【2020-2021自招】四川绵阳中学实验学校初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】.docx
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共4套试卷，含150分的模拟数学试卷占4套，对参加自主招生的学生有一定的指导意义和辅助作用，但不是决定性的作用，祝大家考试顺利。
第一套：
满分150分
2020-2021年四川绵阳中学实验学校初升高
自主招生数学模拟卷
一．选择题（共8小题，满分48分）
1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：
DE：
EC=3：
2：
1，M在AC边上，CM：
MA=1：
2，BM交AD，AE于H，G，则BH：
HG：
GM=（ ）
A．3：
2：
1 B．5：
3：
1
C．25：
12：
5 D．51：
24：
10
2.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3； ②；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是【】
A.0 B.1C.2 D.3
3.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）
A.B.C.D.
4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）
A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能
5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
6．（6分）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（ ）
A.B.C.D.
7．（6分）抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．≤a≤1 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤2
8．（6分）如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（ ）
A.B.C.D.
二．填空题：
（每题7分，满分42分）
9．（7分）方程组的解是 ．
10．（7分）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为 ．
11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是 ．
12．（7分）有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是 ．
13．（7分）设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．
14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|= ．
三．解答题：
（每天12分，满分60分）
15.（12分）.已知正实数满足：
且
.
（1）求的值.
（2）证明:
.
16．（12分）如图，是等腰直角三角形，，点在线段上（与、不重合），点在射线上，且。
求证：
。
17．（12分）在0与21之间插入个正整数，，…，，使其满足。
若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，，，…，，21这个数中某两个数的差。
求的最小值。
18．（12分）如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．
（1）求证：
AH=BD；
（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；
（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．
19.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．
（1）求直线AB的表达式；
（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；
（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．
第一套：
满分150分
2020-2021年四川绵阳中学实验学校初升高自主招生
数学模拟卷参考答案
一.选择题：
1.【解答】解：
连接EM，
CE：
CD=CM：
CA=1：
3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：
ME=BD：
BE=3：
5，ME：
AD=CM：
AC=1：
3
∴AH=（3﹣）ME，
∴AH：
ME=12：
5
∴HG：
GM=AH：
EM=12：
5
设GM=5k，GH=12k，
∵BH：
HM=3：
2=BH：
17k
∴BH=K，
∴BH：
HG：
GM=k：
12k：
5k=51：
24：
10
故选D．
2.【答案】C。
解答：
①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：
x2－5x＋6－m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：
。
故结论②正确。
③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，
∴x1＋x2=5，x1x2=6－m∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m=x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。
令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：
x=2或3。
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：
②③。
故选C。
3.【答案】B。
【分析】∵根据题意，得xy=20，∴。
故选B。
4.【答案】B。
【分析】如图，在中，令x=0，则y=－；令y=0，则x=，
∴A（0，－），B（，0）。
∴OA=OB=2。
∴△AOB是等腰直角三角形。
∴AB=2，
过点O作OD⊥AB，则OD=BD=AB=×2=1。
又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。
∴直线y=x-2与⊙O相切。
故选B。
5.【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．
【解答】解：
设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S=，
又∵r=，∴a+b=2r+c，
将a+b=2r+c代入S=得：
S=r=r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．
【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．
6.解答：
解：
∵Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AC==BC=6，
∴S△ABC=AC•BC=6，
∵D1E1⊥AC，
∴D1E1∥BC，
∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，
∵D1是斜边AB的中点，
∴D1E1=BC，CE1=AC，
∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC；
∴在△ACB中，D2为其重心，
∴D2E1=BE1，
∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC，
∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…；
∴Sn=S△ABC；
∴S2013=×6=．
故选C．
7.【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决
【解答】解：
由右图知：
A（1，2），B（2，1），
再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，
把A点代入y=ax2得a=2，
把B点代入y=ax2得a=，
则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．
故选D．
【点评】此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．
8.解答：
解：
∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，
∴平行四边形ABC1O1的面积为，
∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，
∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，
…，
依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选B．
二、填空题
9．【分析】根据式子特点，设x+1=a，y﹣1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．
【解答】解：
设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，
由②式又可变化为=26，
把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3=13，
再代入又得﹣3=9，
解得ab=﹣27，
又因为a+b=26，
所以解这个方程组得或，
于是
（1），解得；
（2），解得．
故答案为和．
【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．
10．【分析】分a=0，a≠0两种情况分析．
【解答】解：
∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，
∴a=0，则左边式子ax=0，
∴b＜0一定成立，
∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．
【点评】本题是利用了反证法的思想
11．【分析】先根据﹣1≤x≤2，确定x﹣2与x+2的符号，在对x的符号进行讨论即可．
【解答】解：
∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，
∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；
当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，
当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，
则最大值与最小值之差为1．
故答案为：
1
【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值．解此类题的关键是：
先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解．
12．【分析】要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007﹣Py2007|的值，因为纵坐标分别是1，3，5…，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007﹣1=4013，所以P2007的坐标是（Px2007，4013），那么可根据P点都在反比例函数y=上，可求出此时Px2007的值，那么就能得出P2007的坐标，然后将P2007的横坐标代入y=中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|=|Qy2007﹣Py2007|，由此可得出结果．
【解答】解：
由题意可知：
P2007的坐标是（Px2007，4013），
又∵P2007在y=上，
∴Px2007=．
而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007===，
∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣|=．
故答案为：
．
【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2007的横坐标，进而求出Q2007的值，从而可得出所求的结果．
13．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题．
【解答】解：
∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=
∴n=120°即扇形的圆心角是120°
∴弧所对的弦长是2×3sin60°=3
【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．【分析】首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E，折线与AB交于F．然后求证△AEF∽△ABC求出EF的长．
【解答】解：
如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE=7.5．
∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，
∴△AEF∽△ABC，
∴==．
∴EF=．
∴折线长=2EF=．
故答案为．
【点评】本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点．
三、解答题
15.【解析】
（1）解：
由等式，
去分母得，
，
，，
，原式=
（2）证明：
由
（1）得计算过程知，又为正实数,
∴.
【注：
】
16.【答案】如图，作点关于直线的对称点，连结、、，，则。
∵是等腰直角三角形，，且，
∴，
。
∴。
又，。
∴。
∴，。
又由，知
。
∴。
∴。
又，∴。
另解：
如图，沿翻折得，则。
∴，，，。
∵，
∴
。
又，。
∴。
∴，，。
∴。
17.【解答】∵个数至多可以表示个不同的且为正数的差。
∴依题意有，，即。
∴。
下面证明不符合要求。
若符合要求，则由时，知，由0，，，，，，21这7个数两两之差（大数减去小数）所得的下列21个数：
，，，，，21，，，，，，，，，，，，，，，互不相同。
于是它们是1，2，3，…，21的一个排列。
记这21个数的和为，则
。
可见为偶数。
另一方面，为奇数，与为偶数矛盾。
∴不符合要求。
符合要求。
如插入2，5，8，12，19，20。
（不唯一）
可以验证：
用0，2，5，8，12，19，20，21这8个数中某两个数的差可以表示1，2，3，…，21中任意一个数。
（，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，。
）
可见的最小值为6。
18.【分析】
（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；
（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；
（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．
【解答】
（1）证明：
∵AD⊥BC，BH⊥AO，
∴∠ADO=∠BHO=90°，
在△ADO与△BHO中，
，
∴△ADO≌△BHO（AAS），
∴OH=OD，
又∵OA=OB，
∴AH=BD；
（2）解：
连接AB、AF，如图1所示，
∵AO是半径，AO⊥弦BF，
∴∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
在Rt△ADB与Rt△BHA中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），
∴∠ABF=∠BAD，
∴∠BAD=∠AFB，
又∵∠ABF=∠EBA，
∴△BEA∽△BAF，
∴=，
∴BA2=BE•BF，
∵BE•BF=y，
∴y=BA2，
∵∠ADO=∠ADB=90°，
∴AD2=AO2﹣DO2，AD2=AB2﹣BD2，
∴AO2﹣DO2=AB2﹣BD2，
∵直径BC=8，BD=x，
∴AB2=8x，
则y=8x（0＜x＜4）；
方法二：
∵BE•BF=y，BF=2BH，
∴BE•BH=y，
∵△BED∽△BOH，
∴=，
∴OB•BD=BE•BH，
∴4x=y，
∴y=8x（0＜x＜4）；
（3）解：
连接OF，如图2所示，
∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G，
∴当△FAE∽△FBG时，∠AEF=∠G，
∵∠BHA=∠ADO=90°，
∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠AEF=∠AOD，
∴∠G=∠AOD，
∴AG=AO=4，
∵∴∠AOD=∠AOF，
∴∠G=∠AOF，
又∵∠GFO是公共角，
∴△FAO∽△FOG，
∴=，
∵AB2=8x，AB=AF，
∴AF=2x，
∴=，
解得：
x=3±，
∵3+＞4，舍去，
∴BD=3﹣．
19.【分析】
（1）先通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）作DE∥OA，根据题意得出==，求得DE，即D的横坐标，代入AB的解析式求得纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k1；
（3）根据勾股定理求得AB、OE，进一步求得BE，然后根据相似三角形的性质求得EF的长，从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k2．
【解答】解：
（1）∵A（3，0）、B（0，m）（m＞0），
∴OA=3，OB=m，
∵tan∠BAO==2，
∴m=6，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
代入A（3，0）、B（0，6）得：
解得：
b=6，k=﹣2
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6；
（2）如图1，∵AD=2DB，
∴=，
作DE∥OA，
∴==，
∴DE=OA=1，
∴D的横坐标为1，
代入y=﹣2x+6得，y=4，
∴D（1，4），
∴k1=1×4=4；
（3）如图2，∵A（3，0），B（0，6），
∴E（，3），AB==3，
∵OE是Rt△OAB斜边上的中线，
∴OE=AB=，BE=，
∵EM⊥x轴，
∴F的横坐标为，
∵△OEF∽△OBE，
∴=，
∴，
∴EF=，
∴FM=3﹣=．
∴F（，），
∴k2=×=．
第二套：
满分150分
2020-2021年四川绵阳中学实验学校初升高
自主招生数学模拟卷
一．选择题（每小题6分，满分48分）
1．（6分）如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A.B.6C.D.3
2．（6分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（ ）
A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元
3．（6分）已知且，那么，，，的大小关系是（ ）
A．B．
C. D．
4．（6分）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：
①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.（6分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m,），反比例函数的图像与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（）
A.B.C.D.
6.（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）
A.B.C.D.
7．（6分）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（6分）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG边长为4，则△DEK的面积为（ ）
A.10B.12C.14D.16
二．填空题（每小题7分，满分42分）
9.（7分）若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图像恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是 。
10.（7分）如图，四边形ABCD是矩形，A，B两点在x轴的正半轴上，C，D两点在抛物线上，设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为 。
11．（7分）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是 ．
12．（7分）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 ．
13．（7分）有五张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程+2=有正整数解的概率为
14．（7分）已知：
对于正整数n，有，若某个正整数k满足：
，则k= ．
三．解答题（每题12分，满分60分）
15.（12分）如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点求的值.
16．（12分）已知抛物线与动直线有公共点，，且.
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.
17．（12分）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥
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