在 n ， u ， p 这 7

个流体变量之外加上磁场。

所以称磁流体（MHD）。

磁流体（MHD）方程组的守恒形式

流体中物理量的守恒定律可以写成

∂t

而 f 是 g 的“通量”。

这个守恒定律的微观形式是

∂t

则从 MHD 方程组出发，对于数密度 n

∂n

∂t

+ ∇ ⋅ （nu） = 0 ，

（I-14）

对于动量密度 ρu ≈ nmiu ，有

∂（ρu）

∂t

+ ∇ ⋅ T = 0 ，

⎛

⎝

B2 ⎫

8π ⎭

BB

4π

，          （I-15）

1B2

28π

+

p

γ -1

，有

∂w

∂t

⎛ 1

⎝ 2

γp ⎫

γ -1⎭

B ⨯ （u ⨯ B）

4π

。

            （I-16）

1.5 位力定理

对于一个有限系统，如果可以达到平衡态，则总的平均动能 K 和总的平均

“位力”（virial） U ≡ r ⋅ F 之间满足关系 2 K + U = 0 。

这个关系被称为“位

力定理”。

对多粒子体系（量子的或经典的）来说，这里说的平衡是总的“力学

平衡”；对统计力学体系来说，这个平衡指“热力学平衡”。

这个定理在经典力学和量子力学里成立，我们这里需要讨论这个定理对等离

子体的应用。

在磁流体理论中，容易证明 K =

“位力定理”可以写成

B2

8π

1     3

2 2

p ，

U = B2 / 8π + Uext 。

则

（I-17）

这告诉我们保持等离子体平衡（力学的或热力学的）唯一可能就是外加一个很大

的、负的 Uext < 0 来平衡 ρmu2 + 3 p + B2 / 8π > 0 。

这对应于：

（1）一个外加的势场（势阱），比如太阳的自身引力场或者约束尘埃等离子

体的外加负电场来提供 Uext < 0 ；

（2）或者外部线圈产生的外加磁场提供一个边界（比如各种磁约束位形）；

（3）最简单的，一个容器的“硬壁”（hardwall）提供一个无穷高势垒

Uext < 0 。

1.6 变分原理

经典力学中的变分原理

变分原理是物理学的理论基础：

（1）变分原理是物理规律更清晰、更普遍的形式，方便几何方法的应用

（如 Hamiltonian 量的结构、对称性、度规等）；

（2）变分原理自然保证不变量的全域守恒性质；

（3）是物理的和很多其它的多自由度领域处理多体问题的基石。

经典力学中的变分原理是所谓“最小作用量原理”：

对一个系统的

q）q）

Lagrangian 作用量 L（q, & ，我们有 δ ⎰ dtL（q, & = 0 ，导致系统的 Lagrangian 方

程

d ∂L∂L

dt ∂ & ∂q

= 0 。

磁流体力学中的变分原理

在磁流体（MHD）理论中，我们同样可以得到系统的 Lagrangian 作用量

L =

1

2

ρu2 -

B2

8π

-

p

γ - 1

。

                                   （I-18）

由系统的 Lagrangian 方程可以得到 MHD 方程组。

关于变分原理的应用，我们在后续课程里还要深入讨论。

作业 1：

试推导等温条件下（ γ = 1）磁流体（MHD）方程组的守恒形式。